твмс. ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20). Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил

• Название: Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 2.47 Mb.
• Имя файла: ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20).doc
• Тип: Контрольная работа; #857186
• страница: 8 из 9

Теорема Фишера. Статистика (11) критерия ² асимптотически при распределена по закону ² с числом степеней свободы где l —число оцениваемых по выборке неизвестных параметров проверяемого распределения.

Пример. Отдел технического контроля проверил n = 200 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение:

 	0	1	2	3	4	5	–
 	70	78	34	13	4	1

Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу H_o о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

Решение. Задачу решаем при помощи критерия ² в соответствии с правилом проверки гипотезы H_o о виде закона распределения генеральной совокупности Х.

1. На основе заданного эмпирического распределения (выборки) исследуем генеральную совокупность Х — случайную величину Х, равную числу нестандартных изделий в одной партии. Предварительно сформулируем основную H_o и альтернативную гипотезу H₁.

По условию задачи проверяемая основная гипотеза H_o состоит в том, что случайная величина Х распределена по гипотетическому закону Пуассона:



Альтернативная гипотеза H₁ состоит в том, что закон Пуассона неприемлем для описания случайной величины Х.

2. Закон Пуссона содержит один неизвестный параметр , равный среднему числу нестандартных изделий в одной партии. Оценим параметр  по данным выборки с помощью выборочного среднего значения :





Тогда проверяемый гипотетический закон распределения Пуассона исследуемой случайной величины Х примет вид:



где — вероятность того, что при проведении 200 наблюдений над исследуемой случайной величиной Х получим ее значения, равные

3. Находим вероятности по таблице закона распределения Пуассона в зависимости от значений и параметра (прил. 4, вместо к подставляем x_i):



Проверяем выполнение условия для каждого



Поскольку при x₅ = 4 и x₆ = 5 условие при и не выполняется, то для применения критерия объединяем соседние частоты:

В результате принимаем k = 4 и независимые частоты:

5. Устанавливаем закон распределения статистического критерия согласно теореме Фишера и определяем число степей свободы



где k= 4 число независимых частот, l= 1 — число параметров закона Пуассона.

6. Строим критическую область и доверительную область наблюдаемых выборочных значений критерия Для этого по таблице квантилей распределения в зависимости от заданного уровня доверия статическому критерию и числа степень свободы r = 2 находим (прил. …).

7. Вычисляем наблюдаемое выборочное значение критерия по формуле:


Расчеты удобно свести в таблицу

Таблица 1

Вычисление

xi	n	рi (xi)	npi
0	70	0,369	73,6	0,18
1	78	0,368	73,6	0,26
2	34	0,184	36,8	0,21
3	18	0,079	16,0	0,25
	200	1,000	200,0	0,90 =

8. Заключение. Поскольку то на заданном уровне доверия гипотеза H_o: «Случайная величина Х, равная числу нестандартных уравнений в одной партии, распределена по закону Пуассона» принимается, как не противоречащая результатам наблюдений.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ЗАДАЧА 1

1 – 10.

1. 
   Подбрасываются две игральные кости. Требуется:
   

1) описать множество элементарных случайных событий,

2) найти вероятности событий А ={выпадение двух «шестерок»}, В = {выпадение хотя бы одной «шестерки»}, С = {выпадение одной «шестерки»}.

2. 
   В контейнере находятся 40 телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что 3 наудачу выбранных телевизора не будут иметь дефектов.
   
3. 
   Аудитор проверяет три счета. Вероятность правильного оформления счета равна 0,9. Найти вероятности событий А = {правильно оформлены три счета}, В = {правильно оформлены два счета}, С = {правильно оформлен один счет}, D = {правильно оформлен хотя бы один счет}.
   
4. 
   Инвестор наудачу приобретает акции двух фондов из 10. Среди 10 фондов 4 невыгодные. Найти вероятности событий А = {инвестор вкладывает деньги в выгодные фонды}, В = {инвестор вкладывает деньги в невыгодные фонды}, С ={инвестор вкладывает деньги хотя бы в один выгодный фонд}.
   
