физика лекции по оптике. Курс лекций по физике ч волновая и квантовая оптика Строение атома и ядра Красноярск 2011 Волновая оптика 2
 Скачать 4.1 Mb.
|
|
5.5. Туннельный эффект При описании движения классической частицы в потенциальном ящике “ считается, что частица может покинуть потенциальный ящик или проникнуть в него, если ей сообщить энергию, равную или большую разности высоты потенциального барьера и ее собственной энергии. Квантовая механика допускает вероятность прохождения частицы сквозь потенциальные барьеры при меньших значениях ее энергии по сравнению с энергией потенциального барьера. Такое явление получило название туннельного эффекта. Пусть квантовая частица с массой m движется вдоль оси Х слева направо. Сталкиваясь с потенциальным барьером высотой W po : , 0 x если , 0 , x 0 если , W p причем энергия частицы W меньше высоты потенциального барьера При х > 0, те. в области, в которую неспособна проникнуть не квантовая частица уравнение Шредингера имеет вид 0 ) x ( ) W W ( h m 8 x ) x ( po 2 2 2 Решениями этого уравнения являются две экспоненты (х) x ) W W ( m 2 h 2 po e , где Экспонента с положительным показателем физического смысла не имеет Волновая оптика 126 и должна быть исключена, т. к. предсказывает неограниченный рост вероятности обнаружения частицы за барьером с увеличением глубины проникновения х. Следовательно, при х > 0 частица с энергией W < W po имеет волновую функцию, которая изменяется как (х) x ) W W ( m 2 h 2 po Это значит, что при х > 0 координаты частицы распределены с плотностью вероятности exp[ ) 0 ( w ) x ( ) x ( w 2 x ) W W ( m 2 h 4 po ], где w(0) равно значению величины (х при х = 0. Следовательно, с увеличением глубины проникновения х частицей плотность вероятности W(x) убывает экспортенциально. Причем убывание происходит тем быстрее, чем больше разность (W po W). Таким образом, на глубине проникновения ) W W ( m 2 h плотность вероятности W(x) уменьшается в е раз. Например, для электрона (m = 9,11 10 31 кг, для которого W po W эВ = 1,6 10 22 Дж, глубина проникновения хм. На такие расстояния удаляются от поверхности металла электроны проводимости, энергия которых 10 3 эВ меньше глубины потенциальной ямы, удерживающей электроны внутри металла (потенциальная яма создается взаимодействием электронов с положительными ионами кристаллической решетки металла. Явление туннельного эффекта(подбарьерное прохождение) характеризуется коэффициентом прозрачности D потенциального барьера. Прозрачность барьера зависит от формы и высоты потенциального барьера. Например, если потенциальный барьер прямоугольный высотой рои шириной d (риса, то его прозрачность D =D 0 exp( 4 2 h m W W d po ( ) ), (5.27) где h постоянная Планка m масса частицы W полная энергия частицы постоянный коэффициент, близкий к единице. Вероятность туннелирования частицы (5.27), тем меньше, чем больше ширина барьера и чем меньше полная энергия налетающей частицы. Проницаемость барьера уменьшается и с увеличением массы частицы. Если барьер непрямоугольный и его высота Риса Волновая оптика 127 зависит от координаты и медленно изменяется (рис. 5.4, б, то прозрачность барьера D = D 0 exp ( 4 2 1 2 h m W x) W x x dx p W W ( ( ) ( ) ), (5.28) где в точках хи х) начала и конца потенциального барьера W = W p (x). Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер возможно благодаря существова6ию под барьером волновой функции, "прокладывающей" путь частице вплоть до точки х (рис. 5.4, б) и правее этой точки, те. приводит к возможности обнаружить ее в области, запрещенной классической физикой. Если полная энергия частицы W меньше высоты потенциального барьера W p , тов области, где W p (x) > W, кинетическая энергия частицы (W k = p 2 / 2m) отрицательна, т. к. W = W k + W p (x). С классической точки зрения эта область недоступна для такой частицы, т. к. невозможно существование мнимой кинетической энергии (мнимого импульса. Квантовая механика допускает возможность обнаружить частицу в этой области (парадокс туннельного эффекта. Однако здесь нет парадокса и рассуждения о мнимом импульсе частицы неверны, т. к. туннельный эффект чисто квантовое явление. В классической физике W = W k + W p (x), те. можно одновременно определить кинетическую и потенциальную энергии с высокой степенью точности (W p зависит от координаты, W k от импульса. В квантовой механике согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга нельзя одновременно точно определить импульс и координату (или потенциальная W p и кинетическая W k энергии частицы не могут быть одновременно определены точно. Следовательно, равенство W= W k + W p (x) в квантовой механике применять нельзя. В квантовой механике движение частицы описывается волновой функцией (x, y, z, t). В случае одномерного движения частицы при фиксировании ее в определенной области х следует, что глубина проникновения ее в классически запрещенную область внутри потенциального барьера x h m W W po 2 2 ( ) . (5.29) Поэтому изменение импульса частицы p h x m W W po 2 2 ( ) . (5.30) Рис. 5.4, б Волновая оптика 128 Тогда, изменение кинетической энергии W p m W W k po ( ) 2 2 . (5.31) Следовательно, изменение кинетической энергии превышает величину энергии, недостающей частице, находящейся внутри потенциальной ямы для того, чтобы она могла классическим “ способом покинуть потенциальную яму. Проявление туннельного эффекта обнаружено в явлениях распада радиоактивных ядер, холодной эмиссии электронов, примесной проводимости полупроводников, в эффекте Джозефсона и т. д. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике служит проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояние порядка длины волны света) в условиях, когда сточки зрения геометрической оптики происходит полное внутреннее отражение. Лекция 12 6. АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ 6.1. Квантовая модель атома водорода Рассмотрим поведение электрона в атоме водорода при n = 1, потенциальная энергия которого r 4 e ) r ( W 0 2 p , (6.1) где r расстояние между электроном и ядром атома Z = 1. В центрально симметричном поле (волновая функция не зависит от ориентации радиус вектора частицы) потенциальная энергия зависит только от расстояния частицы до силового центра. Заметим, что скорости электронов в атоме нерелятивистские ( 10 6 мс, поэтому главным в атоме является кулоновское взаимодействие электронов с ядром и друг с другом. В этом случае уравнение Шредингера с энергией электрического взаимодействия атомных частиц не содержит их спинов. Поэтому по отдельности сохраняются орбитальный момент импульса, обусловленный движение электронов вокруг ядра, и спиновой момент атома. Соответственно, электронная волновая функция распадается на произведение координатной и спиновой волновых функций, из которых уравнением Шредингера определяется только первая. Координатная волновая функция ( r ) стационарного состояния электрона в атоме водорода с энергией W, будет решением уравнением Шредингера, которое быстро убывает при возрастании r. Волновая оптика 129 8 0 2 2 m h W W r p [ ( )] . (6.2) Решения уравнение (6.2) существуют только при значении полной энергии 2 2 2 0 4 e e 2 n n 1 h 8 q m Z W W , (6.3) где n = 1, 2, 3, …, главное квантовое число Z порядковый номер атома в периодической системе элементов Д. И. Менделеева для водорода Z = 1); 2 2 0 4 e e H h 8 q m J (6.4) называют ионизационным потенциалом атома водорода. Дискретные значения энергии W n образуют энергетический спектр атома водорода (рис. 6.1, где приведен график потенциальной энергии электрона. Основной особенностью линейчатого спектра атома водорода является то, что он состоит из группы серий Лаймана (1906 г Бальмера (1885 г Пашена (1909 гит. д. (рис. 6.2). При переходе с высшего энергетического уровня с энергией W m на более низкий энергетический уровень с энергией W n испускается квант света частотой mn = W m – W n Число n = 1, 2, 3, …, характеризующее энергетические уровни этого спектра называется главным квантовым числом Число m может принимать Рис Рис. 6.1 Волновая оптика 130 значения n + 1, n + 2, n + 3, … . Координатная волновая функция электрона ( r ) определяется тремя квантовыми числами главным квантовым числом n, орбитальным квантовым числом , которое при заданном n принимает ряд значений = 0, 1, 2, …, n 1, и магнитным квантовым числом При заданном магнитное квантовое число имеет 2 +1 значений m = 0, 1, 2, … , . Квантовые числа и m появляются в связи стем, что момент импульса электрона в кулоновском поле, которое является центрально симметричным, сохраняется. Поэтому стационарные состояния электрона в атоме водорода отличаются друг от друга значениями момента импульса электрона и его ориентацией. Квантовые числа n, и m не полностью определяют