твмс. ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20). Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил

• Название: Контрольная работа выполняется и оформляется при соблюдении следующих правил
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 2.47 Mb.
• Имя файла: ТВМС. Теор. и практ. реш. тип. задач к.р.(23.09.20).doc
• Тип: Контрольная работа; #857186
• страница: 4 из 9

Пример 1. Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х:



Требуется: 1) определить коэффициент А; 2)найти функцию распределения F(x); 3) схематично построить графики функций f(x)и F(x);4)найти математическое ожидание и дисперсию X;5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ), если  = 1,  = 1,5.

Решение. 1) Коэффициент А найдем на основании равенства (8): Имеем:



Откуда,

2) Функцию распределения F(x) найдем на основании равенства (10): Имеем: если x < 0, то если то если x > 2, то

Таким образом:



3) Схематично построим графики f(x)и F(x) (рис. 1 и рис. 2)



Рис. 1. Плотность f(x) распределения вероятностей



Рис. 2. Функция F(x) распределения вероятностей
4) Найдем M(X)и D(X) согласно (12) и (14):



5) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ) при  = 1,  = 1,5, по формуле (9):



Ответ. 1)

2) 3) Графики функций f(x), F(x) на рис. 1, 2; 4)

Пример 2. Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х:



Требуется: 1) найти плотность распределения вероятностей f(x); 2) определить коэффициент А; 3) схематично построить графики функций F(x) и f(x); 4) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (, ), если  = 1,  = 2.

Решение. 1) Плотность распределения вероятностей f(x) находим согласно определению (6):



2) Коэффициент А определим на основании равенства (8):



Имеем:



Откуда,

3) Схематично построим графики функций F(x) и f(x) (рис. 3, 4).



Рис. 3. Функция распределения вероятностей F(x).



Рис. 4. Плотность распределения вероятностей f(x)

4) Найдем М(Х) и D(Х) согласно (12) и (14):



5) Найдем вероятность того, что примет значение из интервала (, ), при  = 1,  = 2 по формуле (9):



О твет. 1) Плотность распределения вероятностей



2) 3) Графики функций f(x), F(x) на рис. 3, 4. 4) 5)

Задача 3. Нормальное распределение

[1, С, 5.3–5.5], [2, 21.3–21.5], [5, гл. 6, § 4–6], [6, разд. 1, § 4.1–4.11], [9, 6.3.4].

Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х

Закон распределения вероятностей случайной величины предопределен физической природой ее образования. Если случайная величина образована суммой достаточно большого числа слагаемых, каждое из которых является случайной величиной с присущим ей законом распределения вероятностей, пусть даже отличным от нормального, но с ограниченным значением дисперсии, то такая случайная величина является нормально распределенной. Утверждение о том, что распределение суммы случайных величин при увеличении числа слагаемых сходится к нормальному распределению доказывается в центральной предельной теореме Ляпунова. Широкое применение закона нормального распределения в многочисленных задачах естествознания и экономики вызвано объективной реализацией условий теоремы Ляпунова.

Непрерывная случайная величина Х называется нормальной, если функция F(x) распределения ее вероятностей P(X < x) описывается выражением:

(1)

где F(x) есть функция верхнего предела интегрирования x; x — действительная переменная, a = M(X) — математическое ожидание, — среднее квадратическое отклонение случайной величины X,

При уменьшении  график функции F(x) становится более пологим; при уменьшении a и сохранении значения  кривая графика сдвигается влево параллельно самой себе; точка перегиба имеет координаты (a; 0,5) (рис. 5).

Согласно определению, производная является функцией плотности вероятностей случайной величины Х, поэтому

(2)

График функции f(x) называется кривой нормального распределения или гауссовой кривой, он симметричен относительно x = a, точки перегиба определяются абсциссами a –  и a + , при уменьшении  пологость ветвей графика возрастает (рис. 6).

Каждое из выражений (1), (2) называется законом распределения вероятностей нормальной случайной величины Х (законом нормального распределения случайной величины Х).

