Курс лекцій НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ. Курс лекцій удк 514. 18 В.І. Лусь. Нарисна геометрія Курс лекцій. Харків хнамг, 2008. 127 с
 Скачать 5.98 Mb.
|
 З'єднаємо відрізками проекції А2,В2 іА1,В1. Одержали проекції сторони квадрата. Вводимо площину П4║Σ1 (x14║Σ1). Будуємо нову проекцію А4В4. Добудовуємо до відрізка А4В4 квадрат А4В4С4D4. Проекції С1 і D1 належать Σ1. Проекції С2 і D2 будуємо за правилами заміни площин проекцій. У цієї задачі є друге рішення – квадрат, симетричний побудованому відносно прямої (АВ). Це друге рішення можна побудувати,некористуючись проекцією на площину П4 відразу на площинах П2 і П1. 2. СПОСІБ ОБЕРТАННЯ Як відомо, при обертанні деякої точки навколо осі вона рухається в площині, перпендикулярній до осі обертання, і описує коло. Для застосування способу обертання з метою перетворення креслення відзначимо наступні чотири елементи (рис. 4.9): - вісь обертання (MN); - площина обертання точки (пл. S перпендикулярна (MN)); - центр обертання (O; пл. S перетинає (MN)=О); - радіус обертання (R ;R=|ОA|). Яквісьобертаннязвичайно використовуютьпрями,які перпендикулярніабопаралельні площинам проекцій. При обертанні точки навколо вертикальної осі, її горизонтальнапроекція переміщується по колу, а фронтальна проекція - паралельна осі X, тобто перпендикулярна до осі обертання. Обертання точки А на кресленні щодо осі MN, перпендикулярної до площини П1 . При обертанні точки навколо горизонтальної осі її фронтальна проекція буде переміщуватися по колу , а горизонтальна - паралельно осі X . 48  Обертання точки А на кресленні відносно осі MN, перпендикулярноїдо площини П1, показане на рис. 4.10. Площина обертання S2 паралельна площині П1 і на фронтальній проекції зображена слідом S2. Горизонтальна проекція О1 центра обертання O збігається із проекцією m1n1 осі, а горизонтальнапроекціяО1a1радіуса обертання ОА є його натуральною величиною. Поворот точки А на рис. 4.10 зроблений на кут β проти годинникової стрілки так, щоб у новому положенні точки із проекціями a′2, a′1 радіус обертання був паралельний площині П2. При обертанні точки навколо вертикальної осі її горизонтальна проекція переміщується по колу, а фронтальна проекція – паралельна осі Рис. 4.10 X і перпендикулярна до осі обертання. Якщо точку обертати навколо осі, перпендикулярної до площини П2, то її фронтальна проекція буде переміщуватися по колу, а горизонтальна - паралельно осі X. Обертання точки навколо проектуючої прямої застосовують при вирішенні деяких задач, наприклад при визначенні натуральної величини відрізка прямої. Для цього (рис. 4.11) досить вісь обертання із проекціями m1n1, m2n2 вибрати так , щоб вона проходила через одну з крайніх точок відрізка, наприклад точку із проекціями b2, b1. Тоді при повороті точки А на кут β у положення А′ (ОА′ || пл. П2, o1a′1 || осі Х) відрізок АВ переміщується в положення А′В, паралельне площині П2 і, отже, проектується на неї в натуральну величину. Одночасно в натуральну величину буде проектуватися кут α нахилу відрізка АВ до площини П1. 2.1. Застосування способу обертання без вказівки на кресленні осей обертання, перпендикулярних до площин проекцій Якщо обертати геометричну фігуру навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій, то проекція на цій площині не змінюється ні за видом, ні за величиною (міняється лише положення проекції щодо осі проекцій). Проекції точок геометричної фігури на площині, паралельній осі обертання, переміщуються по прямих, паралельних осі проекції ( за винятком проекцій 49  точок, розташованих на осі обертання), і проекція в цілому змінюється заформою і величиною. Тому можна застосовувати спосіб обертання, не задаючись зображенням осі обертання. У цьому випадку, не змінюючи величини і форми однієї із проекцій геометричного