Давыдков_физика_Ч. 2. Давыдков_физика_Ч. Курс лекций по общей физике предназначен для студентов института дистанционного образования, изучающих вторую часть курса физики
![]()
|
1.5. Поток вектора напряжённостиВ ряде разделов курса общей физики рассматриваются векторные поля (например, электростатическое поле, магнитное поле). В ![]() Пусть в некоторой области пространства существует электрическое поле. Выберем в этом поле элементарную площадку ds. Пусть нормаль к этой площадке n образует угол c вектором напряжённости электрического поля (модуль вектора n = 1). Потоком вектора напряжённости электрического поля через эту площадку называется величина, равная ![]() где dФ – элементарный поток вектора напряжённости, Е – вектор напряжённости поля в пределах бесконечно малой площадки площадью ds. Произведение En является скалярным, поэтому поток вектора напряжённости является скалярной величиной. Иногда произведение nds заменяют на вектор ds, который направлен перпендикулярно плоскости площадки; модуль вектора ds равен площади элементарной площадки. Поток напряжённости через конечную площадь s равен ![]() В зависимости от величины угла между нормалью к площадке и вектором Е поток может быть положительным и отрицательным. Если угол между векторами Е и n острый, то поток положителен, если тупой – отрицателен. Обратите внимание на то, что направление вектора n выбирается перед решением задачи произвольно (перпендикуляр к поверхности можно направить в две взаимно противоположные стороны). Поэтому знак потока вектора напряжённости опреде-ляется выбором направления вектора n. Если поверхность замкнутая, поток вектора напряжённости равен ![]() т. е. интеграл берётся по замкнутой поверхности s. В этом случае принято направлять вектор n наружу от поверхности. При этом поток через замкнутую поверхность положителен, если суммарный заряд, охваченный замкнутой поверхностью, положителен. Размерность потока вектора напряжённости [Ф]=В.м=Н.м2/Кл. 1.6. Теорема ГауссаТеорема Гаусса – основная теорема электростатики. Она устанавливает связь между потоком вектора напряжённости через замкнутую поверхность и суммарным зарядом, охваченным этой поверхностью. Рассмотрим эту теорему. Пусть электрическое поле создано положительным точечным зарядом q. Найдём поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность, охватывающую этот заряд. В качестве поверхности выберем сферу радиуса r, центр которой совпадает с зарядом q. Будем считать, что векторы n во всех точках замкнутой поверхности направлены от центра сферы. Поскольку заряд, создающий поле, положителен и распо-ложен в центре сферы, постольку угол между вектором Е и вектором n во всех точках поверхности равен нулю. П ![]() Другими словами, в рассматриваемой ситуации скалярное произведение вектора напряжённости электростатического поля на вектор элементарной поверхности ра-вен произведению модулей этих век-торов. Напряжённость поля, созданного то-чечным зарядом, равна ![]() Поскольку заряд расположен в центре сферической по-верхности, расстояние от заряда до поверхности во всех её точках одинаково и равно r. Следовательно, модуль вектора напряжённости во всех точках сферической поверхности одинаков: E = const. Константу можно вынести за знак интеграла, поэтому поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен ![]() Интеграл от элементарных площадей поверхности s, взятый по всей поверхности, равен площади этой поверхности s. В данном случае поверхность является сферой, площадь которой s = 4r2. Таким образом, поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен ![]() Подставив выражение для расчёта напряжённости, получаем ![]() Можно показать, что поток вектора напряжённости поля точечного заряда через замкнутую поверхность будет равен ![]() Более того, поток будет таким же, даже если поверхность будет иметь любую форму. Если поверхность охватывает несколько зарядов qi, поток каждого из зарядов через замкнутую поверхность будет равен ![]() ![]() Меняя последовательность суммирования и интегрирования и учитывая, что в соответствии с принципом суперпозиции ![]() ![]() Итак, проведённый анализ позволил получить следующее соотношение: ![]() Это соотношение имеет универсальный характер и называется теоремой Гаусса: поток вектора напряжённости электри-ческого поля через замкнутую поверхность равен отношению суммы зарядов, охваченных этой поверхностью, к электри-ческой постоянной. Обратите внимание: в выражении теоремы Гаусса отсут-ствуют характеристики положения зарядов qi. Это означает, что поток вектора напряжённости не зависит от того, как расположены заряды, охваченные замкнутой поверх-ностью. Более того, поток вектора напряжённости не изменится, если изменится взаимное расположение зарядов, охваченных поверхностью. Практическое значение теоремы Гаусса заключается в том, что с её помощью значительно упрощается расчёт полей, созданных симметричными распределениями зарядов. В этом случае можно выбрать поверхность такой формы, что ![]() |