физика лекции по оптике. Курс лекций по физике ч волновая и квантовая оптика Строение атома и ядра Красноярск 2011 Волновая оптика 2
 Скачать 4.1 Mb.
|
|
8.22. Природа волн де Бройля При движении свободного электрона с длиной волны он характеризуется энергией = W = h . (3.9) В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде k 2 h p , (3.10) где p вектор импульса электрона k волновой вектор (модуль k = 2 ). При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую v фи групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой u v dv ф, (3.11) где v ф Используя формулы W = h , k = v ф, ф, имеем для фазовой скорости частицы Рис. 3.1 Волновая оптика 103 v h hk W p mc mv c v m c ф 2 2 , (3.12) где W полная энергия частицы v скорость движения частицы = 2 циклическая частота. Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. v ф Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле u d dk , те) Для свободной частицы формула W p c m c 2 2 2 4 (3.14) связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы. Следовательно, групповая скорость волн де Бройля u pc p m c pc W mvc mc ф 2 2 2 2 2 , те ф , (3.15) Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи, связанные сдвижением частиц вещества, имеют квантовую природу, незнающую аналогов в классической физике. Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, те) С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов, обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля. Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n , попавших в эту точку за единицу времени, те) Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно: квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица Волновая оптика 104 находится в данной точке. 8.23. Соотношения неопределенностей Гейзенберга Двойственная природа частиц и статистический смысл волновой функции х, у, z, t), заданием которой определяется состояние частицы в пространстве, ставит вопрос о границе применимости классической физики. В классической физике также есть границы применимости, например, понятие температуры неприменимо к одной молекуле или понятие о точечной локализации не может быть применимой к определенному положению в пространстве электромагнитной волны. В квантовой механике невозможно одновременно характеризовать микрообъект его координатами (радиус вектором) и импульсом. Для этого Гейзенберг ввел соотношения неопределенностей 4 h p z , 4 h p y , 4 h p x z y x (3.18) Пример 1. Рассмотрим движение электрона в атоме. Его положение может быть определено с точностью до размеров атома, тех м. Скорость движение электрона в атоме v 10 6 м, его масса покоя m = 9, 11 10 31 кг. Тогда из соотношений неопределенностей Гейзенберга имеем 4 h p x x или 4 h v m Абсолютная ошибка скорости x m 4 h v x или см 10 10 11 , 9 14 , 3 4 10 63 , 6 v 6 10 31 Следовательно, неопределенность нахождения скорости оказывается такого же порядка, что и сама скорость электрона в атоме. Поэтому нельзя говорить о перемещении электрона в атоме по траектории, с точно заданной в каждой точке пространства скоростью. Пример 2. Траектория электрона находится последу, который фиксируется на фотопластинке. Если размеры зерна фотоэмульсии имеют порядок хм, то положение электрона может быть найдено с точностью, определяемой линейными размерами этих зерен фотоэмульсии (классический случай. Волновая оптика 105 Согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга (3.18) имеем см кг Ошибка в определении скорости электрона v x = p m мс x 10 2 , а скорость электрона v 10 6 м с Следовательно, в этом случае можно говорить о движении электрона по траектории с точно заданной в каждой точке скоростью. Для энергии и времени соотношение неопределенностей Гейзенберга 4 h t W (3.19) отличается по смыслу от (3.18), поскольку время t не является динамической переменной и должно рассматриваться как параметр. Для нестационарных состояний с характерным разбросом энергии W под величиной t в (3.19) следует понимать промежуток времени, в течение которого существенно (на величину соответствующей дисперсии) изменяется среднее значение физических величин, характеризующих систему. Вывод Для состояния, в