образа, переміщують цю проекцію в необхідне положення, а потім будують іншу проекцію так, як зазначено вище. Нарис.4.12показане застосування способу обертання без вказівки осей для визначення натуральної величини трикутника АВС, заданого проекціями a1b1з1, а2b2з2. Для цього виконано два повороти площини загального положення, в якій розташований трикутник так, щоб після першого повороту ця площина стала перпендикулярною до площини П2, а після другого - паралельна площині П1. Застосування способу обертання без вказівки осей трохи спрощує побудови, при цьому не відбувається накладення однієї проекції на іншу, але креслення займає більшу площу. 2.2.Спосіб обертання навколо прямих, паралельних площинам проекцій Натуральну величину плоскої фігури можна визначити обертанням навколо осі, паралельної площині проекцій, одним поворотом привівши фігуру в положення, паралельне площині проекцій. На рис. 4.13 показане визначення величини трикутника з проекціями a1b1c1, a2b2c2 обертанням навколо горизонталі. При цьому всі точки трикутника (за винятком лежачих на осі обертання) обертаються навколо осіпоколахуплощинах, перпендикулярнихдоосі.Якщо трикутник займе положення, паралельне до площини проекцій, радіуси обертання його точок виявляться паралельними цій площині, тобто будуть проектуватися на площину в натуральну величину. 50  Якщо потрібно повернути плоский геометричний образ до положення,паралельного площині П2, то за вісь обертання вибирають фронталь. 2.3. Спосіб суміщення Поворот площини навколо її сліду до суміщення з відповідною площиною проекцій (спосіб суміщення). Якщо площину обертати навколо її сліду до суміщення із площиною проекцій, в якій розташований цей слід, то геометричні образи, розташовані в площині, зобразяться без спотворення. Цей спосіб є окремим випадком обертання навколо горизонталі або фронталі, тому що горизонтальний слід площини можна розглядати як горизонталь площини, а фронтальний слід - як фронталь площини. На рис. 4.14 показане наочне зображення повороту площини загального положення P навколо горизонтального сліду P1 в напрямку від площини П2 до спостерігача і до суміщення з площиною П1. У положенні суміщення площини P із площиною П1 пряма P0 являє собою слід P2 , суміщений із площиною П1. Слід P1 як вісь обертання не змінює свого положення. Точка Px перетину слідів також не змінює свого положення. Для побудови суміщеного положення Pо сліду P2 досить знайти ще одну точку, наприклад точку N, цього сліду (крім точки Px) у положенні, суміщеному із площиною П1.Точка N опише дугу в площині Q, перпендикулярної до осі обертання. Центр О цієї дуги є точкою перетину площини Q зі слідом P1. Tочка No на площині П1 є точкою перетину дуги радіуса ON у площині Q зі слідом Q1. Провівши через Px і No пряму, одержимо Po . Відрізок PxN не змінює своєї довжини при обертанні площини; тому точку No можна одержати при перетині Q1 з дугою, описаною в площині П1 , із точки Px радіусом PxN. 51  Для виконання розглянутих побудов на кресленні (рис. 4.15) на сліді P2обрана довільна точка N (вона збігається зі своєю проекцією n2 ). Через її горизонтальну проекцію n1 проведена пряма n1o, перпендикулярна до осі обертання - сліду P1. На цій прямій знайдена точка No, тобто точка N після суміщення із площиною П1. Вона знайдена на відстані PxNo= Pxn2 від точки Px або на відстані ОNo від точки О, рівній радіусу обертання точки N. Довжина радіуса ОNo визначена, наприклад, як гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами Оn1 і n1N/(n1N = n1n2). Пряма Po , що проходить через точки Px і No- суміщене положення сліду P2. Рис. 4.15 Якщо потрібно сумістити площину з фронтальною площиною проекцій, то обертати площину треба навколо її фронтального сліду. 