физика лекции по оптике. Курс лекций по физике ч волновая и квантовая оптика Строение атома и ядра Красноярск 2011 Волновая оптика 2
 Скачать 4.1 Mb.
|
|
8.2. Волновая функция Для описания вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства вводят волновую функцию амплитуду вероятности) (х, у, z, t). Поэтому вероятность dw того, что частица находится в элементе объема Волновая оптика 113 dV, пропорциональна 2 , те или dw = 2 dxdydz. (4.7) Физический смысл имеет не сама волновая функциях, у, z, t), а квадрат ее модуля 2 = * , где * функция, комплексно сопряженная ст. е. величина 2 имеет смысл плотности вероятности dw dV 2 , (4.8) которая определяет вероятность появления частицы в данной точке пространства. Следовательно, 2 определяет интенсивность волн де Бройля. Пребывание частицы, где либо в пространстве достоверное событие и его вероятность равна единице, те. должно выполняться условие нормировки 2 1 dV . (4.9) Вывод Волновая функция (амплитуда вероятности) х, у, z, t) является основной характеристикой состояния квантовой системы. Движение любой квантовой частицы можно описать волновым уравнением. Статистическое истолкование волн де Бройля и соотношений неопределенностей Гейзенберга указывают на то, что уравнение движения частицы в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Состояние частицы в данный момент времени в пространстве определяется в квантовой механике заданием волновой функции (х, у, z, t), точнее величиной 2 , определяющей вероятность нахождения частицы в некоторой точке с координатами х, у, z в данный момент времени t. Поэтому основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z, t) и играть роль волнового уравнения, решения которого позволяли бы объяснить эксперименты, например, по дифракции микрочастиц, указывающих на их волновые свойства. Следует отметить, что процессе экспериментов выявился факт Волновая оптика 114 взаимодействия микрочастицы с измерительным прибором, те. сам человек, проводящий эксперимент влияет на результат опыта. 8.3. Прохождение микрочастицы через двухщелевой интерферометр Рассмотрим интерференцию света на двух щелях (рис. 4.1), размеры которых соизмеримы с длиной волны. Источник света S точечный. В этом случае на экране Э будут наблюдаться интерференционные полосы. При корпускулярной интерпретации данного результата это означает, что в т. М минимум интерференции) фотоны не попадают. Сточки зрения классической физики, движущиеся по траекториям частицы (фотоны) не должны попадать в т. Мни по пути SАМ, ни по пути SВМ.Но это противоречит опыту если закрыть щель В, то можно наблюдать некоторую освещенность в т. М, что указывает на возможность распространения фотонов по пути SАМ. Такая же картина наблюю-дается, если закрыть щель А. Классическая физика не может объяснить, почему фотоны, способные попадать в т. М как по пути SАМ, таки по пути SВМ в отдельности, не попадают в нее, когда открыты обе щели минимум интерференции Представление о том, что между фотонами, движущимися по разным направлениям, существует взаимодействие, обуславливающее интерференционные явления, опровергается опытом, из которого следует, что картина интерференции не зависит от интенсивности источника S. Причиной возникшего парадокса является предположение о том, что каждый фотон движется по вполне определенной траектории. Действительно, фотоны движутся порциями, подобно классическим частицам. Вероятность попадания этих порций на экране распределена также, как и интенсивность световых волн при интерференции. Действительно, как уже отмечалось, используя комплексные амплитуды вероятности, для результирующей вероятности получим интерференционную формулу в виде рез = w 1 + w 2 + 2 2 1 w w cos( 1 2 ), где последнее слагаемое описывает интерференцию амплитуд вероятности, т. к. для классической частицы это слагаемое отсутствует. Вывод Все материальные микрообъекты (электроны, протоны, нейтроны и др. элементарные частицы) обладают двойственной природой корпускулярно-волновой. При проведении экспериментов с микрочастицами было обнаружено, что и сами приборы и экспериментатор влияют на результат опыта.