Курс лекций по дисциплине Эконометрика
![]()
|
Множественный коэффициент корреляциии множественный коэффициент детерминацииМножественный коэффициент корреляции используется в качестве меры степени тесноты статистической связи между результирующим показателем (зависимой переменной) y и набором объясняющих (независимых) переменных ![]() Множественный коэффициент корреляции может быть вычислен по ряду формул5, в том числе: с использованием матрицы парных коэффициентов корреляции ![]() где r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции y, ![]() r11 - определитель матрицы межфакторной корреляции ![]() стандартизованных коэффициентов регрессии ![]() ![]() ![]() Для модели, в которой присутствуют две независимые переменные, формула (3.18) упрощается ![]() Квадрат множественного коэффициента корреляции равен коэффициенту детерминации R2. Как и в случае парной регрессии, R2 свидетельствует о качестве регрессионной модели и отражает долю общей вариации результирующего признака y, объясненную изменением функции регрессии f(x) (см. 2.4). Кроме того, коэффициент детерминации может быть найден по формуле ![]() Однако использование R2 в случае множественной регрессии является не вполне корректным, так как коэффициент детерминации возрастает при добавлении регрессоров в модель. Это происходит потому, что остаточная дисперсия уменьшается при введении дополнительных переменных. И если число факторов приблизится к числу наблюдений, то остаточная дисперсия будет равна нулю, и коэффициент множественной корреляции, а значит и коэффициент детерминации, приблизятся к единице, хотя в действительности связь между факторами и результатом и объясняющая способность уравнения регрессии могут быть значительно ниже. Для того чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют скорректированный коэффициент детерминации ![]() Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше R2. Кроме того, в отличие от R2, который всегда положителен, ![]() Пример (продолжение примера 1). Рассчитаем множественный коэффициент корреляции, согласно формуле (3.20): ![]() Величина множественного коэффициента корреляции, равного 0,8601, свидетельствует о сильной взаимосвязи стоимости перевозки с весом груза и расстоянием, на которое он перевозится. Коэффициент детерминации равен: R2=0,7399. Скорректированный коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (3.22): ![]() Заметим, что величина скорректированного коэффициента детерминации отличается от величины коэффициента детерминации. Таким образом, 70,9% вариации зависимой переменной (стоимости перевозки) объясняется вариацией независимых переменных (весом груза и расстоянием перевозки). Остальные 29,1% вариации зависимой переменной объясняются факторами, неучтенными в модели. Величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, мы смогли учесть в модели наиболее существенные факторы, определяющие стоимость перевозки. 3.5. Оценка качества модели множественной регрессии Проверка качества модели множественной регрессии может быть осуществлена с помощью дисперсионного анализа. Как уже было отмечено (см. 2.5), сумма квадратов отклонений от среднего в выборке равна сумме квадратов отклонений значений ![]() ![]() ![]() С учетом (3.21) получим таблицу дисперсионного анализа (табл. 3.4), аналог таблицы 2.3. Проверка качества модели множественной регрессии в целом может быть осуществлена с помощью F-критерия Фишера. Для проверки гипотезы о том, что линейная связь между ![]() ![]() воспользуемся соотношением ![]() которое удовлетворяет F - распределению Фишера с (k, n-(k+1)) степенями свободы. Критические значения этой статистики F для уровня значимости затабулированы. |