курсовая 2. Курсовая работа по дисциплине Алгебра и теория чисел Выполнил(а) Торокова Валентина Максимовна Группа им 31 Курс 3
 Скачать 41.02 Kb.
|
 и  равносильны, т.к. каждое из них имеет один корень: 2. .Пример 2. Уравнения  и  не равносильны, т.к. первое имеет единственный корень: 8, а второе имеет два корня: 8 и -8.Определение 11. Пусть даны уравнения  и , и некоторое множество N. Если любой корень первого уравнения, который принадлежит множеству N, удовлетворяет второму уравнению, а любой корень второго уравнения, который принадлежит множеству N, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве N.Пример 1.  и  не равносильны на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет один корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения являются равносильными на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве один корень: 1.Отметим, что часто множество N совпадает или с ОДЗ уравнения  , или с множеством всех действительных чисел.Рассмотрим теоремы о равносильности уравнений. Теорема 3. Если возвести обе части уравнения в одну и ту же нечетную степень то, получается уравнение, равносильное исходному. Пример 1.  .Теорема 4. Если перенести какое-нибудь слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный то, получится уравнение, равносильное исходному. Пример 1.  .Теорема 5. Если умножить или разделить обе части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное исходному. Пример 1.  (обе части первого уравнения разделили на 3).Типичной ошибкой при решении иррациональных уравнений является, осуществление преобразований, которые нарушают равносильность, вследствие чего корни теряются или появляются « посторонние» корни. Далее рассмотрим иррациональные неравенства. При замене знака равенства на один из знаков неравенства: >,  , <, |