В результате был сформулирован принцип невозможно Рис. 4.1 Волновая оптика 115 придумать аппарат для определения того, через какое отверстие проходит фотон (микрочастица) не возмущая фотон до такой степени, что интерференционная картина пропадает. Лекция 11 5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 5.1. Временное и стационарное уравнения Шредингера Любое состояние микрочастицы в квантовой механике определяется волновой функцией (амплитудой вероятности. В нерелятивистском случае уравнением движения микрочастицы является временное уравнение Шредингера , ) t , z , y , x ( W m 8 h t 2 h p 2 2 i (5.1) где 2 2 2 2 2 2 x y z оператор Лапласа i = 1 мнимая единица h постоянная Планка W p (x, y, z, t) потенциальная энергия частицы в силовом поле m масса частицы = (х, у, z, t) = (r, t) волновая функция частицы r = (х, у, z) пространственная координата и время t. Справедливость уравнения Шредингера (оно постулируется, а не выводится) доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные на основании этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в полном согласии с экспериментальными данными. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид 8 0 2 2 m h W W x y z p [ ( , , )] , (5.2) где W = const полная энергия частицы. Уравнение (5.2) справедливо для любой квантовой частицы движущейся со скоростью v < c и характеризуется следующими свойствами 1) функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной 2) производные x y z t , , , непрерывны 3) функция 2 должна иметь конечный интеграл. Волновое уравнение Шредингера (волн де Бройля) имеет аналогичный вид, как и всеволновые уравнения любой физической природы. Таким образом, электрон в атоме существует не в виде частицы, а в виде волны де Бройля (волны вероятности. Движение электрона (любой другой микрочастицы) должно подчиняться Волновая оптика 116 волновому уравнению Шредингера. В случае движения частицы вдоль оси Х волна де Бройля имеет вид плоской волны 0 )] x ( W W [ h m 8 x p 2 2 2 2 , (5.3) где W p (x) потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра, удаленные на расстояние х. Из классической физики следует, что уравнение колебаний, например, струны, описывается формулой 0 s dt s d 2 0 2 или d s dx s 2 2 2 2 0 , (5.4) где k v ф 0 волновое число 0 собственная циклическая частота колеблющейся системы. Некоторые решения уравнения (5.4) функции s(x)] приведены на риса. Графики имеют вид синусоид, и смысл их очевиден они изображают форму струны в какой-то момент времени, те. моментальную фотографию процесса ее колебаний. Форма колебаний струны определяется числом узлов k, те. числом точек, остающихся неподвижными в процессе колебания. Им соответствует бесконечный набор решений s(x), которые различаются только числом узлов. Уравнение Шредингера (5.3) можно представить в виде 0 ) x ( 2 x 2 2 2 , (5.5) где mv h )] x ( W W [ m 2 h ) x ( p . (5.6) Следовательно, по форме уравнение (5.5) мало отличается от уравнения струны (5.3). Если электрон движется свободно, то W p (x) = 0, поэтому его полная энергия W = W k , и следовательно, длина волны электрона постоянна Волновая оптика 117 mv h p и равняется длине волны де Бройля. В этом случае уравнение Шредингера в точности совпадает с уравнением струны. Рис. 5.1 При движении электрона в атоме он взаимодействует с ядром (например, с протоном в атоме водорода) по закону Кулона и его потенциальная энергия x 4 e ) x ( W 0 2 p , (5.7) где е элементарный заряд, равный заряду протона и электрона (по модулю. В этом случае длина волны де Бройля ) x 4 e W ( m 2 h ) x ( 0 2 (5.8) не имеет определенного значения и меняется от точки к точке. Несколько решений уравнения (5.5), те. функции n (x), изображено на рис. 5.1, б, где n = 1, 2, 3, ... главное квантовое число, характеризующее энергию электрона в атоме. В теории колебаний струны возникает такой случай если колеблется струна со всевозможными грузами и утолщениями на ней, то ее колебания описываются аналогичным волновым уравнением. Таким образом, уравнение Шредингера имеет решение не всегда, а только при определенных значениях энергии W n , которым соответствуют а б Волновая оптика 118 собственные функции n (x), зависящие от n. Дискретные значения энергии W n стационарных состояний электрона в атоме, характеризуются квантовым числом n, те, где 0 электрическая постоянная Z порядковый номер элемента в периодической системе Д.