52  ЛЕКЦІЯ №5. МЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ. ВИЗНАЧЕННЯ ВІДСТАНЕЙ І КУТІВ1. ВИЗНАЧЕННЯ ВІДСТАНЕЙ Розглянемо тільки визначення відстаней, оскільки НВ (натуральна величина) плоскої фігури була розглянута в попередній лекції. 1.1. Відстань від точки до фігури (точки, прямої, площини) Наведемо відомості з планіметрії, необхідні для вирішення зазначених 1) Довжина відрізка є відстань між його кінцями. 2) Із точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої і до того ж тільки один. Задача.Визначитидовжину відрізка АВ (рис. 5.1). У лекції № 4 було наведене вирішення цієї задачі методом заміни площин проекцій. Розглянемоіншевирішення– вирішення методом прямокутного трикутника. Його обґрунтування виконаємо, спираючись на зазначений метод заміни. Виконуючи вирішення даноїзадачіметодомзаміни, одержимо А4В4 – шукану довжину. Бачимо, що відповідно до методу заміни Е4В4 = b. Тому, відклавши на лінії В1В4 ⊥х1 від точки В1 відрізок Рис. 5.1 B1D1 = E4У4 = b, одержимо прямокутний трикутник А1В1D1, в якому А1D1 = А4В4,тобто довжина гіпотенузи А1D1 є шукана довжина. Отже довжину відрізка АВ можна визначити на площині проекцій П1 використовуючи відстань b, взяту на площині проекцій П2 . При цьому заміна площин проекцій з віссю х1 не потрібна. Аналогічно можна визначити шукану довжину на площині П2. Для цього вибудовуємо прямокутний трикутник B2A2C2 , в якого С2А2 = а, де а визначено на П1. У підсумку одержуємо В2С2 = В1С1 – шукана довжина відрізка АВ. Зрозуміло, що необхідно будувати лише один з двох наведених прямокутних трикутників. Задача. Дано пряму АВ і точку Е поза прямою (рис. 5.2). Треба визначити відстань (Е, АВ). Проекційний алгоритм вирішення може бути наступним: 1) методом заміни площин проекцій визначаємо довжину відрізку АВ. 53 задач.  На П4 вона дорівнює А4В4 ;Рис. 5.2 2) будуємо додаткову на П4 проекцію Е4 точки Е; 3) вводимо нову систему площин проекцій П4 ⊥П5 таку, що її вісь проекцій х2 перпендикулярна до А4В4; 4) на П5 будуються додаткові проекції відрізка АВ і точки Е. Проекціями будуть відповідно точки А5 = В5 і Е5. Відстань ρ(F5, Е5) є шуканою відстанню між даними прямою і точкою. Повертаємо послідовно проекції відрізка EF на П4, П1, П2. Для цього проводимо спочатку E4F4║x2 , а потім будуємо: (F5, F4 ) ⇒F1 ;(F4 , F1 ) ⇒F2. У підсумку одержуємо E1F1, E2F2 –основні проекції відрізка EF, довжина якого є шукана відстань. Необхідно відзначити, що коли не враховувати отримані побудови на П5, ті побудови на П2, П1 і П4, що залишилися, відповідають вирішенню задачі про проведення прямої EF через дану точку Е, що перетинає під 90° дану пряму АВ. Задача. Дано площину (∆АВС) і∆ точку Е. Визначити відстань від точки Е до площини (рис. 5.3). Вирішення задачі може бути виконано методом заміни площин проекцій. Проекційний алгоритм вирішеннявцьомувипадку наступний: 1) у площині Σ будуємо лінію рівня, наприклад h(h1, h2), так, що h2║x; 2) вводимо нову систему площин проекцій П1⊥П4 з віссю х1 так, що х1 ⊥h1; 3) на П4 будуємо додаткові проекції заданих фігур – В4С4 для ∆АВС і Е4 Рис. 5.3 для точки Е; 4) довжина перпендикуляра E4F4 є шуканою відстанню (Е, ). Для повноти рішення будуємо проекції відрізка EF на основних площинах проекцій. Для цього спочатку будуємо E1F1║х1, а потім (F4, F1) ⇒ F2; E2F2, E1F1 – основні проекції відрізка EF довжини ρ. 54  1.2. Визначення відстані між паралельними фігурамиЗадача. Дано паралельні прямі АВ і CD. Визначити відстань між цими прямими (рис. 5.4). Вирішення задачі виконаємо методом заміни площин проекцій. Для цього спочатку введемо нову систему площин проекцій П1⊥П4 з віссю проекцій х1║А1У1 і визначимо НВ відрізків АВ і CD. Одержимо А4В4 = НВ відрізка АВ, D4С4 = НВ відрізка DC. Потім введемо нову систему площин проекцій П4⊥П5 з віссю х2 ⊥ А4В4 і побудуємо точки D5 = С5 і А5 = В5 ,якібудутьвиродженими проекціями відрізків АВ і