твмс. ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20). Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил

• Название: Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 2.47 Mb.
• Имя файла: ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20).doc
• Тип: Контрольная работа; #857186
• страница: 7 из 9

Лемма Неймана−Пирсона. При заданном уровне значимости  мощность M = 1 – статистического критерия К = f должна быть максимальной:

(1) (2)

где k = — выборочное значение статистического критерия K =

 — вероятность ошибки 2-го рода,

 — вероятность ошибки 1-го рода,

 — вероятность попадания выборочного значения статистического критерия в критическую область при условии истинности основной гипотезы H_o;

— вероятность попадания выборочного значения статистического критерия в критическую область при условии истинности альтернативной гипотезы H₁.
Из изложенного следует правило согласия на уровне доверия γ = 1 – :

eсли то гипотезу H_o следует отклонить, как не согласующуюся с результатами наблюдений; если то гипотезу H_o принять, как не противоречащую результатам наблюдений.

2. Общее правило проверки статистической гипотезы Н₀

Для того, чтобы на основании результатов независимых наблюдений генеральной совокупности Х сделать заключение о принятии или отклонении гипотезы H_o, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Сформулировать проверяемую основную гипотезу H_o и альтернативную гипотезу H₁.

2. Задать уровень значимости .

3. Выбрать статистический критерий K = для проверки гипотезы H_o.

4. Установить функцию распределения F(k|H_o) статистического критерия K = при условии, что гипотеза H_o истинна.

5. Построить, в зависимости от формулировки гипотезы H₁, критическую область значений k = статистического критерия K = .

6. Получить выборку результатов наблюдений генеральной совокупности Х.

7. Вычислить выборочное значение k = статистического критерия .

8. Сделать заключение о принятии или отклонении гипотезы H_o о генеральной совокупности Х в соответствии с правилом согласия на уровне доверия  = 1 – .
3. Критерий согласия ². Теорема Пирсона. Теорема Фишера.

Исследование генеральной совокупности Х на основе выборки предполагает решение двух задач:

1) оценка неизвестных значений параметров известного распределения генеральной совокупности Х,

2) получение наиболее полной, исчерпывающей характеристики генеральной совокупности Х — закона F(x) ее распределения.

Рассмотрим вторую задачу, называемую задачей о проверке непараметрической гипотезы H_o о виде закона распределения генеральной совокупности Х.

Вопрос: можно ли принять гипотезу H_o о том, что генеральная совокупность Х имеет некоторое предполагаемое, гипотетическое распределение, например, равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное, распределение Пуассона или какое-либо иное? Возможна эквивалентная по смыслу другая формулировка вопроса: не противоречат ли (или согласуются ли) результаты наблюдений (опытные данные) в случайной выборке из генеральной совокупности Х гипотезе H_o о некотором гипотетическом виде закона распределения генеральной совокупности Х? Альтернативная гипотеза H₁ хотя явно и не высказана, но подразумевается, как предположение о возможном другом виде закона распределения, отличном от предлагаемого и проверяемого на основе выборки.

Для получения ответа необходимо прежде всего сформулировать основную гипотезу H_o о виде закона F(x) распределения исследуемой генеральной совокупности Х (случайной величины Х). Гипотеза H_o, а также альтернативная ей H₁, формулируется на основе всей имеющейся информации о случайной величине Х: представлений о физическом характере величины Х, геометрической формы гистограммы, обоснованных в соответствующих теоремах утверждений. Следует учитывать, например, что гипотезе H_o о нормальном законе противостоит гипотеза H₁ об усеченном нормальном законе, логистическом законе, законах Коши или Стьюдента; с экспоненциальным законом конкурируют законы ² (хи – квадрат), Вейбулла, гамма, Эрланга, смещенный показательный закон.

Решение поставленной задачи основано на применении статистических критериев: при малых объемах выборки (n < 50) применяются, например, критерий Колмогорова и критерий ² (омега – квадрат); при n  50 в практике исследователей часто используется критерий согласия Пирсона (другой термин «критерий согласия ² (хи-квадрат)»). Критерий согласия ² разработан Пирсоном (1900 г.) для случая гипотетической функции распределения F(x), когда параметры ее известны.