И. Менделеева m масса электрона е заряд электрона. Согласно квантовой механике атом не имеет определенных размеров, который определяется состоянием электронов в атоме. Положение электрона в атоме подчиняется вероятностным законам. Электрон в атоме представляется в виде электронного облака, и где он находится, в данный момент времени точно указать нельзя, те. понятие орбиты в квантовой механике не имеет смысла. Причина устойчивости атома заключается в его движении и неизменности квантовомеханических законов, управляющих этим движением. Причем квантовая устойчивость атома значительно надежнее, чем динамическая устойчивость классической механики, так как разрушенный атом восстанавливает свою структуру. Вывод Каждая квантовомеханическая система характеризуется своим энергетическим спектром. В зависимости от вида потенциальной энергии (те. от характера взаимодействия в системе) энергетический спектр может быть либо дискретным (как у свободной частицы, либо смешанным (например, энергетические уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях непрерывны. Характер квантовомеханического движения можно понять на примере одномерного движение частицы (например, вдоль оси X) в случае, когда потенциальная энергия W p зависит только от координаты х. Уравнение Шредингера (5.5) сводится к уравнению 0 h ) x ( p 4 x 2 2 2 2 2 , (5.9) где выражение р 2 (х) = 2m[W W p (x)] совпадает с формулой квадрата классического импульса частицы в точке с координатой х. Таким образом, волновая функция и является той величиной, которая позволяет отыскать все вероятности. Волновая оптика 119 Из всех квантовых вероятностей в учебном пособии используется только одна, которая описывает распределение координат частиц. Для одномерного движения вероятность нахождения частицы в интервале х, х + dx) в момент времени t равна х, t) 2 dx, где х, t) 2 = * (х, t) (х, t) квадрат модуля волновой функции [ * (х, t) комплексное сопряжение волновой функции (х, t)]. С помощью волновой функции (х, t) среднее значение координаты определяется по формуле Ш dx ) t , x ( xw ) t ( x 2 5.2. Движение квантовой частицы в стационарном силовом поле Простым видом движения квантовой частицы является свободное движение. Потенциальная энергия частицы в этом случае обращается в ноль, те. Для свободной частицы, движущейся, например, вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера 0 )] x ( W W [ h m 8 x p 2 2 2 или ). x ш ш 2 2 2 (5.10) Функциях Ае ikx , где А = сои, является частным решением этого уравнения с энергией W = h 2 k 2 /(8 2 m). (5.11) В общем случае для зависящей от времени волновой функции получаем (x, t) = Ae -i t |+ikx . (5.12) Это решение представляет собой плоскую монохроматическую волну с циклической частотой и волновым числом k, которая называется волной де Волновая оптика 120 Бройля. Координаты свободной квантовой частицы распределены с плотностью вероятности w(x) = х = A 2 = const. Так как плотность вероятности постоянна, то существует одинаковая вероятность обнаружить свободную частицу в любых точках пространства, те. область движения свободной частицы неограниченно велика, что естественно. Согласно корпускулярно-волновому свойству частиц = 2 W / h; = W / h, k = 2 p / h, где р импульс частицы. Тогда волна де Бройля запишется в виде (x, t) = A exp( 2 iWt / h + 2 ipx / h). (5.13) Причем зависимость энергии частицы от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц W(p) = p 2 / 2m. Таким образом, энергетический спектр свободной квантовой частицы (не путать со спектрами испускания или поглощения атома, которая при р 0 является простейшей квантовой системой с неограниченной областью движения, непрерывен и ограничен снизу значением энергии W = 0. 