CD. Рис. 5.4 Шуканою відстанню ρ(AB, CD) буде ρ(А5, D5). Залишається побудувати основні проекції відрізка довжини . Цю частину вирішення задачі пропонується виконати самостійно. Задача. Дано паралельні фігури: пряму а і площину . Визначити відстань між а і (рис. 5.5). Для вирішення задачі необхідно взяти на прямій а довільну точку А і визначити відстань (А, ). Тому що (а, ) = (А, )то відстань (А, ) буде рішенням даної задачі. Визначення відстані (А, ). було показано раніше. Рис. 5.5. Задача. Дано паралельні площини і ∆. Знайти відстань між і ∆ (рис. 5.6). Для вирішення задачі необхідно взяти на одній із площин, наприклад , точку А і визначити відстань (A, ∆). Тому що (Σ, ∆) = (A, ∆) то знайдена відстань (A, ∆) буде рішенням задачі. Рис. 5.6 55  1.3. Визначення відстані між мимобіжними прямимиНаведемо без доказів відомості зі стереометрії, необхідні для вирішення названої задачі. 1) Загальним перпендикуляром двох мимобіжних прямих називається відрізок, кінці якого лежать на даних прямих і який перпендикулярний до них. 2) Загальний перпендикуляр двох мимобіжних прямих існує і єдиний. 3) Відстань між мимобіжними прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра. Задача. Дано мимобіжні прямі АВ і CD. Визначити відстань між прямими (рис. 5.7). Вирішення задачі виконаємо методом заміни площин проекцій. Проекційний алгоритм рішення в цьому випадку може бути наступним: 1) вводимо нову систему площин проекцій П1⊥П4 , таким чином, що П4║АВ, тобто на КЧ будується вісь х1║А1В1; 2) на П4 будуємо нові проекції А4В4 (НВ відрізки АВ) і C4D4 ; 3) вводимо нову систему площин П4⊥ П5 з віссю х2 ⊥А4В4 така, що П5 ⊥AB; 4) на П5 будуємо нові проекції – відрізок C5D5 і точка А5 = В5; 5) будуємо перпендикуляр E5F5 ⊥C5D5 із точки Е5( = А5 = В5); У підсумку, за змістом побудов у методі заміни площин проекцій і наведеному поняттю, відстані між мимобіжними прямими одержуємо, як ρ(E5, C5D5) = ρ(AB, CD). Для повноти вирішення задачі необхідно повернути відрізок EF довжиною (AB, CD) на вихідні Рис. 5.7 площини проекцій: 1) будуємо E4F4 ║x2; 2) будуємо E1F1 по проекціях E5F5, E4F4; E2F2 по проекціях E4F4 , E1F1. Відрізки E2F2, E1F1 являють собою основні проекції відрізка EF. У стереометрії відомо ще одне визначення розглянутої відстані: відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, проведеними через ці прямі. Таке визначення відстані дозволяє запропонувати більш короткий шлях вирішення розглянутої задачі. 56  Рис. 5.8Нехай AB і CD – мимобіжні прямі (рис. 5.8). Перемістимо у просторі пряму АВ паралельно самої собі в положення АВ до перетину з CD. Якщо взяти тепер на прямій АВ будь-яку точку Е і опустити з цієї точки перпендикуляр П1 на площину, що утворилася (CD, A1B1), то довжина цього перпендикуляра буде шуканою відстанню ρ(AB,CD). Розглянемо проекційне рішення задачі. Задача. Дано мимобіжні прямі АВ і CD (рис. 5.9). Визначити відстань між ними. Вирішення задачі може бути наступним: 1) Перенесемо пряму АВ паралельно самій собі до перетину з CD. Таких переносів може бути нескінченна множина. Один з переносів, наприклад А1В1 → А11В11, А2В2 = А21В21- найбільш простий для даного КК варіант. 2) Одержуємо нові умови задачі: задана площина Σ (А1В1, CD), де А1В1∩ CD і точка А; потрібно визначити відстань (А, ). Рис. 5.9 Вирішення задачі виконуємо методом заміни площин проекцій за раніше викладеною схемою проекційного рішення. 2. ВИЗНАЧЕННЯ КУТІВ МІЖ ФІГУРАМИ Фігури простору: прямі лінії, площини, прямі й площини можуть утворювати між собою кути - геометричні фігури з відповідним цим фігурам величинами. Розглянемо найбільш поширені випадки, що часто зустрічаються в нарисній геометрії. 2.1. Кути між прямими Наведемо відомі зі шкільного курсу стереометрії поняття і визначення, необхідні для вирішення наступних метричних задач: 57 |