Методика преподавания математики в основной школе Курс лекций 1.. Курс лекций 2 оглавление
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
Тема: Формы мышления в процессе обучения математике. Цели: ознакомить студентов с качествами научного мышления; рассмотреть пути формирования понятий, их классификацию; рассмотреть понятие теоремы, виды теорем и методы их доказательств. Вопросы: 1. Качества научного мышления. 2.Математическое мышление. 3. Математическое понятие и его характеристики 4. Пути формирования понятий. Классификация понятий. 5. Определение понятия. Виды определений. 6.Теорема. Виды теорем. Методы доказательства теорем. КАЧЕСТВА НАУЧНОГО МЫШЛЕНИЯ Современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные 50 приемы мышления - специальным предметом усвоения. Научное мышление характеризуют следующие качества: гибкость — умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; способность выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблемы при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта; оригинальность — высший уровень развития нешаблонного мышления, необычность способов решения учащимися известных задач. Оригинальность мышления — следствие глубины мышления; глубина — способность проникать в сущность каждого изучаемого факта, в его взаимосвязь с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале; умение конструировать модели конкретных ситуаций и т.д.; целесообразность — стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремление отыскать кратчайшие 51 пути ее достижения; рациональность — склонность к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения; широта — способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к част- ным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом, обобщить ее, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения; а также умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты и использовать аналогию и обобщение как методы решения задач; активность — постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить данную проблему, изучить различные подходы к ее решению и др.; критичность — умение оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности и значимости; умение найти и исправить собст- венную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы выявить противоречие, помогающее понять причину 52 ошибки; доказательность — умение терпеливо относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремление к обоснованию каждого шага решения задачи; умение отличать достоверные результаты от правдоподобных; организованность памяти — способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению учебного материала. При обучении учащихся математике следует развивать как оперативную, так и долговременную память, обучать учащихся запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательству теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт. Организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на их понимании. Не нуждаются в комментариях такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность устной и письменной речи. Совокупность всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 53 Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников, тесно связанное с формированием приемов мышления в процессе учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение и др.) выступают также как специфические методы научного ис- следования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике как одного из базовых школьных предметов. Основными целевыми компонентами математического образования в школе являются: усвоение учениками системы математических знаний; овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; развитие мышления учащихся. Мыслительная деятельность школьников выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Сравнение — это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Сравнение 54 лежит в основе всех других мыслительных операций. Анализ — это мысленное расчленение предмета познаний на части. Синтез — мысленное соединение отдельных элементов в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Абстракция — это мысленное выделение каких- либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абст- ракции выделенное свойство или признак становится предметом мышления. Обобщение рассматривают как мысленное выделение: — общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности; — существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое об- общение). Конкретизация также выступает в двух формах: - как мысленный переход от общего к единичному, частному; — как восхождение от абстрактно-общего к частному, путем выявления различных свойств и 55 признаков объекта. Различают три вида мышления: 1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами). 2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов). 3. Теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений). С развитием математики как науки и методики преподавания математики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие ма- тематическое мышление, существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике. Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков. Математические способности — это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных в процессе математической деятельности. Математическая одаренность школьников характеризуется быстрым схватыванием математического материала; тенденцией мыслить 56 сокращенно, свернутыми структурами, стремлением к своеобразной экономии умственных усилий; наличием ярких пространственных представлений. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы — формирование понятийного аппарата темы. Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных по- нятий. Содержание понятия — это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия — множество объектов, к которым применимо данное понятие. Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем 57 этого понятия) и характеристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия). Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характе- ристики объектов, принадлежащих понятию. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами. Для понятия параллелограмм содержание будет представлено следующими свойствами: 58 — противоположные стороны равны и параллельны; — противоположные углы равны; — диагонали в точке пересечения делятся пополам и др. Объем понятия параллелограмм представлен множествами следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты. Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содер- жании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция). Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а пер- вое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. 59 Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем: — указывается род, в который входит определяемое понятие; — указываются видовые отличия и связь между ними. Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон). В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содержится в объеме другого понятия. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ Формирование понятий — сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по следующей схеме: ощущения -> восприятие -> представление - > понятие. Процесс формирования понятий состоит из 60 мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов: — мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории); — выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия); — формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия). Выделяют два пути формирования понятий. Индуктивный Дедуктивный. Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделение множества на классы с помощью некоторого 61 свойства. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение следующих условий: — классификация проводится по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации; — понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые; — сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия; — в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду. Пр. Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и составное число. Такая классификация натуральных чисел, а также клас- сификация треугольников по сторонам и углам позволяют наблюдать выполнение этих условий. Остроугольные Прямоугольные Тупоугольные Четырехугольник Трапеция Прямоугольник Параллелограмм Ромб Квадрат ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ. ВИДЫ 62 ОПРЕДЕЛЕНИЙ Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие — значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию. Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» — дескрипция числа п). Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Номинальные и реальные определения. Все 63 определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С помощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже вве- денного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выра- жений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х 2 =а». Индуктивными и контекстуальные. Например, по индукции вводится определение натурального числа в математике. Аксиоматические определения. Определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения. При аксиоматическом построении математической теории некоторые понятия остаются неопределенными, например, точка, плоскость и расстояние в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Определением этих понятий можно считать систему аксиом, описывающих их свойства. 64 Определения через род и видовые отличия. Это классические определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторона- ми»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». В школьном курсе математики через род и видовое отличие определяются: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектриса угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и параллельные прямые. Генетические определения. Это такие определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Генетические определения представляют собой 65 разновидность определения через род и видовые отличия. Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением по- луокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра». В школьном курсе математики можно выделить следующие генетические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний тре- угольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга. Остенсивные определения. Это определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением. Определение считается корректным, если выполняются два условия: 66 1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»); 2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого. ТЕОРЕМА. ВИДЫ ТЕОРЕМ. МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты). Аксиома (от греч. axioma — авторитетное предложение, «то, что приемлемо») — предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия 67 составляют основной фундамент математической теории. При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, т.е. на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. Существуют два вида формулирования теоремы: условный и категорический. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другой. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы) (схема 6). Теорема: В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам Если четырехугольник — параллелограмм, то……………….. Условие Р четырехугольник — параллелограмм, диагонали его пересекаются 68 Заключение G точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам Схема 6. Структура теоремы Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т.е., приняв, что Р истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что дан- ное высказывание (теорема) истинно в целом. Доказательство включает в себя три основных элемента: 1. Тезис (главная цель доказательства — установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса — суждение. 2. Аргументы (основания) доказательства — положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов — суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы. 3. Демонстрация — логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. 69 Известно, что, имея некоторую (прямую) теорему (Р =» G), можно образовать новые теоремы, и не одну: G => Р — обратная; Не Р => не G — противоположная; Не G => не Р — контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная). Между этими видами теорем существует тесная связь: а) (Р=> G) и (не G => не Р) — одновременно истинны или ложны; б) (G=> Р) и (не Р => не G) — одновременно истинны или ложны. При изучении теорем школьного курса математики учитель придерживается следующей последовательности: 1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации). 2. Обращение к опыту учащихся. 3. Высказывание предположения. 4. Поиск возможных путей решения. 5. Доказательство найденного факта. 6. Проведение доказательства в максимально простой форме. 7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных. Процесс изучения школьниками теоремы включает этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; 70 формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами. МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения называется доказательством. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: К косвенным приемам поиска доказательств относят: • метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения); • разделительный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, 71 когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения. К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относят: 1. Метод геометрических преобразований. 2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований). 3. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры. 4. Координатный метод — способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системе координат или какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем). При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы. Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо 72 сформировать у них определенную последо- вательность умений: 1. Искать доказательство; 2. Проводить доказательство; 3. Оформлять доказательство теоремы. Вопросы для самопроверки 1. Какова роль мышления в учебном процессе? Охарактеризуйте качества научного мышления. Что такое математическое мышление? Назовите основные мыслительные операции. 2. Что такое понятие? Охарактеризуйте главные логические характеристики понятия. Что значит «определить понятие»? Термин, род, вид, логическая связь. Что представляют собой компоненты понятия (существенные и несущественные свойства)? 3. Каково соотношение между объемом и содержанием понятия? 4. Каковы способы определения понятий? Приведите примеры: а) через ближайший род и видовое отличие; б) генетический; в) индуктивный; г) абстрактный. 5. Охарактеризуйте методику введения понятий: а) абстрактно-дедуктивным методом; б) конкретно-индуктивным методом. 6. Какова роль определений в процессе 73 усвоения понятий? Назовите виды определений и охарактеризуйте их. 7. Раскройте содержание этапов формирования математических понятий и проиллюстрируйте их на конкретных примерах. 8. Назовите структурные элементы теоремы. Формы теорем (категоричная и условная). Приведите примеры. 9. Какова взаимосвязь между прямой, обратной, противоположной, обратной проти- воположной теоремами? 10. Охарактеризуйте методы доказательства теорем. 11. Что представляют собой основные этапы работы над теоремой? 12. Дайте логико-математический анализ теоремы (по выбору). |