5.3. Одномерное движение электрона в потенциальном ящике Примером движения электрона в потенциальном ящике является движение коллективизированных электронов в металлах. В этом случае энергия электрона вне и внутри потенциального ящика имеет следующие значения W p = 0 при 0 x , W p = при x 0 и x , (5.14) где ширина потенциального ящика. Согласно классической теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, те, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода электрона из металла (W p = А в ). Следовательно, движение электрона ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном (рис. 5.2). Для квантового описания движения электрона в таком потенциальном ящике применим стационарное уравнение Шредингера 0 )] x ( W W [ h m 8 x p 2 2 2 Это уравнение имеет решение, если волновая функция Рис. 5.2 Волновая оптиках) обращается в нуль на стенках ящика, те. Тогда )] x ( W W [ h m 8 1 x p 2 2 2 2 . (5.15) В области значений 0 x W p = 0, а отношение 1 x 2 2 имеет конечное значение ( 2 2 h m 8 ). При хи х W p , тогда (х) 0. Следовательно, для электрона, находящегося в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками, уравнение Шредингера должно быть таким, чтобы = 0 и 2 = 0 вне области значений 0 x , те. вероятность найти электрон вне ящика равна нулю (без учета туннельного эффекта. Решая уравнение 0 W h m 8 x 2 2 2 2 или ) x ш x / ) x ш 2 2 (5.16) ( W h m 8 k 2 2 2 , k = 2 волновое число) получаем, что при х = 0 волновая функция = 0, а при x = ( ) = 0. Таким образом, решение уравнения (8.40) можно записать в виде ikx 2 ikx 1 e A e A ) x ( или (х) А + A 2 sinkx, (5.17) где Аи А некоторые постоянные, определяются из условия нормировки. При х = 0 из (5.17) следует, что А 0; при x = имеем ( ) = А 2 sink или А 0, А, sink =0. (5.18) Из (5.18) следует, что величина k должна принимать дискретные значения k n , удовлетворяющие условию k n = n , где n =1, 2, 3, ... , те Так как k n = 2 / n , где n длина волны де Бройля для электрона в потенциальном ящике, значит n 2 n или Следовательно, на длине потенциального ящика должно укладываться целое число волн де Бройля. Выражая энергию через волновое число, найдем энергетический спектр частицы в глубокой потенциальной яме, те) Энергетический спектр частицы в глубокой потенциальной яме Волновая оптика 122 изображен на рис. 5.3. Видно, что он дискретен и ограничен снизу. Следовательно, энергия электрона в потенциальном ящике может принимать лишь ряд дискретных собственных значений энергии Это значит, что энергия электрона в потенциальном ящике является квантованной, а значения W n называются уровнями энергии, где n = 1, 2, 3, главное квантовое число, определяющее вид волновой функции и энергию частицы в состоянии с этой волновой функцией. В энергетическом спектре частицы (5.19) при n = 1 основной уровень имеет энергию W 1 = h 2 /(8 2 m) >0. Это неравенство означает невозможность остановки частицы, т. к. ее кинетическая энергия не может быть меньше W 1 Согласно соотношений неопределенности Гейзенберга неопределенность импульса частицы р не может быть меньше величины ) 2 /( h m W 2 Нов потенциальной яме шириной положение частицы определено с точностью х . Следовательно, х р h / (2 ), что находится в полном согласии с квантовой механикой. При больших значениях n квантовая механика дает значения энергии, близкие по величине к результатам классической физики. В этом проявляется принцип соответствия Бора при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать результатам классической физики, те. в предельном случае квантовая механика переходит в классическую теорию. 5.4. Квантовый гармонический осциллятор В квантовой механике задача о колебании квантового осциллятора решается с помощью уравнения Шредингера 0 ] x 2 m W [ h m 8 x 2 2 2 2 2 Стационарные состояния квантового осциллятора описываются такими решениями уравнения Шредингера, которые быстро убывают при х , т. к. на сколь угодно больших расстояниях потенциальная энергия частицы W p (x) массы m, совершающей колебания с циклической частотой , например, вдоль оси Х равна W p (x) = m 2 x 2 /2. (5.20) Рис. 5.3 Волновая оптика 123 Введем обозначения 2 1 a = 2 2 2 2 h m 4 , а = 2 2 h С учетом этого уравнение Шредингера принимает вид 0 ) x a a ( x 2 2 1 2 2 После введения