Л. И. Магазинников Высшая математика IV

• Название: Л. И. Магазинников Высшая математика IV
• Дата: 04.03.2018
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: ver-st1 (1).pdf
• Тип: Документы; #37694
• страница: 3 из 10

Например, для трёх слагаемых (A
1
+ A
2
+ A
3
) = P (A
1
) + P (A
2
) + P (A
3
) − P (A
1
· A
2
)−
−P (A
1
· A
3
) − P (A
2
· A
3
) + P (A
1
· A
2
· Если события A
1
, A
2
, . . ., A
n попарно несовместны, то (A
1
+ A
2
+ . . . + A
n
) = P (A
1
) + P (A
2
) + . . . + P (A
n
).
22

1.6. Формула полной вероятности и формула
Байеса
Пусть событие A может произойти с одним из событий, H
2
, . . . , H
n
, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез P (H
1
), P (H
2
), . . . , P (H
n
) и условные вероятности. Требуется найти вероятность P (A) события В нашем случае H
1
+ H
2
+ . . . + H
n
= есть событие достоверное. Можем записать, что = A(H
1
+ H
2
+ . . . + H
n
) = AH
1
+ AH
2
+ . . . + Так как события H
i несовместны, то несовместны и события. Поэтому по правилу сложения вероятностей несовместных событий и правилу умножения вероятностей из (1.11) получаем (Соотношение (1.12) называют формулой полной вероятности.
Пример 1
. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями p
1
= 0,25, p
2
= 0,35 и p
3
= Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Определить вероятность того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.
Решение
. Рассмотрим события лампа проработает заданное число часов, H
1
, H
2
, лампа принадлежит соответственно первой, второй или третьей партии По условию задачи, P (A/H
3
) = 0,3. По формуле) находим P (A) = P (H
1
)P (A/H
1
) + P (H
2
)P (A/H
2
)+
+ P (H
3
)P (A/H
3
), P (A) = 0,25 ·0,1+0,35·0,2+0,40·0,3 = Пример 2
. Из 10 приборов 6 — первого сорта, а 4 — второго. Вероятность исправности прибора первого сорта P
1
= а второго — P
2
= 0,7. Найти вероятность того, что случайно взятые два прибора исправны

Решение. Пусть оба прибора исправны, гипотезы:
H
1
{оба взятых прибора первого сорта, первый взятый прибор первого, а второй — второго сорта, первый взятый прибор второго сорта, а второй — первого, оба прибора второго сорта}.
Применяя формулы умножения вероятностей, находим (H
1
) =
6 10
·
5 9
=
30 90
, P (A/H
1
) = 0,9 · 0,9 = 0,81,
P (H
2
) =
6 10
·
4 9
=
24 90
, P (A/H
2
) = 0,9 · 0,7 = 0,63,
P (H
3
) =
4 10
·
6 9
=
24 90
, P (A/H
3
) = 0,7 · 0,9 = 0,63,
P (H
4
) =
4 10
·
3 9
=
12 90
, P (A/H
4
) = 0,7 · 0,7 = По формуле (1.12) получаем (A) =
30 90
·0,81+
24 90
·0,63+
24 90
·0,63+
12 90
·0,49 =
10,07 15
∼
= Пусть по-прежнему имеет место (1.11), те. A =
n где H
1
, H
2
, . . . , H
n
— полная группа несовместных событий.
Предположим, что произведён эксперимент, в результате которого событие A наступило. Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез H
i
, вычислив (По формуле умножения вероятностей (A · H
i
) = P (A) · P (H
i
/A) = P (H
i
) · P (A/H
i
). Отсюда (H
i
/A) =
P (H
i
)P (A/H
i
)
P (A)
, или вычислив P (A) по формуле, получаем (H
i
/A) =
P (H
i
)P (A/H
i
)
n k=1
P (H
k
)P (A/H
k
)
, i = 1, 2, . . . , Эту формулу называют формулой Байеса.
Вероятности P (H
i
) — это априорные вероятности, они вычислены до опыта. Вероятности же P (H
i
/A) — это апостериорные вероятности, они вычислены после опыта. Формула Байе- са (1.13) позволяет вычислить апостериорные вероятности по априорными условным вероятностям события A.
24

Обратим внимание на то, что в числителе формулы Байеса стоит вероятность появления события A вместе с гипотезой H
i до проведения опыта.
Пример 3
. Производится стрельба из трёх орудий по одной цели. Вероятность попадания первым орудием p
1
= 0,6, вторым, третьим — p
3
= 0,8. Найти вероятность разрушения цели, если известно, что при одном попадании цель будет разрушена с вероятностью p
4
= 0,1, при двух — p
5
= при трёх — p
6
= 0,9. В результате одного залпа цель была разрушена. Найти вероятность того, что при этом было два попадания в цель.
Решение
. Пусть цель разрушена. Гипотезы:
H
k
{имеется k попаданий в цель, k = 0, 1, 2, 3, события е орудие попало в цель, е орудие промахнулось, i = 1, 2, Находим (H
0
) = P ( ¯
A
1
· ¯
A
2
· ¯
A
3
) = 0,4 · 0,3 · 0,2 = 0,024, P (A/H
0
) = 0,
P (H
1
) = P (A
1
· ¯
A
2
· ¯
A
3
+ ¯
A
1
· A
2
· ¯
A
3
+ ¯
A
1
· ¯
A
2
· A
3
) = 0,036 +
+ 0,056 + 0,096 = 0,188, P (A/H
1
) = 0,1,
P (H
2
) = P (A
1
· A
2
· ¯
A
3
+ A
1
· ¯
A
2
· A
3
+ ¯
A
1
· A
2
· A
3
) = 0,084 +
+0,144 + 0,224 = 0,452,
P (A/H
2
) = 0,4, P (H
3
) = P (A
1
A
2
A
3
) = 0,336, P (A/H
3
) = По формуле (1.13) находим P (H
2
/A) =
P (H
2
) · P (A/H
2
)
P (A)
,
P (H
2
/A) =
0,452 · 0,4 0,024 · 0 + 0,188 · 0,1 + 0,452 · 0,4 + 0,336 · 0,9
=
=
0,1808 0,502
≈ Найдите самостоятельно вероятности того, что было а) одно попадание в цель (отв. ≈ 0,04), б) три попадания в цель
(отв. ≈ 0,6).
25

1.7. Схема испытаний Бернулли. Формула
Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в схеме Бернулли
Часто встречаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется многократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие A. Нас будет интересовать число наступлений события A в серии n опытов
(испытаний). Например, при проверке партии радиоламп важно общее количество годных, а не результат проверки каждой отдельной лампы.
Предположим, что проводится серия n опытов по схеме,
называемой схемой Бернулли и заключающейся в следующем) опыты независимы, те. результат каждого опыта не оказывает влияния на другие) вероятность P (A) = p наступления события A в каждом опыте одна и та же.
Построим математическую модель схемы Бернулли. В случае одного опыта пространство элементарных событий состоит из двух элементов. Один из них, соответствующий наступлению события A, назовём "успехом"и будем обозначать единицей, а другой назовём "неудачей"и будем обозначать нулём.
Если вероятность успеха p, то P (1) = p, P (0) = 1 − p = q. Если проводится серия n испытаний по схеме Бернулли, то исход каждой отдельной серии однозначно определяется последовательностью из нулей и единиц длины Требованию независимости опытов удовлетворим, если положим, где µ(ω) — число единиц в последовательности. Схемой испытаний Бернулли назовём пространство элементарных событий Ω, состоящее из всех возможных последовательностей {ω} длины n, состоящих из нулей и единиц, причём для любого ω ∈ полагается P (ω) = p
µ(ω)
q n−µ(ω)
,
0 ≤ p ≤ 1, q = 1 − Если событие C состоит из подмножества {ω
1
, ω
2
, . . . , то P (C) =
m i=1
p
µ(ω
i
)
q n−µ(ω
i
)
. Можно показать, что введён- ные таким образом вероятности удовлетворяют всем аксиомам,
определяющим вероятность.
Пусть проводится серия n испытаний по схеме Бернулли

