ЛабПрактикумМеханика. Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
 Скачать 4.4 Mb.
|
|
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Момент импульса. Законы сохранения момента импульса и энергии Метод определения скорости полета пули с помощью крутильного баллистического маятника основан на использовании законов сохранения момента импульса и механической энергии. Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О (рис. 1) называют векторное произведение радиус-вектора r , проведенного из точки О до точки А, на вектор импульса p [ ] , , L r p r m υ = = , где m – масса материальной точки; υ – ее скорость. Направление вектора L совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p Модуль момента импульса равен sin L r p p l = α = , 23 где α – угол между векторами r и p , sin r l ⋅ α = – плечо импульса относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен p ). Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называют скалярную величину z L , равную проекции на эту ось вектора момента импульса L , определенного относительно произвольной точки О данной оси Z (рис. 2). Значение z L не зависит от выбора точки положения О на оси Z. При вращении абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса i r с некоторой скоростью i υ Скорость i υ и импульс i i υ m перпендикулярны этому радиусу, поэтому радиус является плечом вектора i i υ m . Момент импульса отдельной частицы будет равен i i i i r m L υ = и направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. А l Рис. 1. Момент импульса относительно неподвижной точки О Z X Y O A Рис. 2. Момент импульса относительно неподвижной оси Z О 24 Момент импульса твердого тела относительно оси Z равен сумме моментов импульса отдельных частиц 1 n i i i i z L m r υ = = ∑ Учитывая, что i i r υ ω = получаем ω ω 1 2 1 2 ω z z J r m r m L n i i i n i i i = ∑ = ∑ = = = Силой называют векторную физическую величину, являющуюся мерой воздействия на тело других тел и полей. Силы, работа которых определяется только начальным и конечным положением тела и не зависит от формы траектории, называют консервативными или потенциальными. Силы, работа которых зависит от траектории перемещающегося тела из одной точки в другую, называют диссипативными (неконсервативными) Совокупность материальных точек или тел, выделенных для рассмотрения, называют механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними. Силы, с которыми на тела системы действуют внешние тела, называют внешними. Если на механическую систему тел внешние силы не действуют, то такую систему называют замкнутой или изолированной. Количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи является энергия. В соответствии с различными формами движения и взаимодействия материи энергию подразделяют на механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие виды. Различают два вида механической энергии (кинетическую и потенциальную), сумму которых называют полной механической энергией или просто механической энергией. Кинетическая энергия – это энергия, которой тела обладают вследствие своего движения. Физический смысл кинетической энергии заключается в следующем: кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Изменение кинетической энергии тела при некотором перемещении равно работе результирующей силы, действующей на тело при этом перемещении. Работа консервативной силы при бесконечно малом изменении конфигурации системы равна убыли некоторой функции, зависящей 25 только от относительного расположения тел системы и характера сил взаимодействия между ними. Эту функцию и называют потенциальной энергией системы. Согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия системы тел в отсутствии диссипативных сил (как внутренних, так и внешних) остается постоянной. Если между телами системы или на тела системы, кроме консервативных сил, действуют диссипативные силы, то полная механическая энергия не сохраняется. Работа диссипативных сил равна изменению полной механической энергии. Утверждение о том, что момент импульса замкнутой системы остается постоянным, выражает закон сохранения момента импульса. 3.2. Крутильный баллистический маятник Баллистическим маятником называют тяжелое тело, подвешенное на длинной проволоке (нити). Крутильный баллисти- ческий маятник – это маятник, совершающий повороты вокруг неподвижной оси то в одну, то в другую сторону. Крутильный баллистический маятник совершает гармонические колебания при малых углах поворота ϕ, если действующий на него вращающий момент M пропорционален углу поворота M D = − ϕ , (1) где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки (коэффициентом момента упругих сил или коэффициентом упругости при крутильных колебаниях). Величина D зависит от длины проволоки, ее диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала проволоки. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения M J = ε , (2) где J – момент инерции тела относительно оси вращения; ε – угловое ускорение, равное второй производной угла поворота φ по времени 2 2 ( ) d dt ϕ ε = = ϕ 26 Из (1) и (2) получаем 0. D J ϕ + ϕ = (3) Сравнивания (3) с дифференциальным уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний 2 0 0 х х + ω = , получаем 2 0 D J ω = или 2 2 4 D J T π = , (4) где T – период колебаний. Представим маятник в виде стержня, подвешенного на проволоке длиной l (рис. 3). Пуля массы п m , летящая горизонтально со скоростью υ , обладает импульсом п p m υ = . Попав в ловушку с пластилином, пуля начинает двигаться по окружности радиуса r . Момент импульса пули относительно оси вращения маятника перед столкновением с мишенью равен п L p r m r υ = ⋅ = ⋅ ⋅ Рис. 3. Стержень и пуля 27 Пуля, попав в мишень с пластилином, останавливается в ней и начинает двигаться с маятником как одно целое. Согласно закону сохранения момента импульса п m r J υ = ω, (5) где J – момент инерции маятника с пулей относительно оси вращения маятника; ω – угловая скорость маятника; Jω – момент импульса маятника с пулей; r – расстояние от линии, вдоль которой движется пуля, до оси вращения маятника. Момент инерции маятника ( м J ), используемого в данной работе, складывается из момента инерции стационарной части маят- ника J 0 (проволоки, стержней, ловушек с пластилином) и момента инерции двух перемещаемых грузов 2 м 0 гр 2 J J m R = + , где R – расстояние от грузов до оси вращения; m гр – масса каждого из грузов. Момент инерции пули 2 п п J m r = Момент инерции маятника с пулей равен м п J J J = + 2 2 0 гр п 2 J m R m r = + + (6) Упругая сила, возникающая в проволоке при ее закручивании (повороте), будет противодействовать вращению маятника. Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия маятника (энергия вращательного движения) после взаимодействия с пулей равна потенциальной энергии проволоки при ее закручивании 2 2 2 2 J D ω ϕ = , (7) где φ – угол поворота маятника. Решая совместно уравнения (5) и (7) получим п JD m r υ ϕ = (8) С учетом (4) уравнение (8) запишем в виде п 2 J m r Т υ πϕ = (9) 28 Из уравнения (4) следует 2 2 4 J T D = π 2 2 0 гр п 2 2 4 J m R m r D + + = π (10) Для двух разных положений грузов можно записать 2 1 T 2 2 0 гр 1 п 2 2 4 J m R m r D + + = π 2 2 T 2 2 0 гр 2 п 2 2 4 J m R m r D + + = π (11) Из уравнений (11) следует, что 2 2 2 2 гр 1 2 2 1 2 0 п 2 2 2 1 2 ( ) m T R T R J m r T T − = − − (12) После подстановки (12) в (6) уравнение (9) можно записать в виде 2 2 2 2 гр 1 2 2 1 2 1 гр 1 2 2 п 1 п 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 m Т R Т R J m R m rT m rT Т Т υ − πϕ πϕ = = + − или 2 2 гр 1 2 1 2 2 п 2 1 4 ( ) ( ) m T R R m r T T υ π ϕ − = − (13) 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Общий вид установки для определения скорости полета пули приведен на рис. 4. Установка представляет собой горизонтальное основание 1, опирающееся на четыре ножки регулируемой высоты. На основании установлена вертикальная стойка 2 с тремя горизонтальными кронштейнами. На одном из кронштейнов установлена горизонтальная платформа 3 со стреляющим устройством 4. Крутильный баллистический маятник состоит из стержня, укрепленного на проволоке 5 , на котором располагаются подвижные грузы цилиндрической формы и неподвижные относительно стержня ловушки с пластилином. Проволока укреплена на кронштейнах 6, 7. На платформу 3 устанавливается защитный кожух с прозрачной шкалой углов 8. На основании 1 расположен секундомер 9. 29 5. ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ 1. Не загромождать рабочее место посторонними предметами (одеждой, сумками и т.д.). 2. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и оборудованием. 3. На стреляющем устройстве пулю располагайте строго в направляющем стержне, чтобы она не попала в прозрачную шкалу или в аудиторию. 4. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Отключите секундомер. 9 1 7 2 4 8 5 6 3 Рис. 4. Экспериментальная установка 30 6. ЗАДАНИЕ Определение скорости полета пули по измерению периода колебаний и угла поворота крутильного баллистического маятника. 7. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1. С помощью ножек выровнять прибор, чтобы крутильный баллистический маятник мог совершать свободные колебания. 2. Максимально приблизить грузы друг к другу (R 1 = R min ). 3. Установить маятник таким образом, чтобы черта на ловушке совпадала с нулем на угловой шкале 8, и чтобы укрепленный на проволоке стержень располагался перпендикулярно стреляющему устройству. 4. Зарядить пулю в стреляющее устройство и сделать выстрел. 5. Измерить угол поворотаϕ маятника и расстояние r от места попадания пули в ловушку с пластилином до оси вращения маятника. 6. Измерения по пунктам 3–5 провести 3 раза. Вычислить среднее значение ϕ ср и r ср 7. Отклонить маятник на угол ϕ = φ ср и измерить с помощью секундомера время 10 колебаний. Измерения повторить еще 2 раза. По среднему времени вычислить период Т 1 8. Максимально отдалить грузы друг от друга (R 2 = R max ). Отклонить маятник на угол ϕ = ϕ ср и измерить с помощью секундомера время 10 колебаний. Измерения повторить еще 2 раза. По среднему значению времени вычислить период Т 2 9. По формуле (13) вычислить скорость пули, приняв m гр = (200 ± 1) г, R 1 = 2 см, R 2 = 9 см, масса пули m п – по указанию преподавателя. При расчетах угол ϕ ср выразить в радианах. 10. Все результаты измерений и вычислений занести в табл.1 11. Рассчитать погрешность определения скорости полета пули. Таблица 1 № ϕ ср , град r ср , м n 1 t 1 , с t 1 ср , с T 1 , с n 2 t 2 , с t 2 ср , с T 2 , с 1 2 3 31 Контрольные вопросы 1. Какой маятник называется крутильным баллистическим маятником? 2. От чего зависит момент инерции маятника? 3. Как изменится период колебаний крутильного баллисти- ческого маятника, если увеличить массу грузов, не передвигая их? Передвинуть грузы ближе к оси, не изменяя их массы? 4. Что называется моментом импульса материальной точки (твердого тела) относительно неподвижной оси? 5. Как определяется направление вектора момента импульса? 