Критерийсогласия ² образуется следующим образом. Пусть случайная величина Х распределена на всей действительной оси. Разобьем исследуемую генеральную совокупность Х (множество значений случайной величины Х) на k не пересекающихся подмножеств:

(3)

где ₁ и _k — полубесконечные промежутки, а — полуоткрытые промежутки.
При промежутки _i, за исключением крайних, могут быть различной длины, а их число k может быть любым. Но поскольку n конечно, то данное утверждение нуждается в коррекции, а именно, длины промежутков удобно сделать равными, а число k согласовать с n по полуэмпирической формуле

(4)

или по формуле Старджесса

(5)

Обозначим через вероятность попадания случайной величины Х на _i промежуток

(6)

Тогда

(7)

Пусть — частоты попадания элементов выборки на промежутки соответственно. Очевидно, что в случае истинности основной гипотезы H_o относительные частоты будут близки к вероятностям p_i, причем, чем больше n, тем ближе:

(8)

Отсюда следует, что за меру отклонения выборочного распределения от гипотетического с функцией распределения F(x) можно выбрать величину

(9)

где c_i — некоторые положительные «весовые» числа, отвечающие за долю каждой из величин в общей сумме. Пирсон в качестве «весовых» чисел принял числа

(10)

предложил статистику критерия ², обозначая ее тем же символом

(11)

и доказал теорему.

Теорема Пирсона. Статистика (11) критерия ² асимптотически при распределена по закону ² с числом степеней свободы k – 1.

Другими словами, независимо от вида проверяемого гипотетического закона распределения генеральной совокупности Х, т.е. функции F(x), эмпирическая (выборочная) функция распределения статистики ² при стремится к функции распределения случайной величины ² с плотностью вероятности

(12)

где — гамма функция.

Применение закона распределения для проверки гипотезы Н₀ осуществляется с помощью квантилей этого закона.

Квантилью порядка распределения случайной величины называется число удовлетворяющее уравнению



Таблица квантилей распределения приведена в прил. 5.

Понятие числа k – 1 степеней свободы статистики ² (11) происходит от понятия числа степеней свободы функции, под которым понимают число независимых аргументов функции. Аргументами статистики ² являются частоты n₁, n₂,…,n_k, связанные одной связью n₁ + n₂ + … + n_k = n, которая также входит в формулу статистики ² и позволяет выразить каждую из частот через все остальные и тем самым уменьшает число независимых аргументов статистики ² на единицу.

Правило проверки гипотезы Н_o о виде закона распределения генеральной совокупности на основе статистики критерия ² составляется в соответствии с общим правилом проверки статистической гипотезы Н_o:

1. Формулируем основную Н_o и альтернативную Н₁ гипотезы и задаем уровень значимости .

2. Строим промежутки , .

3. Находим частоты попадания элементов выборки в промежутки _i, i = 1,…,k.

4. При помощи гипотетической функции распределения F(x) вычисляем вероятности

(13)

5. Проверяем условие

(14)

для каждого промежутка _i, i = 1,…,k. Если (14) для какого-либо промежутка _i не выполняется, то объединяем соседние промежутки и тем самым обеспечиваем достаточную численность элементов выборки в промежутке _i. Тогда величины будут близки к нормальным , а их квадраты образуют статистику ², распределенную по закону, близкому к ².

6. Вычисляем наблюдаемое выборочное значение статистики критерия ²:

(15)

7. По таблице (прил. 5) находим квантиль распределения ² с k – 1 степенями свободы и порядка квантили и таким образом строим критическую область

(16)

и область доверия :

(16)

статистики ².

8. В соответствии с правилом согласия на уровне доверия составляем заключение:

а) если то гипотеза Н_o принимается;

б) если то гипотеза Н_o отвергается, выбирается одно из альтернативных распределений и процедура проверки повторяется.

При составлении заключения необходимо учесть возможность получения более четкого решения о принятии или отклонении гипотезы Н_o при увеличении n. Такая возможность следует из выражения (11), поскольку с увеличением n в случае ложной гипотезы Н_o будет увеличиваться при фиксированном значении границы разделяющей все множество значений статистики ² на доверительную и критическую области.

Критерий согласия ² и теорему Пирсона уточнил Фишер (1924 г.) для широко распространенного на практике случая, когда параметры гипотетической функции распределения F(x) неизвестны и оцениваются на основе имеющейся выборки по методу максимального правдоподобия. Фишер установил, что оценивание неизвестных параметров накладывает дополнительные связи на частоты и уменьшает число степеней свободы статистики критерия ².