Поставим задачу найти вероятность того, что событие A наступит при этом m раз (событие B). Эту вероятность будем обозначать P
n
(m), те. P (B) = P
n
(m). Событие B состоит из тех последовательностей {ω}, которые содержат ровно m единиц. Таких последовательностей, очевидно, C
m n
, поэтому) = C
m n
p m
q Напомним, что C
m n
=
n(n − 1) · . . . · (n − m + 1)
m!
=
n!
m!(n − m)!
— число сочетаний из n по Соотношение (1.14) называют формулой Бернулли или формулой биномиального распределения, так как (1.14) представляет собой член бинома (q + p)
n
, содержащий p Пример 1
. Произведены четыре независимых выстрела по мишени. Найти вероятность того, что мишень будет поражена три раза, если вероятность попадания при одном выстреле равна p = Решение. Полагая в формуле (1.14) p = 0,6, q = 0,4, получаем По условиям этого примера найти, что мишень будет поражена а) ни разу (отв. 0,0256); б) один раз (отв. 0,1536); в) два раза (отв. 0,3456); г) четыре раза (отв. Число называют наивероятнейшим, если P
n
(k
0
) не меньше) при всех k. Исследуя поведение P
n
(k) при возрастании k можно показать, что) если число np − q дробное, то существует единственное наивероятнейшее число k
0
, оно удовлетворяет условию np − q < k
0
< np + p;
2) если число np целое, то k
0
= np;
3) если число np − q целое, то существуют два наивероятнейших числа k
1
= np − q и k
2
= np − q + 1 = np + p =
= p(n + 1) = k
1
+ Пример 2
. Найти наивероятнейшее число годных деталей среди 19 проверяемых, если вероятность детали быть годной равна 0,9.
27

Решение. В нашем случае p = 0,9, q = 0,1, n = 19. Число np−q = 0,9·19−0,1 = 17 оказалось целым. Поэтому существуют два наивероятнейших числа k
1
= 17 и k
2
= 18.
1.8. Локальная и интегральная теоремы
Муавра-Лапласа
При больших m и n вычисление вероятностей P
n
(m) по формуле (1.14) представляет значительные трудности, так как возникают факториалы больших чисел и большие степени p и q. Для таких случаев найдены приближённые формулы, позволяющие с достаточной для практических задач точностью определить эти вероятности.
Теорема локальная теорема Муавра-Лапласа). Вероятность того, что в n независимых опытах событие A наступит m раз, если в каждом из опытов вероятность появления события постоянна и равна p(0 < p < 1), приближённо выражается формулой) где ϕ(x) =
1
√
2π
exp −
x
2 2
, x =
m − напомним, что exp(x) = e Теорему примем без доказательства. Функция ϕ(x) табулирована. (см. приложение B). Заметим, что ϕ(−x) = Пример 1
. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.
Решение
. Полагая в формуле (1.15) n = 100, m = 75,
p = 0,8, q = 0,2, получаем) ≈
1
√
100 · 0,8 · 0,2
ϕ
75 − 80 4
=
=
1 4
ϕ(1,25) =
1 4
0,1826 = На практике часто требуется найти вероятность того, что число m наступления события A содержится в заданных пределах. При небольших n можно воспользоваться