состояние электрона, тку электрона есть еще и спин. Спиновая степень свободы электрона характеризуется магнитным спиновым числом m принимающем два значения m s = 1/2. Совместно четыре квантовых числа n , , m и m s полностью определяют состояние электрона в атоме водород. Следовательно, электрон имеет четыре степени свободы. В атомной физике состояние электрона с различными значениями орбитального квантового числа, обозначают следующим образом = 0 (S – состояние, = 1 (р – состояние, = 2 (d – состояние) и т. д. Состояние электрона в атоме при n =1 и = 0 называют основным невозбужденным состоянием. Волновая функция и вероятность 2 обнаружить электрон в конкретной точке атома зависят только от r, те) соответствует s – состоянию электрона в атоме, которое сферически–симметрично. Похожие с атомом водорода свойства имеют водородоподобные ионы. Любой из них состоит из ядра с зарядом Ze и одного электрона. Энергетический спектр водородоподобного иона находится по формуле (5.34) 2 2 2 0 4 e e 2 n n 1 h 8 q Размер иона оказывается враз меньше боровского радиуса. Волновая оптика 131 Это связано стем, что в водородоподобном ионе электрон притягивается к ядру враз сильнее, чем в атоме водорода, а в остальном движение электрона остается сходным сего движением в атоме водорода. 6.2. Естественная ширина спектральных линий Согласно теории Бора частота излучения квантов определяется условием mn m n mn W W h W h , (6.5) где W m энергия возбужденного уровня, с которого переходит электрон, W n энергия уровня, на который переходит электрон. Следовательно, спектральные линии, определяемые формулой (6.5), отвечают идеально монохроматическому излучению частоты mn (рис. 6.3). Спектральные линии возникают в спектрах испускания или поглощения атомов (либо другой квантовой системы, отвечающей определенным излучательным квантовым переходами характеризуются узким интервалом частот (длин волн) естественной шириной спектральной линии. Опыт показывает, что реальные спектральные линии имеют конечную ширину. Это обусловлено тем, что колебания электрона в атоме являются затухающими. Поэтому такие колебания не представляют собой монохроматическое излучение. Затухание колебаний атомов происходит и при столкновении. Оба эти процесса ухудшают монохроматичность излучения и приводят к уширению энергетических уровней и спектральных линий. Интенсивность излучения имеет резкий максимум в области частоты квантового перехода mn (рис. 6.3). Ширину спектра характеризуют участком 2( ), когда интенсивность равна половине максимальной, те) где время средней длительности возбужденного состояния коэффициент затухания. Ширину спектральной линии, определяемую формулой (6.4), называют естественной шириной спектральной линии. Расчеты показали, что 2( ) 1,2 10 14 мс Рис. 6.3. Волновая оптика 132 Так как число столкновений атомов газа зависит от давления, то ширина спектральных линий пропорциональна давлению. Причиной уширения спектральных линий является также эффект Доплера Согласно квантовой теории ( ) ( ) W W W W h n n m m , (6.5) где W n , W m полуширина энергетических уровней. Следовательно, ширина спектральной линии 2 2( ) W W h n m . (6.6) Таким образом, все энергетические уровни, кроме основного невозбужденного, являются уширенными (рис. 6.4). Нижний (невозбужденный) уровень может существовать бесконечно долготе. Величины и W n являются лишь мерой ширины спектральных линий и энергетических уровней. Таким образом, действительная ширина уровня 4 h W n . (6.7) При замене = t в выражении (6.7) имеем 4 h t W n . (6.8) Это неравенство получило название соотношения неопределенностей Гейзенберга для энергии, те. энергетическое состояние атома не является вполне определенным. Мерой неопределенности является Неопределенным является и время перехода атома из одного состояния в другое, те. Такой результат является следствием проявления Рис. 6.4 Волновая оптика 133 двойственной корпускулярно волновой природы частиц. Пространственное распределение плотности вероятности для электрона атома водорода Основные особенности квантовой модели атома водорода можно выяснить, сравнивая его характеристики, определяемые набором 4 – х квантовых чисел n, , m и ms , с пространственным распределением вероятности обнаружить электрон вблизи ядра, с помощью волновой функции.Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с одинаковыми значениями главного квантового числа n , образуют электронный слой при n =1 К слой при n = 2 L слой при n = 3 М слой при n = 4 N слой при n = 5 О слойи т. д. В каждом электронном слое атома все электроны распределены по оболочкам. Оболочка соответствуетопределенному значениюорбитального квантового числа. При заданном орбитальном квантовом числе магнитное квантовое число принимает 2 +1 значений, а m s два значения. Так как число возможных состояний в электронной оболочке с заданным равно 2(2 +1), то оболочка = 0 ( s оболочка) заполнена двумя электронами оболочка = 1 (р оболочка) шестью электронами оболочка = 2 (d оболочка) десятью электронами оболочка = 3 ( f оболочка) четырнадцатью электронами. Всеволновые функции, соответствующие s состояниям – сферически симметричны. Это означает, что вероятность обнаружить электрон на некотором расстоянии вблизи ядра зависит только от этого расстояния. Атом водорода в нормальном состоянии можно представить в виде положительного ядра, локализованного в центре атома, окруженного сферически распределенным отрицательным зарядом, те. электрон размазан внутри некоторой сферы радиусам. Пространственное распределение вероятности встретить электрон вблизи ядра в каждом из p , d , f и т. д. состояний не является сферически симметричным. В связи с этим форма электронного облака для этих состояний более сложная. До сих пор мы использовали атом водорода, состоящий из протона и электрона. В настоящее время известно много других положительных и отрицательно заряженных частиц, которые в принципе могут создавать пару подобную атому. Наиболее интересен мезоатом – система, в электронной оболочке которого хотя бы один электрон заменен на отрицательный мезон ( – мезон. В нормальном состоянии мезон движется враз ближе к ядру, чем электрон, т. к. его масса враз больше. По изменившему излучению Волновая оптика 134 устанавливают факт существования мезоатомов. Спектры излучения отражают особенности строения ядер тяжелых элементов. Лекция 13 9. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 9.1. Момент импульса и спин в квантовой теории. В классической физике момент импульса материальной точки Момент импульса системы классических частиц состоит из собственного и орбитального моментов импульса. Собственным моментом импульса является момент импульса при нулевом значении суммарного импульса всех частиц. Примером является вращающийся на одном месте волчок. У отдельной классической материальной точки собственного момента импульса нет, т. к. импульсе р = 0. Свойства момента импульса в квантовой теории изменяются, что связано в первую очередь с соотношениями неопределенности. Это приводит к тому, что из трех компонент (проекций) момента импульса L x , у и L z сколь угодно точно можно задать любую, но только одну, например, L z . Найдем значения, которые может принимать проекция момента импульса L z . В квантовой механике волновая функция состояния L,z , в котором компонента момента импульса имеет определенное значение L z = const, находится с помощью уравнения x 2 h i y y 2 h i x L,z = L z L,z . (6.9) Правая часть данного уравнения является произведением величины z- компоненты квантового момента импульса на состояние, в котором эта компонента имеет данную величину. Решение этого уравнения показывает, что компонента момента импульса является величиной, кратной постоянной Планка, те. квантуется L z = m h / (2 ), где m магнитное квантовое число. Поскольку любая компонента момента импульса не может быть больше его абсолютного значения, то существует такое целое неотрицательное число , при котором m . То, при заданном , число m принимает 2 + 1 значений, те, образующих спектр величины Следовательно, абсолютное значение квантового момента импульса зависит от , те) где = 0, 1, 2, ... , (n 1) орбитальное квантовое число. Волновая оптика 135 Из рассмотренного следует, что момент импульса не может быть совмещен ни с одной из осей Х, У или Z. Когда пишется, что орбитальный момент импульса частицы равен, например, 2, то при этом имеется ввиду спектр значений = h/ , h/(2 ), 0, + h/(2 ), + h/ . При этом абсолютное значение момента импульса Квантовая механика допускает возможность существования таких состояний электрона, в которых он не имеет момента импульса ( = 0), связанного сего движение в атоме (6.10). Из классической электродинамики известно, что