6. Как формулируется закон сохранения момента импульса? 7. Как записывается закон сохранения момента импульса для системы пуля – маятник? Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение. 8. Как формулируется закон сохранения механической энергии? 9. Какие силы называют консервативными? Какие силы называют диссипативными? 10. Как записывается закон сохранения механической энергии для системы маятник – упругая проволока? Раскройте физический смысл величин, входящих в уравнение. Требования к содержанию и оформлению отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Номер, название и цель лабораторной работы. 2. Теоретические основы использования колебаний крутильного баллистического маятника для определения скорости полета пули. 3. Таблицу с результатами измерений и вычислений. 4. Расчет погрешности измерения скорости полета пули. 5. Вывод по работе. Критерии результативности выполнения лабораторной работы Лабораторная работа считается выполненной, если студент: – усвоил понятия момента импульса, энергии, а также законы сохранения импульса и энергии; – овладел знанием теоретических основ экспериментального определения скорости пули с помощью крутильного баллистического маятника; 32 – правильно выполнил измерения и расчеты; – оформил отчет в соответствии с предъявляемыми требованиями; – дал исчерпывающие ответы на все контрольные вопросы. Список литературы 1. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. – СПб.: Издательство «Лань», 2018. 2. Детлаф А. Н., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015. 3. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Академия, 2016. 33 Лабораторная работа № 3 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 1. ЦЕЛИ РАБОТЫ 1. Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения. 2. Определение момента инерции маятника Обербека и момента сил трения. 3. Изучение зависимости момента инерции грузов, симметрично закрепленных на стержнях, от расстояния, на котором находятся центры масс грузов до оси вращения. 2. ЗАДАЧИ 1. Закрепление теоретических знаний по теме «Твердое тело в механике». 2. Приобретение навыков проведения физических измерений, умения обработки полученных данных. 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Основное уравнение динамики вращательного движения Моментом силы относительно неподвижной точки О (рис. 1) называют векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки О до точки А приложения силы, на вектор силы F М r F = × l A Рис. 1. Момент силы относительно неподвижной точки О О 34 Направление вектора М совпадает с направлением поступа- тельного движения правого винта при его вращении от r к F Модуль момента силы равен sin М F r F l = ⋅ ⋅ α = ⋅ , где α – угол между r и F , sin r l ⋅ α = – плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила). Моментом силы относительно неподвижной оси Z или вращательным моментом называют скалярную величину z М , равную проекции на эту ось вектора момента силы М , определенного относительно произвольной точки О данной оси Z (рис. 2). Значение z М не зависит от выбора точки положения О на оси Z. Если векторы F и r перпендикулярны оси Z, то вектор момента силы относительно данной оси либо сонаправлен с осью Z, либо направлен противоположно оси Z и соответственно z М M = или z М M = − Разобьем твердое тело, вращающееся вокруг оси Z, на материальные точки. На рис. 3 показана материальная точка массой m i , расположенная на расстоянии r i от оси вращения. O A Рис. 2. Момент силы относительно неподвижной оси Z z x y 35 Пусть на нее действует сила i F τ вдоль касательной к траектории движения точки. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, сонаправленную с i F τ , i i i F m a τ τ = ⋅ , (1) где a i τ − проекция тангенциального ускорения точки на указанную ось, связанная с проекцией ее углового ускорения ε на ось Z соотношением ε i i a r τ = ⋅ . (2) Вращательный момент силы, действующий на материальную точку, равен i i i M F r τ = ⋅ (3) Из (1), (2) и (3) получаем 2 ε i i i M m r = ⋅ ⋅ (4) Аналогичные по виду уравнения можно записать для всех материальных точек тела, так как угловое ускорение у них одинаковое. Сложив их, получим 2 ε i i i i i M m r = ⋅ ∑ ∑ (5) Сумма i i M ∑ в правой части этого уравнения представляет собой суммарный вращательный момент M всех сил, действующих на тело, а сумма 2 i i i m r ⋅ ∑ в левой части равенства – момент инерции J тела относительно оси Z. С учетом этого и возможных различий m i r i F i τ Z Рис. 3. Разбиение твердого тела на материальные точки 36 в направлениях как векторов i F τ , так и i r для различных точек тела, из уравнения (5) следует, что ε M J = ⋅ (6) Полученное уравнение (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения. Из (6) следует, что вектор момента силы M относительно оси сонаправлен с вектором углового ускорения ε . При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращения угловой скорости: при ускоренном движении ε сонаправлен с ω , при замедленном – противоположен ему (рис. 4). Сравнивая (6) с математическим выражением второго закона Ньютона для поступательного движения тела F m a = ⋅ , можно заключить, что при вращательном движении роль силы F выполняет момент силы М , роль массы m – момент инерции J. Следовательно, момент инерции является мерой инертности вращающегося тела. Рис. 4. Направление векторов углового ускорения 37 |