твмс. ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20). Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил

• Название: Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 2.47 Mb.
• Имя файла: ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20).doc
• Тип: Контрольная работа; #857186
• страница: 3 из 9

Ответ: Вероятность того, что ошибка допущена первым оператором равна 0,45.

Пример 8. В каждом из двух ящиков содержится 5 черных и 3 белых шара. Из первого ящика наугад взяли один шар и переложили его во второй ящик, после чего из второго ящика наугад взяли один шар. Найти вероятность того, что взятый из второго ящика шар будет белым.

Решение. Обозначим: А — событие, состоящее в том, что из второго ящика вынут белый шар. Введем две гипотезы: E₁ — из первого ящика был вынут белый шар, E₂ — из первого ящика был вынут черный шар. Вычислим вероятности этих гипотез. До начала испытания (из второго ящика наугад берут шар) в первом ящике было 8 шаров, из них 3 белых. Вероятность того, что из первого ящика будет вынут белый шар, по формуле классического определения вероятности равна Аналогично устанавливаем, что

Если имело место событие E₁, то во втором ящике будет находиться 9 шаров, из них 4 шара белого цвета. Поэтому условная вероятность того, что из второго ящика будет вынут белый шар, составит Если имело место событие E₂, то во втором ящике будут находиться 9 шаров, из них 3 белых. Поэтому условная вероятность того, что из второго ящика будет вынут белый шар, составит

Вероятность того, что из второго ящика будет вынут белый шар вычислим по формуле полной вероятности (22):



Ответ. вероятность того, что из второго ящика будет вынут белый шар равна 0,375.

8. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых может наступить случайное событие А с вероятностью р. Требуется определить вероятность того, что при n испытаниях случайное событие А наступит ровно k раз безразлично, в какой последовательности. Искомая вероятность определяется формулой Бернулли:

(24)

где число сочетаний из n по k, — вероятность не наступления случайного события А в каждом из n испытаний.

Вероятность того, что событие А наступит а) менее k раз; б) не более k раз; в) не менее k раз; г) более k раз вычисляются соответственно по формулам:

а) (25)

б) (26)

в) (27)

г) (28)

Пример 9. Автомат изготавливает однотипные детали, причем 3% произведенной продукции оказывается бракованной. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей будет не более одной бракованной детали.

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формулам (26) и (24) при п = 3, k = 1, p = 0,03, q = 0,97:



Ответ. Вероятность того, что из трех наугад взятых деталей будет не более одной бракованной, равна 0,99.

Пример 10. Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при четырех выстрелах будет не менее трех попаданий.

Решение. По условию n = 4, k = 3, p = 0,7, q = 0,3. Искомая вероятность вычисляется по формулам (27) и (24):



Ответ. Вероятность того, что при четырех выстрелах будет не менее трех попаданий равна 0,65.
Задача 2. Случайные величины. Математическое описание дискретных и непрерывных случайных величин

[1, С, 4.1–4.6, 5.1, 5.2], [2, 20.1, 20.2, 21.1, 21.2], [5, гл. 4, § 1–4, гл. 6, § 1–3],

[6, разд. 1, § 2.1–2.8, 3.1–3.4], [7, разд. 1, гл. 5–6], [9, 6.3.1–6.3.3]

1. Непрерывные случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания может принимать одно и только одно возможное значение, причем заранее, до испытания, неизвестно, какое именно. Случайные величины обозначают обычно заглавными буквами латинского алфавита, например, X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами: x, y, z. Среди случайных величин можно выделить два основных типа: дискретные величины и непрерывные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное (элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

2. Закон распределения случайной величины Х

Знание возможных значений случайной величины еще не позволяет полностью описать случайную величину, поскольку нельзя сказать, как часто можно ожидать появления тех или иных возможных значений случайной величины в результате повторения испытания в одних и тех же условиях. Для этого необходимо задать закон распределения вероятностей случайной величины.