Выражения (1) и (2) устанавливают семейства кривых, которые зависят от двух параметров a и. Площадь, заключенная под гауссовой кривой, всегда равна 1. Чтобы отличать переменную интегрирования x, стоящую под знаком интеграла, от предела интегрирования x, переменную интегрирования x в выражении (1) часто обозначают другой буквой, например, z илиt.

Интеграл (1) не берется в элементарных функциях (неберущийся интеграл), поэтому решить основную задачу, которая интересует исследователя нормальной случайной величины Х, а именно, вычислить вероятность P(X < x) случайного события X < x непосредственным интегрированием подинтегрального выражения (1), не представляется возможным. Задача решается следующим образом. С помощью замены и предела интегрирования x и переменной интегрирования x на интеграл (1) и его производная (2) приводятся к более простому виду:

(3)

(2)₁

Функцию нормального распределения в виде (1) часто обозначают через а в более простом виде (3) через Поэтому равенство выражений (1) и (3) записывается как

(4)

Замена x на выражает, по существу, факт замены нормальной случайной величины Х на нормальную случайную величину параметры которой равны: математическое ожидание среднее квадратическое отклонение

Операцию замены нормальной случайной величины Х на нормальную случайную величину X₀ с параметрами a = 0 и  = 1 называют операцией нормирования случайной величины Х.

В результате нормирования любая нормальная случайная величина Х со своими параметрами a и  приводится к одной и той же нормальной случайной величине X₀, имеющей математическое ожидание, равное 0 и среднее квадратическое отклонение, равное 1, что позволяет называть случайную величину X₀ и функцию распределения ее вероятностей в виде (3) стандартными. При этом следует обратить внимание на равенство вероятностей



и равенство (4), что открывает возможность вычислять вероятность (для нормально распределенной случайной величины Х с любыми параметрами a и) с помощью одной таблицы значений функции

(5)

в зависимости от значений верхнего предела интегрирования x. Здесь t (переменная интегрирования) и x (верхний предел интегрирования) — действительные переменные,

Таблица значений функции (x) составляется путем численного интегрирования функции f(t) (2)₁ плотности распределения нормальной стандартной случайной величины Х₀. При этом для любого значения аргумента вычисляется площадь под кривой f(t) в пределах изменения переменной от – до x (рис. 7). При использовании этой таблицы (приложение 2) необходимо исследуемую случайную величину Х, описываемую выражением (1), нормировать или, что то же, рассматривать значения х: (нормированные значения х), символ читается «по определению»; в этом случае имеет место равенство выражений (3) и (5).

Значения функции f(t) (2)₁ также затабулированы, но вместо введено более распространенное обозначение х, а вместо используется обозначение (приложение 1):

(2)₂

Функция (x) называется функцией плотности вероятностей нормированной нормальной случайной величины Х₀. На рис. 8 и 9 показаны графики функций (x) и (x).

Используя (5), вычислим вероятность попадания в интервал [, ] нормально распределенной случайной величины Х с параметрами a и . Согласно свойству функции F(x) распределения вероятностей вероятность равна разности значений функции F(x) на границах интервала [, ]:



Учитывая (3), получим

(6)

Функция (x) распределения вероятностей стандартной нормальной случайной величины определенная согласно (5), называется функцией Лапласа (рис. 8).

Функция Лапласа является непрерывной, монотонно возрастающей функцией в пределах значений от 0 до 1. Из симметричности относительно начала координат кривой нормального распределения с параметрами a = 0 и  = 1 (рис. 7) следуют очевидные равенства:

(7)

(8)

(9)

Формула (8) позволяет вычислять значения функции Лапласа Ф(x) при любых действительных значениях используя только таблицу значений Ф(x) при (прил. 3).

Основные свойства функции Лапласа (x):

1.

2.

3. (см. (1) и (5)).

4. (условие нормировки: площади, заключенные под кривыми (2) и (2)₂, равны 1).

5. Учитывая (8) и (9), для вычисления вероятности используют также таблицы значений интегралов:

(прил. 3), (10)

(11)

например:

(6)₁

При использовании таблицы значений ₀(x) необходимо иметь ввиду нечетность функции ₀(x):

(12)

6. Вероятность P случайного события X < x для нормального распределения случайной величины Х с параметрами M(X) = a и в принятых обозначениях записывается следующим образом: