ЛабПрактикумМеханика. Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения

• Название: Контрольные вопросы для закрепления изученного материала. Предназначен для студентов очной и заочной форм обучения
• Дата: 14.02.2022
• Размер: 4.4 Mb.
• Имя файла: ЛабПрактикумМеханика.pdf
• Тип: Контрольные вопросы; #360985
• страница: 4 из 17

3.2.
Применение
основного
уравнения
динамики
вращательного движения к маятнику Обербека
Справедливость основного уравнения динамики вращательного движения можно проверить с помощью маятника Обербека, который схематично изображен на рис. 5.
Маятник состоит из четырех стержней 1 с нанесенными на них делениями, насаженных на втулку под прямым углом друг к другу.
На стержни надеваются одинаковые грузы 2, которые могут быть закреплены на разных расстояниях R от оси вращения. На втулку также насажен диск 3 радиусом r. Гиря 4, приводящая маятник во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через блок 5 и наматывается на диск 3.
Движение гири 4 происходит под действием силы тяжести
m g

(где m – масса гири) и силы натяжения нити
F

. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид
ma
mg
F
=
−
(7)
Ускорение гири а можно найти, зная время t ее опускания и пройденный путь h,
2 2 h
a
t
=
(8)
Рис. 5. Маятник Обербека
1 3
2 4
●
r
R
5 38

Маятник Обербека вращается под действием момента силы натяжения нити и момента силы трения. Учитывая (7) и (8), момент силы натяжения относительно оси вращения маятника равен
2 2 h
M
F r
m r g
t


= ⋅ =
−




(9)
Тангенциальное ускорение точек на ободе диска 3, удаленных на расстояние r от оси его вращения, равно ускорению гири
a
a
τ
= .
Учитывая соотношение, связывающее угловое ускорение и тангенциальное ускорение точек окружности диска,
ε
a
r
τ
⋅
=
, из формулы (8) находим
2 2
ε
h
t r
=
(10)
Согласно равенству (6), уравнение движения маятника имеет вид тр
M
M
J
+
= ⋅ ε



, где
M

– момент силы натяжения нити; тр
M

– момент силы трения;
J
– момент инерции маятника.
В проекции на ось вращения тр
M
M
J
−
= ⋅ ε,
(11)
Откуда тр
M
M
J
=
+ ⋅ ε.
(12)
Момент инерции
J
маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции
0
J диска со стержнями и момента инерции четырех грузов гр
J
, закрепленных на стержнях 4 на равных расстояниях от оси вращения.
Если размеры грузов малы по сравнению с расстоянием
R
от центра масс каждого из грузов до оси вращения, то их можно считать материальными точками. В этом случае момент инерции грузов равен
39

2
гр гр
4
J
m R
=
,
(13) где гр
m
– масса одного груза, закрепленного на стержне.
Тогда момент инерции маятника
2 0
гр
0
гр
4
J
J
J
J
m
R
=
+
=
+
(14)
Из равенства (12) видно, что если сила трения постоянна, то зависимость величины М от ε линейная, графиком которой является прямая. При этом момент инерции J играет роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между
M
и
ε
позволяет найти момент инерции маятника J и момент силы трения тр
M
. Графиком зависимости момента инерции J маятника Обербека от расстояния
R
между центром масс каждого из грузов до оси вращения, согласно
(14
), будет парабола.
4.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА
Общий вид установки с маятником Обербека приведен на рис. 6.
На вертикальной стойке 1 со шкалой, установленной на основании 2, прикреплены кронштейн 3 , две втулки 4 и 5, флажок 6.
Основание снабжено регулируемыми ножками 7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора.
На верхней втулке 5 закреплен диск 8, через который переброшена нить 9. Один конец нити прикреплен к диску 10, а на другом конце закреплены грузы 11. На кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 12 и находится разъем 13 для подключения электронного блока ВМ – 1/1, с помощью которого измеряется время движения груза.
40

5.
ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
1.
Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданиями и лабораторной установкой.
О замеченных неисправностях сообщите преподавателю или лаборанту.
2.
Не загромождайте рабочее место предметами, не имеющими отношения к выполняемой работе.
3.
Тщательно закрепляйте грузы на крестовине, чтобы они не слетали при раскручивании маятника.
4.
Следите за равномерной намоткой нити на шкив.
5.
По окончании работы обесточьте прибор и приведите в порядок рабочее место.
8 5
6 9
4 1
11 12 3
2 7
13 10
Рис. 6. Экспериментальная установка
41

6.
ЗАДАНИЯ
1.
Проверка зависимости величины углового ускорения ε от величины момента силы натяжения М при постоянном моменте инерции I
0 2.
Исследование зависимости момента инерции грузов, закрепленных на стержнях, от расстояния между центром масс каждого груза и осью вращения.
7.
МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 1. Проверка зависимости величины углового
ускорения ε от величины момента силы натяжения М
при постоянном моменте инерции J
0
.
1.
Снять грузы со стержней крестовины маятника Обербека.
2.
Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части вертикальной стойки таким образом, чтобы гиря с грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика.
3.
К концу нити подвесить груз массы m
1
Установить нижний край груза на определенной высоте, используя красный флажок на вертикальной стойке.
4.
Включить электросекундомер. Одновременно нажать на кнопку «ПУСК» и отпустить груз. Происходит растормаживание электромагнита, гиря начинает опускаться, и таймер блока начинает отсчет времени. При пересечении гирей фотоэлектрического датчика отсчет времени прекратится. Записать показания таймера, т.е. время движения гири t.
5.
Определить пройденный грузом путь h – расстояние от нижней плоскости гири в ее верхнем положении до оптической оси фотодатчика.
6.
Записав значения h, m, t, нажать клавишу «СБРОС». Для повышения точности измерений опыт повторить еще два раза, не изменяя h.
7.
Определить среднее значение времени движения груза.
8.
По формуле (10) по среднему времени рассчитать угловое ускорение маятника.
9.
По формуле (9) по среднему времени рассчитать момент силы натяжения.
10.
Повторить п. 4–9 для грузов с массами m
2
, m
3
, m
4
, m
5 42

11.
Все данные занести в табл. 1.
Таблица 1
m
, кг
t
, с
t
ср
, с
r
, м
h
, м
ε, c
–2
M
, кг⋅м
2
⋅
с
–2
m
1 1
2 3
m
2 1
2 3
m
3 1
2 3
m
4 1
2 3
m
5 1
2 3
12.
Построить график зависимости
(
)
f M
ε =
13.
Из графика найти момент инерции маятника без грузов
0
J
и момент силы трения М
тр
Задание 2. Изучение зависимости момента инерции грузов,
симметрично закрепленных на стержнях, от расстояния
на которых находятся центры масс грузов до оси вращения.
1.
Надеть на стержни грузы и укрепить их на одинаковых расстояниях от оси вращения.
2.
Измерить расстояние R от оси вращения до центра масс одного из грузов на крестовине.
3.
К концу нити подвесить груз массы m
1 4.
Три раза измерить время падения груза и по среднему времени по формулам (10) и (9) рассчитать угловое ускорение
ε
и момент силы натяжения нити М.
5.
Вычислить момент инерции маятника с грузами на крестовине тр
ε
M
M
J
−
=
43

6.
Определить момент инерции грузов относительно оси вращения по формуле гр
0
J
J
J
= − , где
0
J – момент инерции маятника без грузов.
7.
Не меняя груз массой m
1
, подвешенный на нити, повторить п. 2–6 для шести различных положений грузов на крестовине, изменяя расстояние R от оси вращения до центра масс каждого груза с шагом 2 см.
8.
Занести все данные в табл. 2.
Таблица 2
N
h
, м r, м R, м
t
, с
t
ср
, с ε, c
–2
M,
кг⋅м
2
⋅
с
–2
J, кг⋅м
2
J
гр
, кг⋅м
2
J
теор.
, кг⋅м
2 1
2 3
4 5
6 9.
Рассчитать и записать в табл. 2 теоретически ожидаемые значения моментов инерции грузов, находящихся на расстояниях R от оси вращения по формуле
2
теор гр
4
I
m R
=
, где гр
m – масса одного из закрепленных грузов.
10.
На одном рисунке построить графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции грузов, закрепленных на стержнях, от квадрата расстояния между центром масс каждого из грузов и осью вращения
2
гр
(
)
J
f R
=
Проанализировать возможные причины несовпадения графиков.
44

Контрольные вопросы
1.
Что называют моментом инерции материальной точки относительно оси? Что называют моментом инерции твердого тела относительно оси?
2.
Каков физический смысл момента инерции тела?
3.
Что называют моментом силы относительно точки О?
Что называют моментом силы относительно оси?
4.
Как определяют направление векторов углового ускорения, момента силы?
5.
Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?
6.
Каким образом в данной работе можно изменять вращающий момент, действующий на маятник Обербека?
7.
Моменты каких сил и как рассчитываются в работе?
8.
Как экспериментально оценить момент сил трения?
9.
Как получить зависимость момента инерции грузов от расстояния до оси вращения?
Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Номер, название и цель лабораторной работы.
2.
Теоретические основы использования маятника Обербека для проверки основного закона динамики вращательного движения.
3.
Таблицы с результатами измерений и вычислений.
4.
Графики зависимостей
(
)
f M
ε =
и
2
гр
(
)
J
f R
=
5.
Найденные из графика
(
)
f M
ε =
значения момента инерции маятника без грузов
0
J и момента силы трения М
тр
6.
Вывод по результатам работы.
Критерии результативности выполнения лабораторной
работы
Лабораторная работа считается выполненной, если студент:
– усвоил понятия момента инерции материальной точки и тела относительно оси, момента силы относительно точки и относительно оси, а также основной закон динамики вращательного движения, умеет определять направление векторов углового ускорения и момента силы;
45

– овладел знанием теоретических основ экспериментальной проверки основного закона динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека;
– правильно выполнил измерения и расчеты;
– оформил отчет в соответствии с предъявляемыми требованиями;
– сформулировал выводы о проделанной работе;
– дал исчерпывающие ответы на все контрольные вопросы.
Список литературы
1.
Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. – СПб.: Издательство «Лань», 2018.
2.
Детлаф А. Н., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academia, 2015.
3.
Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Academia, 2016.
46

Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ
ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
1.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определение момента инерции тела относительно различных осей методом крутильных колебаний.
2.
ЗАДАЧИ
1.
Закрепление студентами понятия момента инерции тела относительно оси, исследование его зависимости от массы тела и ее распределения относительно оси.
2.
Сравнение экспериментально полученных и теоретически рассчитанных значений момента инерции тела относительно оси.
3.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1.
Момент инерции. Теорема Штейнера
Моментом инерции материальной точки относительно оси называют величину
2
i
i
i
J
m r
=
⋅
,
(1) где m
i
– масса материальной точки, r
i
– расстояние от материальной точки до оси.
Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, составляющих тело
∑
⋅
=
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
r
m
J
J
1 2
1
(2)
Момент инерции твердого тела относительно интересующей оси, как следует из (2), является величиной аддитивной, т.е. момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции этих тел.
Представляя тело состоящим из сколь угодно малых частей объемом dV и массой dm и полагая массу непрерывно распределенной, его момент инерции относительно данной оси можно найти интегрированием
2 2
m
V
J
r d m
r dV
=
= ρ
∫
∫
,
(3) где ρ – плотность вещества тела.
47

Рассчитаем момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси OY, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину
(рис. 1). Разобьем стержень на элементы массой dm и длиной dх.
Момент инерции произвольно выбранного элемента с координатой
х относительно оси 0Y равен
2 2
,
m
dJ
x dm
x
dx
l
=
=
(4)
а момент инерции всего стержня относительно этой оси будет равен
2 2
2 2
2 0
2 1
2 12
l
l
l
m
m
J
x
d x
x
d x
m l
l
l
+
−
=
=
=
∫
∫
(5)
Момент инерции тонкой однородной пластины прямоугольной формы массой m, длиной b и шириной с относительно оси OZ, проходящей через ее центр масс (рис. 2), можно рассчитать, представив ее в виде совокупности тонких стержней массой dm и длиной b. Момент инерции dJ любого такого стержняотносительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его середину согласно (5) равен
2 1
12
dJ
b dm
=
, а момент инерции всей пластины относительно взятой оси OZ
2 2
0 1
1 12 12
m
J
dJ
b dm
mb
=
=
=
∫
∫
. (6)
Вычислим теперь момент инерции однородного сплошного параллеле-пипеда относительно оси симметрии
OZ
(рис. 3).
Разобьем его на параллельные пластины равной массы dm, толщиной dу со сторонами b и с.
O
Z
с
b
dm
Рис. 2. Разбивка пластины на тонкие стержни
dm
dx
0
Y
X
Рис. 1. Разбивка стержня на элементы
48

Момент инерции dJ
1
пластины, положение которой задается координатой у относительно вертикальной оси O
/
Z
/
, равен
2 1
1 12
dJ
b dm
=
(7)
Ее момент инерции dJ относительно оси OZ найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера, согласно которой момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J
с
тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями
2
c
J
J
md
= +
(8)
По этой теореме
2 2
2 2
2 2
1 12 12 12
b
m
b
d J
d m b
d m y
d m
y
d y
y
a




=
⋅ +
⋅ =
+
= ⋅
+








(9)
Момент инерции параллелепипеда относительно оси ОZ равен
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2
1 2
12 12 12
a
a
a
m b
m b
J
d J
y
d y
y
d y
m a
b
a
a
+
−




=
=
+
=
+
=
+








∫
∫
∫
(10) где а и b – длины сторон параллелепипеда, расположенные в плоскости XOY, m – масса параллелепипеда.
O
Y
X
dy
Z
•
•
а
b
с
Z
/
Рис. 3. Разбивка параллелепипеда на пластины
49

3.2.
Метод крутильных колебаний
В настоящей работе моменты инерции тела определяются с помощью крутильных колебаний. При повороте рамки, закрепленной на натянутой проволоке, происходит закручивание проволоки
(рис. 4).
Возникающие при этом силы упругости стремятся вернуть рамку в исходное положение. Величина М момента возвращающей силы при малом угле φ поворота рамки будет пропорциональна ему
M
D
= ⋅ϕ
,
(11) где D – коэффициент, называемый модулем кручения проволоки.
Величина D зависит от длины проволоки, ее диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала проволоки.
По основному закону динамики вращательного движения
M
J
ε
= ⋅


,
(12) где
ε
– угловое ускорение тела; J – его момент инерции относительно оси вращения.
Из (11) и (12) получается дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
2 0
0
ϕ +ω ⋅ϕ=

,
(13) где
0
D
J
ω =
– собственная частота колебаний. проволока исследуемое тело грузы
Рис. 4. Рамка с грузами проволока
50

Решением уравнения (13) является функция φ(t)
(
)
0 0
cos
,
t
ϕ=ϕ
ω + α
(14) где
0
ϕ
– амплитуда колебаний и α – начальная фаза.
Таким образом, угол φ отклонения рамки изменяется по гармоническому закону с периодом
2
J
T
D
= π
(15)
Период колебания Т
р
пустой рамки с моментом инерции J
р
относительно оси ее вращения равен
2
р
р
J
T
D
= π
(16) а период Т
1
колебаний системы, состоящий из рамки с установленными на нее грузами с суммарным моментом инерции J
0
относительно оси вращения
0 1
2
р
J
J
T
D
+
= π
(17)
Исключая из (16) и (17) модуль кручения проволоки D, получаем формулу для расчета момента инерции J
р
рамки
2 0
2 2
1
р
р
р
T
J
J
T
T
= ⋅
−
(18)
Если вместо грузов в рамке установить другое тело, то при известном значении J
0
период Т
2
колебаний этой системы будет равен
2 2
р
J
J
T
D
+
= π
,
(19) где J – момент инерции тела.
Решая систему уравнений (17) и (19) исключением D, получаем формулу для расчета момента инерции J установленного тела относительно оси его вращения
2 2
2
(
1)
р
р
T
J
J
T
=
−
(20)
С учетом (18)
2 2
2 0
2 2
1
р
р
Т
T
J
J
T
T
−
= ⋅
−
(21)
51