Законом распределения вероятностей случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она распределена на числовой оси по определенному закону, обусловленному физической природой случайной величины Х, или «подчинена» этому закону распределения. Закон распределения непрерывной Х описывается с помощью двух функций действительной переменной: распределения вероятностей F(x) и плотности вероятностей f(x). Закон распределения дискретной Х описывается либо с помощью функции распределения вероятностейF(x), либо с помощью формулы, определяющей вероятность наблюдения отдельных значений дискретной случайной величины Х.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины Х

Наиболее общей формой закона распределения для непрерывной и дискретной случайной величины X является функция распределения вероятностей F(x).

Функцией распределения вероятностей случайной величины X называется функция F(x), выражающая для любого действительного значения x вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее x:

(1)

Функцию F(x) также называют: интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины или интегральным законом распределения, функцией распределения случайной величины, функцией вероятностей случайной величины.

Функция распределения F(x) обладает основными свойствами:

1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, значения которой заключены между нулем и единицей:

(2)

Справедливость этого свойства следует из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события X < x.

2. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при

(3)

3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале [a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

(4)

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Если случайная величина Х дискретна и принимает конечное число значений то величина скачка функции распределения F(x) в точке x_i равна вероятности

4. Функция распределения F(x) непрерывна слева в каждой точке.

5. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

(5)

6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a, b), то F(x) = 0 при F(x) = 1 при

Функция F(x) является теоретической функцией по отношению к ее статистическому аналогу F_n*(x) (эмпирической функции), устанавливаемому по экспериментальным данным: F(x)  F_n*(x).

4. Плотность f(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения F(x) не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать с помощью функции f(x) плотности распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятностей) f(x) называется производная функции распределения:

(6)

Из этого определения следует, что функция распределения F(x) является первообразной для плотности распределения f(x).

Про непрерывную случайную величину X говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностью вероятностей f(x) на определенном участке оси абсцисс.

Плотность вероятностей также называют: дифференциальной функцией распределения вероятностей случайной величины или дифференциальным законом распределения, плотностью распределения случайной величины, плотностью вероятностей случайной величины.

Плотность вероятностей f(x) обладает основными свойствами:

1. 
   Плотность вероятностей — неотрицательная функция:
   

(7)

2. 
   Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятностей непрерывной случайной величины равен единице:
   

(8)

3. 
   Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности вероятностей в пределах от  до :
   

(9)

4. 
   Функция распределения F(x) случайной величины Х равна интегралу от ее плотности вероятностей в интервале от – до x:
   

(10)

Плотность вероятностей f(x) является теоретической функцией по отношению к ее статистическому аналогу f_n*(x)(эмпирической функции), устанавливаемому по экспериментальным данным: f(x)  f_n*(x).

5. Числовые характеристики непрерывной случайной величины Х

Для общей характеристики случайной величины Х используют числовые характеристики, важнейшими из них являются математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X).

Если случайная величина Х непрерывна и имеет плотность вероятностей, равную f(x), то математическим ожиданием М(Х) непрерывной случайной величины Х называют интеграл

(11)

если только этот интервал сходится.

Математическое ожидание случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], определяется интегралом

(12)

Математическое ожидание М(Х) — это среднее, взвешенное по вероятностям, значение случайной величины.

Получаемые в результате испытаний отдельные значения случайной величины рассеиваются около своего среднего значения (математического ожидания). Степень рассеяния случайной величины относительно значения ее математического ожидания определяется числовой характеристикой, называемой дисперсией случайной величины.

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания. Если случайная величина Х непрерывна, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

(13)

при условии, что несобственный интеграл в правой части (13) сходится.

Если возможные значения случайной величины Х принадлежат отрезку [a, b], то

(14)

Наряду с дисперсией для оценки рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания используют среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется положительный квадратный корень из ее дисперсии:

(15)

Размерность совпадает с размерностью случайной величины Х и числовая величина этого показателя близка к числовой величине среднего абсолютного отклонения, тогда как дисперсия имеет размерность квадрата соответствующей случайной величины.

Для вычисления дисперсии часто удобно использовать свойство дисперсии, заключающееся в том, что дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

(16)

Если возможные значения случайной величины принадлежат всей оси х, то имеем:

(17)

Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то

(18)