новой переменной x a y 1 имеем 2 2 1 2 2 y Тогда уравнение Шредингера 0 ) y a a ( y a 2 1 2 2 2 или 0 ) y a a ( x 2 1 2 2 2 . (5.21) Решения уравнения (5.21) имеют место лишь при определенных значениях параметра 1 2 a a , а именно 1 2 a a = 2v +1, (5.22) После подстановки значений аи а в (5.22) имеем 1 v 2 h W 4 . (5.23) Поэтому значения энергии квантового осциллятора можно найти по формуле 2 h ) 2 1 v ( 4 h ) 1 v 2 ( W n . (5.24) Из формулы (5.24) следует энергия осциллятора W n квантована и может принимать дискретные значения (v = 0, 1, 2, ... – колебательное квантовое число. Энергетический спектр волновых функций квантового осциллятора приведен на рис. 5.4, где по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (параболическая яма) изображает потенциальную энергию частицы. В этом случае частица с любой энергией (как ив случае потенциальной ямы с бесконечными стенками) заперта внутри потенциальной ямы и спектр ее энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают энергетические уровни частицы. Энергия низшего основного уровня 2 / h W 0 наименьшее значение энергии, совместимое с соотношениями неопределенностей Гейзенберга положение частицы на дне ямы (W = 0) означало бы точное равновесие, при котором координатах и импульс р = 0, что невозможно согласно Волновая оптика 124 соотношениям неопределенностей]. Энергия v го уровня h ) 2 1 v ( W n . (5.25) Каждому состоянию соответствует своя волновая функция. В энергетическом спектре (5.25) расстояния между соседними уровнями W = W n+1 W n не зависят от колебательного квантового числа v и равны между собой. Такое расположение уровней в энергетическом спектре называют эквидистантным. Дискретный характер уровней энергии позволяет понять, почему в определенных условиях заведомо сложные, составные системы например, атомы или молекулы) ведут себя как элементарные частицы бесструктурные. Причина состоит в том, что основное состояние связанной системы отделено от первого возбужденного состояния энергетическим интервалом энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квантовых систем. Благодаря энергетической щели внутренняя структура квантовых систем не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при ее взаимодействии с другими системами не превысит значения, равного ширине энергетической щели. Поэтому при достаточно малом обмене энергией сложная квантовая система (например, атом или ядро) ведет себя как бесструктурная частица материальная точка. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, атомные электроны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоемкость. При v >> 1, (v + 1/2) v энергетические уровни совпадают со значениями энергии осциллятора h v 2 h v W n , использовал Планк. Согласно классической теории при v = 0, W n = 0 осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Считая атомы твердого тела трехмерными осцилляторами из классической физики следует, что при Т = 0 Катом должен покоиться. Согласно квантовой теории наименьшая энергия, которую имеет гармонический осциллятор при Т = 0 К неравна нулю, те) Эта нулевая энергия не может быть отнята у осциллятора никаким охлаждением, даже при Т = 0 К. Наличие нулевой энергии при абсолютном Рис. 5.4 Волновая оптика 125 нуле температуры, когда квантовая система (атом) совершает нулевые колебания было подтверждено опытами по рассеянию света кристаллами при Т 0 К. Такой вывод подтверждается и соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Наличие нулевой энергии позволяет объяснить, почему гелий является единственным веществом, существующим в жидком состоянии при Т 0 К Это обусловлено тем, что у гелия частота колебаний атомов довольно велика из за малой массы атома гелия (2 0 = 0 m ). С другой стороны силы притяжения атомов гелия малы из-за полной застройки электронных оболочек. Поэтому атомы гелия при Т 0 К совершают довольно интенсивные колебания, что позволяет гелию оставаться в жидком состоянии, те. это чисто квантовый эффект. Существенным отличием квот кл является возможность обнаружить частицу за пределами классически запрещенной области (из за туннельного эффекта. |