p g L q m L m e e 2 , (6.11) где p m вектор магнитного момента электрона L вектор орбитального момента импульса электрона g орбитальное гиромагнитное отношение q e заряд электрона m e его масса. Из квантовой механики следует, что существует пространственное квантование, значит, вектор момента импульса электрона может иметь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L z на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные h 2 , те) где m = 0, 1, 2, ... , магнитное квантовое число. Следовательно, может принимать 2 +1 ориентаций в пространстве. Пространственное квантование приводит к расщеплению энергетических уровней наряд подуровней. Опыты Штерна и Герлаха в 1922 г, в которых узкий пучок атомов серебра проходил сквозь сильное неоднородное магнитное поле и падал на экран, где вместо одной линии наблюдалось две резкие полосы, что свидетельствовало о двух возможных положений (ориентаций) магнитного момента во внешнем магнитном поле и подтвердили пространственное квантование. В магнитном поле проекция магнитного момента на ось Z, совпадающей с направлением вектора индукции внешнегомагнитного поля Z e e z , m S m q p , где S Z проекция спина на ось Z. Но величина S Z принимает только два значения S Z = + h/(4 ) и S Z = h/(4 ), тона атомы серебра со стороны магнитного поля действуют только Волновая оптика 136 две противоположно направленные силы F + = + B z / B и F - = B z / B , где B e e q h m 4 (6.13) магнетон Бора (В = 9,274 10 24 Дж Тл ). Эти силы и приводят к расщеплению исходного пучка атомов серебра на два пучка, причем симметрично относительно исходного. Поэтому магнитный момент квантуется p m B ( ) 1 , (6.14) Как показала квантовая теория, волновая функция состояния с определенным значением Z компоненты момента импульса имеет знаковую неоднозначность при полуцелом значении m. Это значит, что у квантовых частиц есть степени свободы, отличные от характеризующих положения частиц в пространстве. Момент импульса, связанный с этой дополнительной степенью свободы частицы, называют спином S. Такие частицы как электрон, протон, нейтрон имеют спин S = 1/2. У фотона спин S = 1. Гравитон имеет спин S = 2. У пионов спин S = 0. Важным отличием собственного момента импульса (спина) от орбитального момента импульса является сохранение абсолютного значения спина, т. к. спин внутреннее свойство частицы. У него может меняться только его проекция S Z , те. спин может по разному ориентироваться в пространстве. Например, спин электрона имеет только две ориентации си с S Z = h/(4 ). Орбитальный же момент импульса изменяется по абсолютному значению, например, он обращается в нуль в состоянии с = 0. Следует заметить, зависимость от спина существенна только при наличии внешнего магнитного поля, т. к. только в этом случае, входящая в уравнение Шредингера энергия взаимодействия частицы с магнитным полем зависит от спина частицы через ее магнитный момент. Опыты также показали, что у электрона кроме орбитального момента импульса и соответствующего ему магнитного момента, имеется собственный момент импульса L S спин электрона (предсказал Паули) и соответствующий ему собственный магнитный момент p mS , те) Собственный момент импульса L S спин и соответствующий ему собственный магнитный момент p mS проявляют все элементарные частицы. Согласно выводам квантовой механики следует, что спин квантуется по закону L h S S S 2 1 ( ) , (6.16) Волновая оптика 137 где S =1/2 спиновое квантовое число. Следовательно, в магнитном поле спин имеет две ориентации, те В связи с этим существует спиновое гиромагнитное отношение g q m S e . (6.17) В опытах Эйнштейна и де Гааза было определено спиновое гиромагнитное отношение для ферромагнетиков. Квантовая механика сумела объяснить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и создать теорию ферромагнетизма. Наличие спина у электрона и других элементарных частиц рассматривается как некоторое особое свойство этих частиц. Существование спина вытекает из волнового уравнения Дирака. Непосредственно экспериментально определить только спиновой магнитный момент свободного электрона невозможно из-за того, что спиновой магнетизм электрона носит кинематический характер, и следовательно, его невозможно отделить от магнитных эффектов, обусловленных переносным движением электрона, что следует из соотношений неопределенности Гейзенберга. |