5. 
   В каждом из двух ящиков содержатся 6 черных и 4 белых шара. Из первого ящика наудачу переложили во второй ящик 1 шар. Найти вероятность того, что два наугад взятые шара из второго ящика будут белыми.
   
6. 
   На склад поступают однотипные детали с двух заводов – №1 и №2. Завод №1 поставляет 30% деталей, из которых 10% имеют низкое качество. Завод №2 производит детали, из которых 80% имеют высокое качество. Найти вероятность того, что наугад взятая со склада деталь будет высокого качества.
   
7. 
   Из трех урн наудачу извлекается один шар в соответствии с правилом: при подбрасывании игральной кости, если выпадает 1 очко, то выбирается урна 1; если выпадает 2, 3 или 4 очка, то выбирается урна 2; если выпадает 5 или 6 очков, то урна 3. В урне 1 находится 10 шаров, из них 2 красных, в урне 2 – 15 шаров, из них 3 красных, в урне 3 – 20 шаров, из них 10 красных. Найти вероятности событий А = {будет извлечен красный шар}, В = {извлеченный красный шар принадлежит урне 1}.
   
8. 
   В магазине представлена обувь трех фабрик: 30% обуви поставила фабрика 1, 25% – фабрика 2, остальную обувь – фабрика 3. Покупатель выбирает обувь наудачу. Процент возврата обуви, изготовленной фабрикой 1 – 3%, фабрикой 2 – 1%, фабрикой 3 – 0,5%. Найти вероятности событий А = {обувь покупателем не будет возвращена}, В = {невозвращенная обувь изготовлена фабрикой 3}.
   
9. 
   Автомат изготавливает однотипные детали, 5% произведенной продукции оказывается бракованной. Найти вероятность того, что из четырех последовательно изготовленных деталей будут бракованными не более двух.
   
10. 
    Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при пяти последовательных выстрелах будет не менее четырех попаданий.
    

ЗАДАЧА 2

11 – 20. Задана функция плотности распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х.

11.		 = 1,  = 1,7.
12.		 = 2,  = 3.
13.		 = 1,1,  = 1,5.
14.		 = 3,  = 3,5.
15.		 = 2,  = 3.
16.		 = 0,5,  = 1.

Требуется:

1. 
   найти коэффициент А;
   
2. 
   найти функцию распределения F(x);
   
3. 
   схематично построить графики F(x), f(x);
   
4. 
   найти математическое ожидание и дисперсию Х;
   
5. 
   найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ).
   

17 – 20. Задана функция распределения вероятностей F(x) непрерывной случайной величины Х.

17.		 = 1,  = 2.
18.		 = 2,  = 3.
19.		 = 1,  = 2.
20.		 = 2,  = 4.

Требуется:

1. 
   найти функцию плотности распределения вероятностей f(x);
   
2. 
   найти коэффициент А;
   
3. 
   схематично построить графики F(x), f(x);
   
4. 
   найти математическое ожидание и дисперсию Х;
   
5. 
   найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ).
   

ЗАДАЧА 3

21 – 30. Заданы математическое ожидание aи среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х.

21.	a = 1, σ = 5, α = 0,5, β = 3.	22.	a = 9, σ = 5, α = 2, β = 8.
23.	a = 2, σ = 4, α = 1, β = 5.	24.	a = 8, σ = 3, α = 1, β = 6.
25.	a = 3, σ = 2, α = 2, β = 8.	26.	a = 6, σ = 4, α = 0, β = 5.
27.	a = 4, σ = 4, α = 3, β = 6.	28.	a = 4, σ = 6,α = 5, β = 9.
29.	a = 5, σ = 6, α = 4, β = 9.	30.	a = 2, σ = 3, α = 4, β = 8.

Требуется:

1. 
   написать функцию плотности распределения вероятностей f(x) и схематично построить ее график;
   
2. 
   найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ).