Методика преподавания математики в основной школе Курс лекций 1.. Курс лекций 2 оглавление
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
Тема: Задачи как средство обучения математике Цели: ознакомить студентов с ролью задач в обучении математике; изучить классификацию, виды и функции задач; рассмотреть основные компоненты и этапы решения задачи; организовать обучение решению текстовых задач. Вопросы: 1. Роль задач в обучении математике 2. Классификация задач 3. Виды задач и их функции 4. Основные компоненты задачи 5. Этапы решения задачи 6. Организация обучения решению математических задач 7. Индивидуальное решение задач РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ При обучении математике задачи имеют образовательное, практическое, воспитательное 102 значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико- материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал. При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими. В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами. С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов 103 решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т.д. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования: — задачи на доказательство; — задачи на построение; — задачи на вычисление. По функциональному назначению: — задачи с дидактическими функциями; — задачи с познавательными функциями; — задачи с развивающими функциями. По величине проблемности: — стандартные (известны все компоненты задачи); — обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); — поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); — проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи). 104 В соответствии с тем, какие компоненты задачи (А — условие, В — заключение, К— решение, С — базис решения задачи) неизвестны решающему, сформировалась следующая типология: 1- й тип — известны все компоненты (АСКВ); 2- й тип — неизвестен один компонент: а) ...СКВ; б) А...КВ; в) АС...В; г) АСК...; 3- й тип — неизвестны два компонента: а) А......В; б) ...СК... и т.д.; 4- й тип — неизвестны три компонента: а).........В; б) А.........; в) ...С......; г)......К.... По методам решения: — задачи на геометрические преобразования; — задачи на векторы и др. По числу объектов в условии задачи и связей между ними: — простые; — сложные. По компонентам учебной деятельности: — организационно-действенные; — стимулирующие; — контрольно-оценочные. Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, дву-шаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д. 105 ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ По своему функциональному назначению задачи как средство обучения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контроля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности знаний, умений и навыков (контролирующие задачи). Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием элементов теоретических знаний и связанных с ними умений. В системе задач, направленных на усвоение нового понятия и его определения, выделяют задачи: — на раскрытие практической значимости понятия или его значимости для дальнейшего продвижения в изучении математики; — на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании понятия; — на выделение существенных признаков понятия; — на распознавание понятия; — на усвоение текста определения понятия; — на использование математической символики; — на установление свойств понятия; 106 — на применение понятия; — на усвоение математических понятий; — на овладение математической символикой. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ В задаче выделяют основные компоненты: 1. Условие — начальное состояние; 2. Базис решения — теоретическое обоснование решения; 3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого; 4. Заключение — конечное состояние. Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3). Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей. На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят 107 дидактически направленную модель ти- пологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опы- том обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д. Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны. Стандартной называется задача, в которой четко определено уело вне, известны способ решения и его обоснование, а также даны упраж- нения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной. В литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не от- личаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много 108 исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и не- стандартные и т.д. Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: — алгоритмические задачи; — полуалгоритмические задачи; — эвристические задачи. Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для реше- ния которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату. Полуалгоритмические задачи — задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в ка- честве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны стороны треугольника 109 и высота, опущенная на основание. Необходимо найти периметр треугольника. Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он на- чинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях. Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника. При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Решение задачи осуществляется в несколько этапов. 1. Ознакомление с содержанием задачи. — Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или 110 элементов цели). — Поиск необходимой информации в сложной системе памяти. — Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д. 2. Поиск решения — выдвижение плана решения задачи. — Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых. — Попытки подвести задачу под известный тип. — Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных). — Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д. 3. Процесс решения — реализация плана решения. — Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д. 4. Проверка решения задачи. — Фиксация конечного результата решения. — Критический анализ результата, поиск 111 путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление сущест- венного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д. Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны, главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые задачи на составление уравнения. При решении текстовой задачи с помощью составления уравнения необходимо придерживаться следующей последовательности действий: 1. Вычленить условие и требование задачи. 2.Установить зависимость между данными и искомыми. 3. Выявить способ составления уравнения и т.д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются: — преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения; — моделирование выделенного отношения 112 в предметной, графической или буквенной форме; — преобразование модели отношения для изучения его свойств; — построение системы частных задач, решаемых общим способом. Решение задач в 5 — 6 классах осуществляется, в основном, тремя способами: — арифметическим, при котором все логические операции при решении задачи проводятся над конкретными числами и основой рассуждения является знание смысла арифметических действий; — алгебраическим, при котором составляется уравнение (система уравнений), его решение основано на свойствах уравнений; — комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач — решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной. Устное решение задач наиболее 113 распространено в среднем звене об- щеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тожде- ственных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использовать таблички, компьютер, интерактивную доску и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок математики. Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем или учащимися на уроках применяют: — при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; — при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; — при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения; — при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т.д. Письменное самостоятельное решение задач 114 — наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимули- рует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различными. Комментирование решения математических задач: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик- комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Исключительное значение имеют самостоятельные работы учащихся по устранению 115 пробелов в знаниях. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, при решении задач на уроке или дома. Положительные результаты по устранению пробелов в знаниях дают работы над ошибками, коррекционные самостоятельные уроки. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Домашнее задание имеет целью не только повторение, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. Необходимо учитывать различие индивидуальных особенностей школьников и индивидуализировать домашние задания. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся к математике и развить их. Часто в качестве индивидуального домашнего задания могут выступать реферативные доклады, сообщения, анализ статей и публикаций математического характера, практические задания и др. 116 Вопросы для самопроверки 1. Какова роль задач в обучении математике? Какие функции выполняют задачи в процессе обучения школьников математике? 2. Объясните смысл принципа «обучение через задачи». 3. Охарактеризуйте виды задач и опишите их. Приведите примеры задач разных видов. 4. Назовите и охарактеризуйте основные компоненты задачи. Произведите разбор какой- либо задачи покомпонентно. 5. Раскройте содержание этапов решения задач: — анализ условия задачи; — поиск способа решения задачи; — реализация способа решения задачи; — оценка различных способов решения задачи; — использование задачи и ее решения для составления новых задач. 6. Выберите любую задачу и разработайте поэтапную методику ее решения. 7. Как организовать работу учителя по формированию у школьников умения решать математические задачи? 8. Как индивидуализировать процесс решения зада 117 Лекция 8 Тема: Формирование алгоритмической культуры учащихся. Цели: ознакомить студентов с алгоритмизацией обучения математике; рассмотреть программированное обучение как средство формирования алгоритмического стиля мышления. Вопросы: 1. Алгоритмизация обучения. 2. Алгоритмическая культура учащихся. 3. Принципы обучения алгоритмам. 4. Пути формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. 5. Программированное обучение как средство формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ Алгоритм — одно из фундаментальных понятий математики. Алгоритм — общепринятое и однозначное предписание, определяющее 118 процесс последовательного преобразований исходных данных в искомый результат. Обучение математике на любом уровне обязательно включает обучение алгоритмам. Алгоритмический подход — это обучение учащихся какому-либо общему методу решения посредством алгоритма, выражающего этот метод. Школьный курс математики предлагает большой выбор алгоритмов. Это алгоритмы: — приведения дробей к общему знаменателю; — построения биссектрисы угла; — решения задачи на построение; — исследования функции и построения ее графика; —вычисления площади криволинейной трапеции и др. Умение формулировать и применять алгоритмы важно не только для развития математического мышления и математических умений, оно означает также и умение формулировать и выполнять правила. Алгоритмизация обучения понимается в двух смыслах: обучение учащихся алгоритмам, построение и использование алгоритмов в обуче- нии. Существуют два способа обучения алгоритмам: • сообщение готовых алгоритмов; 119 • подведение учащихся к самостоятельному открытию необходимых алгоритмов. Второй способ является вариантом эвристического метода обучения и предполагает реализацию трех этапов изучения математического материала: 1. Выявление отдельных шагов алгоритма. 2. Формулировка алгоритма. 3. Применение алгоритма. Построение алгоритмов обучения представляет собой описание обучающей деятельности учителя, включающее предписания, правила, последовательность действий алгоритмического типа, с помощью которых учитель решает определенные дидактические задачи. Тогда часть процесса обучения учащихся конкретному содержанию может быть представлена в виде так называемого алгоритма обучения, отражающего методическую характеристику учения. Для построения этого алгоритма нужно проанализировать содержание и цели обучения, деятельность учащихся по его усвоению и деятельность учителя по организации этого усвоения, а также особенности учащихся данного класса. Алгоритмы обучения являются составной частью педагогических технологий. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА УЧАЩИХСЯ 120 Проблема формирования .алгоритмической культуры учащихся особенно актуальна в современном образовательном процессе. Математике принадлежит ведущая роль в формировании совокупности знаний, умений и навыков работы с алгоритмами у подростков. В ходе изучения математики систематически и последовательно формируются навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. Формирование алгоритмической культуры учащихся способствует осознанному восприятию математического материала, что предполагает обязательное наличие общих представлений: — об алгоритме и его свойствах; — о языковых средствах записи алгоритмов (развернутая форма, табличная форма, блок- схема); — об алгоритмических процессах (линейном, разветвляющемся, циклическом). Язык блок-схем — самый наглядный из всех человеческих языков, используемых для записи алгоритмов. Алгоритмическая культура учащегося должна содержать следующие компоненты: 121 • понимание сущности алгоритма и его свойств; • понимание сущности языка как средства для записи алгоритма; • владение приемами и средствами для записи алгоритмов; • понимание алгоритмического характера методов математики и их приложений; • владение алгоритмами школьного курса математики; • понимание элементарных основ программирования на компьютере. Повышение алгоритмической культуры учащихся зависит от целей формирования основных компонентов алгоритмической культуры, которая на современном этапе развития общества должна составлять часть общей культуры каждого человека. Понимание языковых и алгоритмических аспектов общения составляет элемент культуры современного человека. Алгоритмы являются неотъемлемой составляющей деятельности людей в различных областях науки: филологии, истории, педагогике и др. Результат деятельности человека любой области знаний зависит от того, насколько четко он осознает алгоритмическую сущность своих действий: что он делает, в какой последовательности и каков ожидаемый результат его действий. Все это определяет аспект культуры мышления человека, 122 характеризующийся умением составлять и использовать в своей деятельности различные алгоритмы. ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ АЛГОРИТМАМ Математические навыки у учащихся закрепляются успешнее при введении в учебный процесс специальных предписаний и правил, что служит пропедевтикой формирования в дальнейшем алгоритмической культуры школьников. Постоянное использование в работе алгоритмов и предписаний должно ориентировать учащихся не на простое запоминание определенного плана или последовательности действий, а на понимание и осознание этой последовательности, необходимости каждого ее шага. Обучение алгоритмам должно строиться с учетом принципов: • создание у учащихся полной ориентировочной основы применения алгоритмов; • использование приемов, раскрывающих происхождение алгоритмов; • алгоритмизация всего процесса обучения математике в школе; • развитие логической культуры учащихся; • обеспечение взаимосвязи алгоритмов; 123 • формирование основных компонентов алгоритмической культуры учащихся. Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся заменить предложенный алгоритм более простым и обосновать целесообразность такой замены, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Алгоритмизация обучения предполагает единство между анализом и синтезом и активно влияет на развитие творческого мышления учащихся. Свободное творчество возможно только на базе осознанных алгоритмов. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В учебном процессе необходимо чаще практиковать перевод учебного теоретического материала на язык схем и алгоритмов, что позво- лит избежать негативных явлений в обучении: • отсутствие четкого разделения между шагами действий; • трудности в определении последовательности решения задач; • сложность или невозможность изложения учебного материала четко и алгоритмически. 124 В процессе преподавания математики необходимо использовать методы, формирующие алгоритмическую культуру учащихся: выполнение заданий по алгоритму, выработка последовательности действий с обоснованием, составление и апробация алгоритмов, конструирование алгоритмов и др. Ученики, хорошо усвоившие необходимые алгоритмы, могут оперировать свернутыми знаниями при решении алгоритмических задач, в том числе и сложных, при этом они не затрачивают усилия на поиск решения частичных проблем, применяя алгоритмы. Умение учащихся оформить свои рассуждения и весь ход решения задачи в виде таблицы или блок- схемы существенно дисциплинирует мышление, становится необходимым практическим качеством, способствует более быстрому и сознательному овладению алгоритмическим языком в будущем. Составление алгоритмов активизирует умственную деятельность школьников и развивает их математические способности. В современном обучении появилась новая школьная дисциплина — алгоритмика, направленная на формирование и развитие алгоритмического мышления учащихся. Алгоритмика — часть математики, она изучается в 5 — 7 классах и носит пропедевтический характер. 125 Алгоритмика предусматривает изучение основных алгоритмических конструкций и построение алгоритмов различных типов. Осуществление требуемых операций возможно только с помощью четкого ого выполнения последовательных шагов. При систематическом применении учителем в своей работе алгоритмов у учащихся вырабатываются элементы алгоритмической культуры. ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ Программированием называется процесс подготовки задач для ре-шения на компьютере. Он включает: — Составление алгоритма решения задачи. — Описание алгоритма решения задачи на языке программирования (составление программы). — Трансляция программы на машинный язык в виде последова-тельности команд. Программированное обучение — метод, в котором изучаемый материал подается в строгой логической последовательности — «кадрами», каждый кадр содержит, как правило, порцию нового материала и контрольный вопрос. Основой 126 такой обучающей программы является некоторый алгоритм обучения. Существуют две системы программирования учебного материала— линейная и разветвленная. Эта системы были разработаны в 50 — 60 г XX в., когда возникло и получило большую популярность программированное обучение. Линейная программа предполагает подачу учебного материала очень небольшими порциями, содержащими простой вопрос по этому материалу. Ученик, внимательно прочитавший этот материал, может легко, быстро и безошибочно ответить на вопрос. При переходе к следующей порции ученик узнает, правильно ли он ответил на вопрос предыдущего кадра, сравнивая свой ответ с верным ответом. Вопросы простые, они имеют обучающий, а не контролирующий характер. Разветвленная программа характеризуется разделением учебного материала на порции со значительно объемной информацией. В конце кадра содержится вопрос с выборочными ответами. Из нескольких, вариантов ответов только один правильный. Против каждого ответа указывается страница, к которой можно обратиться за справкой, если допущена ошибка. После этого предлагается вернуться к последнему кадру. И так до тех пор, пока ученик не поймет свою ошибку и не даст правильный ответ. Разветвленная программа ближе к реальному про- 127 цессу обучения, подходит для индивидуального обучения. Программированное обучение обладает рядом достоинств, способствующих лучшей реализации принципов дидактики. Для него характерны; — правильный отбор учебного материала; — рациональная дозировка подачи учебного материала; —активная самостоятельная деятельность ученика по усвоению учебного материала; — обеспечение возможности каждому ученику работать со свойственной ему скоростью; — высокая степень контроля за результатами обучения. Успехи в развитии компьютерной техники привели к возрастанию роли компьютеров во всех областях жизни современного общества и сделали процесс компьютеризации обучения на основе его программирования необратимым. Вопросы для самопроверки 1. Что такое алгоритм? 2. Какую роль в процессе обучения математике играют алгоритмы? Приведите примеры алгоритмов из школьного курса математики. 3. Назовите и охарактеризуйте способы обучения 128 алгоритмам. Какой из способов связан с эвристическим характером процесса обучения математике? 4. Что понимается под алгоритмизацией обучения? В чем смысл алгоритмического подхода к обучению? 5. Назовите принципы обучения алгоритмам учащихся. 6. Охарактеризуйте компоненты алгоритмической культуры учащихся. 7. В чем проявляется алгоритмический стиль мышления? 8. Каковы пути формирования алгоритмического стиля мышления у учащихся при обучении математике? 9. Охарактеризуйте функции учащихся по составлению алгоритмов. 10. Какую роль в профессиональной деятельности учителя играют алгоритмы? 11. Что представляет собой программированное обучение? |