Давыдков_физика_Ч. 2. Давыдков_физика_Ч. Курс лекций по общей физике предназначен для студентов института дистанционного образования, изучающих вторую часть курса физики
Скачать 2.62 Mb.
|
1.5. Поток вектора напряжённостиВ ряде разделов курса общей физики рассматриваются векторные поля (например, электростатическое поле, магнитное поле). В описании таких полей часто используют понятие потока вектора через некоторую поверхность. Рас-смотрим это понятие. Пусть в некоторой области пространства существует электрическое поле. Выберем в этом поле элементарную площадку ds. Пусть нормаль к этой площадке n образует угол c вектором напряжённости электрического поля (модуль вектора n = 1). Потоком вектора напряжённости электрического поля через эту площадку называется величина, равная , где dФ – элементарный поток вектора напряжённости, Е – вектор напряжённости поля в пределах бесконечно малой площадки площадью ds. Произведение En является скалярным, поэтому поток вектора напряжённости является скалярной величиной. Иногда произведение nds заменяют на вектор ds, который направлен перпендикулярно плоскости площадки; модуль вектора ds равен площади элементарной площадки. Поток напряжённости через конечную площадь s равен . В зависимости от величины угла между нормалью к площадке и вектором Е поток может быть положительным и отрицательным. Если угол между векторами Е и n острый, то поток положителен, если тупой – отрицателен. Обратите внимание на то, что направление вектора n выбирается перед решением задачи произвольно (перпендикуляр к поверхности можно направить в две взаимно противоположные стороны). Поэтому знак потока вектора напряжённости опреде-ляется выбором направления вектора n. Если поверхность замкнутая, поток вектора напряжённости равен , т. е. интеграл берётся по замкнутой поверхности s. В этом случае принято направлять вектор n наружу от поверхности. При этом поток через замкнутую поверхность положителен, если суммарный заряд, охваченный замкнутой поверхностью, положителен. Размерность потока вектора напряжённости [Ф]=В.м=Н.м2/Кл. 1.6. Теорема ГауссаТеорема Гаусса – основная теорема электростатики. Она устанавливает связь между потоком вектора напряжённости через замкнутую поверхность и суммарным зарядом, охваченным этой поверхностью. Рассмотрим эту теорему. Пусть электрическое поле создано положительным точечным зарядом q. Найдём поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность, охватывающую этот заряд. В качестве поверхности выберем сферу радиуса r, центр которой совпадает с зарядом q. Будем считать, что векторы n во всех точках замкнутой поверхности направлены от центра сферы. Поскольку заряд, создающий поле, положителен и распо-ложен в центре сферы, постольку угол между вектором Е и вектором n во всех точках поверхности равен нулю. Поэтому поток вектора напряжённости через элементарную поверхность ds будет равен Еnds = Ecosds = Ecos0ds = Eds. Другими словами, в рассматриваемой ситуации скалярное произведение вектора напряжённости электростатического поля на вектор элементарной поверхности ра-вен произведению модулей этих век-торов. Напряжённость поля, созданного то-чечным зарядом, равна . Поскольку заряд расположен в центре сферической по-верхности, расстояние от заряда до поверхности во всех её точках одинаково и равно r. Следовательно, модуль вектора напряжённости во всех точках сферической поверхности одинаков: E = const. Константу можно вынести за знак интеграла, поэтому поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен . Интеграл от элементарных площадей поверхности s, взятый по всей поверхности, равен площади этой поверхности s. В данном случае поверхность является сферой, площадь которой s = 4r2. Таким образом, поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен . Подставив выражение для расчёта напряжённости, получаем . Можно показать, что поток вектора напряжённости поля точечного заряда через замкнутую поверхность будет равен и в том случае, когда заряд находится не в центре сферической поверхности. Более того, поток будет таким же, даже если поверхность будет иметь любую форму. Если поверхность охватывает несколько зарядов qi, поток каждого из зарядов через замкнутую поверхность будет равен . Суммарный поток, созданный всеми зарядами, будет равен . Меняя последовательность суммирования и интегрирования и учитывая, что в соответствии с принципом суперпозиции , получаем , где Е – вектор напряжённости поля, созданного всеми зарядами, охваченными замкнутой поверхностью. Итак, проведённый анализ позволил получить следующее соотношение: . Это соотношение имеет универсальный характер и называется теоремой Гаусса: поток вектора напряжённости электри-ческого поля через замкнутую поверхность равен отношению суммы зарядов, охваченных этой поверхностью, к электри-ческой постоянной. Обратите внимание: в выражении теоремы Гаусса отсут-ствуют характеристики положения зарядов qi. Это означает, что поток вектора напряжённости не зависит от того, как расположены заряды, охваченные замкнутой поверх-ностью. Более того, поток вектора напряжённости не изменится, если изменится взаимное расположение зарядов, охваченных поверхностью. Практическое значение теоремы Гаусса заключается в том, что с её помощью значительно упрощается расчёт полей, созданных симметричными распределениями зарядов. В этом случае можно выбрать поверхность такой формы, что , где S – площадь части замкнутой поверхности, пронизываемой электрическим полем. |