котором частица локализована в области пространствах (риса, возможен разброс значений ее импульса около его среднего значения в области р х (рис. 3.2, б, определяемый соотношением x p h x 2 . (3.20) Таким образом, монохроматическая волна с заданным импульсом ( р х) должна заполнять полностью все пространство ( х ). Состояния системы, соответствующие минимуму соотношения неопределенностей, те. отвечающие знаку равенства в (3.20), называют когерентными состояниями, а характеристикой монохроматичности квантовых полей служит квантовая когерентность. Соотношения неопределенностей (3.18) играют большую эвристическую роль, т. к. многие результаты задач, рассматриваемые в квантовой механике, могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической физики с соотношениями неопределенностей. Однако некоторые физические величины могут быть точно определены одновременно. Например, можно одновременно выполнить условиях, если р хи р у 0, если у, те. можно точно и одновременно измерить координату хи Рис. 3.2 Волновая оптика 106 проекцию импульса на ось у ( р у. Совокупность всех физических величин, которые могут быть точно и одновременно определены в данной квантомеханической системе, называют полным набором одновременно измеряемых величин. Важный вопрос проблема устойчивости атома. Например, электрон движется вокруг ядра атома водорода (протона) по круговой орбите радиусом r со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру F e r k 2 0 2 4 , где е = q e = q p заряд электрона и протона по абсолютной величине. Центростремительное (нормальное) ускорение электрона на орбите a v r n 2 . По второму закону Ньютона F ma n , где m масса электрона. Роль центростремительной силы выполняет кулоновская сила, те. Тогда радиус орбиты r e mv 2 0 2 4 может быть сколь угодно малым, если v достаточно высокая. Согласно квантовой теории должно выполняться соотношение неопределенностей. Если принять неопределенность положения электрона в пределах радиуса его орбиты за r , а неопределенность скорости в пределах v, те. неопределенность импульса в пределах р = mv, то mvr Следовательно, v e h 2 0 2 и r h me 0 2 2 , те. движение электрона по орбите r а Б = 0 2 2 h me 5,5 10 11 м невозможно. Значит, электрон не может упасть на ядро, атом устойчив. Величина а Б и является радиусом атома водорода (боровским радиусом. Таким образом, квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его через мировые постоянные. 8.24. Энергии основного состояния атома водорода и энергии нулевых колебаний осциллятора Некоторые задачи квантовой механики могут быть решены или поняты на качественном уровне, если использовать различные комбинации законов Волновая оптика 107 классической физики и соотношения неопределенностей Гейзенберга. Пример 1. Оценим энергию основного состояния атома водорода. Основным состоянием атома водорода является состояние с наименьшей энергией (1 – энергетический уровень. Полная механическая энергия атома водорода равна сумме кинетической энергии вращающегося электрона вокруг ядра и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром, тек+ р, где к = p 2 /(2m) – кинетическая энергия вращающегося электрона вокруг ядра р – q e 2 /(4 0 r) – потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром. При допущении неопределенности положения электрона в пределах радиуса его орбиты, те и неопределенность импульса в пределах самого импульса, терр Тогда на основании соотношений неопределенностей Гейзенберга имеем r р h /(4 ) или по порядку величины р h /2 r. Если возьмем равенство р = h /(2 r) и подставим в формулу кинетической энергии, то полная энергия атома водорода W = h 2 /(4 2 m r 2 ) – q e 2 /(4 0 r). Теперь перейдем к условию минимума, т. к. нас интересует состояние с наименьшей энергией dW/dr = – h 2 /(4 2 m r 3 ) + q e 2 /(4 0 r 2 ) = 0. Корень этого уравнения, соответствующий минимуму полной энергии W, равен r 1 = 0 h 2 / ( m q e 2 ). В квантовой механике, полученное значение называют радиусом первой боровской орбиты. После вычисления получим r 1 5 10 11 м. Для энергии основного состояния атома водорода получим W 1 = – m q e 4 / (8 2 0 2 h 2 ). W 1 = – 13,6 эВ или Волновая оптика 108 W 1 = – 2,176 10 Дж. Пример 2. Энергия нулевых колебаний одномерного гармонического осциллятора. В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник, который характеризуется потенциальной энергией р = k x 2 / 2, представляющий собой, параболическую потенциальную яму. Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга. Полная механическая энергия данного осциллятора W = кр, где к = p х / (2m) – кинетическая энергия осциллятора р = k x 2 / 2. Следовательно, W = p х / (2m) + k x 2 / 2. Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует хи р х = 0, те. пружинный маятник неподвижен. При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (хи проекции импульса на ось х (р х) указать невозможно. Согласно, принципа неопределенностей Гейзенберга, имеем х р х h /(4 ). Если положим, что х х ; р х р х или по порядку величины х р х h / (2 ), тер х h /(2 x). При переходе к равенству р х = h /(2 x) для полной энергии осциллятора будем иметь W = h 2 /(8 2 mx 2 ) + k x 2 / 2. Перейдем к условию минимума энергии dW /dx = – h 2 /(4 2 mx 3 ) + k x = 0. Корень этого уравнения запишем в виде 4 0 km ) 2 /( h x Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора W 0 = h /(2 ). или Волновая оптика 109 W 0 = h , где m / k – собственная круговая частота осциллятора = 2 Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2. Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора. Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределенностей. Роль вероятности в квантовой механике При переходе от волновых представлений к корпускулярным, в поведении микрочастиц, неизбежно приходим к вероятностному описанию их движения. Об этом свидетельствуют, например, интерференционные опыты с микрочастицами. В квантовой механике, в отличии от классической механики, где частица всегда движется по вполне определенной траектории, нет понятия о траектории. Однако вероятностное описание о поведении микрочастиц должно обязательно отражать наблюдаемую в экспериментах их интерференцию. Следствием этого является необходимость использовать волновую функцию (комплексную амплитуду вероятности, описывающую состояние квантовой микрочастицы. В классической теории вероятности используются лишь действительные вероятности, которые не позволяют описать наблюдаемые на опыте интерференционные явления с квантовыми микрочастицами. Масштаб неопределенности случайных физических величин определяется постоянной Планка, присутствующей в соотношениях неопределенностей. Современная квантовая механика может ответить лишь на вопрос – как происходит случайное движение микрочастицы, а почему такое движение является случайным – квантовая механика объяснить не может. Такие виды движения микрочастиц происходят в соответствии с уравнением Шредингера, которое описывает распространение волн де Бройля, волн материи, волн вероятности. 8.26. Прохождение фотонов через прозрачную пластинку При падении пучка фотонов (квантов) света на прозрачную пластинку часть фотонов отражается, а некоторые проходят сквозь нее. Детерминизм причинность) при этом отсутствует в классическом понимании. Волновая оптика легко такой процесс объясняет, где рассматривает Волновая оптика 110 наложение когерентных волн с интенсивностями J 1 и J 2 , те. результирующая интенсивность в точке наблюдения интерференции света на экране имеет вид рез J 1 + J 2 + 2 2 1 J J cos( 1 2 ), где слагаемое 2 2 1 J J cos( 1 2 ) описывает интерференцию когерентных световых волн. С корпускулярной точки зрения интенсивность света J пропорциональна числу фотонов N. При описании интерференционного опыта с корпускулярной точки зрения мы должны использовать вероятности, позволяющие описывать случайное поведение одного фотона. Используя комплексные амплитуды вероятности для результирующей вероятности, получим интерференционную формулу в виде рез = w 1 + w 2 + 2 2 1 w w cos( 1 2 ), где последнее слагаемое описывает интерференцию амплитуд вероятности, т. к. для классической частицы это слагаемое отсутствует. Лекция 10 8. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 8.1. Принцип суперпозиции состояний В квантовой теории движения квантовых частиц в силовых полях для волновых функций используют принцип суперпозиции состояний. Этот принцип обобщает все известные опытные факты, о движении квантовых частиц в силовых полях. Принцип суперпозиции состояний позволяет описать волновые явления в терминах корпускулярных представлений ценой отказа от некоторых классических понятий, взятых из макроскопических опытов и неприменимых к микропроцессам в квантовой механике. Рассмотрим явление отражения, и преломления волн на границе раздела двух сред с корпускулярной точки зрения. Согласно корпускулярно волновому дуализму падающей волне отвечают частицы с импульсом k 2 h p , (4.1) а отраженной и преломленной волнам частицы с импульсами 1 1 k 2 h p и Волновая оптика 111 2 2 k 2 h p . (4.2) Так как частота волн при отражении и преломлении не изменяется, то частицы в каждой из волн имеют одинаковую энергию W = W 1 = W 2 = h . (4.3) Если предположить, что на границу раздела двух сред падает одна частица, то возникает вопрос, в какой из волн, отраженной или преломленной, она окажется. Корпускулярно волновое описание (в отличие от волнового описания, позволяющего падающей волне разделиться на две) не допускает разделения одной падающей частицы на две, т. к. при этом нарушился бы закон сохранения энергии. Согласно теории вероятности, частица может быть случайным образом, либо в отраженной волне, либо в преломленной волне. Обозначим символом x состояние частицы, возникающее в результате взаимодействия падающей частицы с границей раздела двух среда символами 1 p и 2 p состояния частицы, отвечающие отраженной и преломленной волнам с единичными амплитудами. Поэтому в состоянии x существует вероятность обнаружить частицы, как в отраженной, таки преломленной волне. Описание процесса в терминах корпускулярных представлений может быть получено, если состояние x является суперпозицией состояний 1 p и 2 p , те С 1 p + С 2 p , (4.4) причем квадраты коэффициентов Си С 2 пропорциональны вероятностям обнаружить частицу в соответствующих состояниях. Суперпозиция состояний (4.4) принципиально отличается от суперпозиции каких либо полей или волн. Для того чтобы корпускулярное объяснение сохранило фазовые соотношения между соответствующими волнами, необходимо, чтобы в качестве коэффициентов Си Св) использовать комплексные числа и, что физический смысл имеет разность фаз комплексных чисел. Таким образом, для полного описания волнового явления с корпускулярных позиций необходимо приписать физический смысл не только вероятностям Си С 2 , но и самим коэффициентам Си С, Волновая оптика 112 называемыми амплитудами вероятности, с точностью до общей фазы. При этом для измерения разности фаз амплитуд вероятности необходимы интерференционные опыты. Таким образом, если возможными являются состояния 1 , 2 , …, n , то существуют также состояния , Ш c Ш n n 1 i n (4.5) где с n (n = 1, 2, …) некоторые комплексные числа. Суперпозиция тех состояний (р, которые определяются значениями некоторой физической величины р, изменяющейся непрерывно, а не дискретно, находится не суммированием, а интегрированием , dp Ш(p) c(p) Ш (4.6) где с(р) некоторая комплексная функция переменной р. Суперпозицию состояний, отличающихся значениями внутренней характеристики частиц, называют поляризацией состояний. Поляризация представляет собой чисто волновое свойство, поскольку она определяется направлением колебаний в волне. Тем не менее, частицам, соответствующим волне с определенной поляризацией, можно приписать дополнительную степень свободы, принимающую различные значения для разных состояний поляризации. Принцип суперпозиции состояний существует ив классической физике например, при одновременном распространении волн малых амплитуд они складываются, не влияя друг на друга. В квантовой физике принцип суперпозиции состояний имеет качественно новое содержание, из за корпускулярно волновых свойств частиц. Например, принцип суперпозиции состояний допускает смешивание двух взаимоисключающих с классической точки зрения состояний частицы, водном из которых импульс частицы противоположен импульсу частицы в другом состоянии. Однако в этом отношении суперпозиция квантовых состояний лишена наглядности. |