формулой (1.14) и получить ≤ m
2
) При больших n величину P
n
(m
1
≤ m ≤ m
2
) можно вычислить приближённо, пользуясь следующей теоремой.
Теорема интегральная теорема Муавра-Лапласа). Вероятность) того, что в n независимых опытах событие A наступит не менее разине более раза, если в каждом из опытов вероятность наступления события постоянна и равна p(0 < p < 1), приближённо равна ≤ m
2
) = Φ(x
2
) − где Φ(x) =
1
√
2π
x
0
exp −
t
2 2
dt — функция Лапласа np
√
npq
, x
2
=
m
2
− Заметим, что функция Лапласа нечётная, те. Φ(−x) = Для функции Лапласа имеются подробные таблицы (приложение Пример 2
. Вероятность появления события A в каждом из независимых испытаний равна p = 0,7. Найти (1470 ≤ m Решение. Полагая в формуле (1.16) n = 2100, m
1
= 1470,
m
2
= 1500, p = 0,7, q = 0,3, получаем P
2100
(1470 ≤ m ≤ 1500) ∼
=
∼
= Φ
1500 − 2100 · 0,7
√
2100 · 0,7 · 0,3
− Φ
1470 − 2100 · 0,7
√
2100 · 0,7 · 0,3
= Φ
10 7
−
−Φ(0) ∼
= Φ(1,43)
− Φ(0) ∼
= 0,4236.
1.9. Простейший (пуассоновский) поток событий. Формула Пуассона
Часто встречаются задачи, связанные с изучением распределения некоторых событий на данном промежутке времени.
Например, на станцию скорой помощи в среднем за час поступает вызовов. Какова вероятность, что заданную минуту поступит m вызовов Наладчик обслуживает группу станков- автоматов. За смену в среднем случается k неполадок. Какова

вероятность, что в течение данного часа произойдёт m неполадок событий, наступающих в случайные,
заранее неизвестные моменты времени называют потоком событий. Поток событий называется простейшим, или пуассоновским, если он обладает следующими тремя свойствами. Свойство стационарности вероятность P
t
(m) появления m событий на любых непересекающихся промежутках времени зависит только от величин m и t и не зависит от начала отсчёта времени. Свойство отсутствия последействия или независимости событий вероятность P
t
(m) не зависит оттого, появлялись или нет события в предшествующие промежутки времени. Свойство ординарности вероятность P
∆t
(1) появления события один разв интервале времени (t, t + ∆t) есть бесконечно малая величина первого порядка малости относительно вероятность P
∆t
(m > 1) есть бесконечно малая порядка выше первого относительно Пусть в течение времени t действует простейший поток.
Требуется вычислить вероятность P
t
(m) того, что за промежуток времени t событие A наступит m раз. Отрезок времени t разобьём на n одинаковых частей ∆t =
t n
(n достаточно велико. На каждом отрезке ∆t по свойству ординарности может появиться событие не более одного раза. Возможностью появления события более одного раза мы пренебрегаем. По свойству же ординарности P
∆t
≈ λ∆t =
λt n
(λ = const). Величина λ является одной из основных характеристик потока. Она показывает среднее число событий, появляющихся в единицу времени.
Эту величину называют интенсивностью потока. Промежуток времени ∆t i
назовём пустым, если в течение этого времени событие потока не наступило, и занятым, если событие произо- шло.
Каждый отдельный промежуток времени ∆t можно рассматривать как некоторый опыт, в результате которого этот промежуток может оказаться занятым с вероятностью p = λ
t n
,
30

или быть свободным с вероятностью q = 1 −
λt n
. Требуется найти вероятность P
n
(m) того, что в n опытах m отрезков окажется занятыми. Эту вероятность можно подсчитать, воспользовавшись формулой Бернулли (1.14):
P
n
(m) = C
m n
λt n
m
1 −
λt При достаточно больших n величина P
n
(m) приближённо равна P
t
(m). Чтобы найти P
t
(m), перейдём в последнем соотношении к пределу при n → ∞.
P
t
(m) = lim n→∞
P
n
(m) = lim n→∞
C
m n
λt n
m
1 −
λt n
n−m
=
= lim n→∞
n(n − 1) · . . . · (n − m + 1)
m!
λt n
m
1 −
λt n
n−m
=
=
(λt)
m m!
lim n→∞
1 −
λt n
n
· 1 −
λt n
−m
· 1 · 1 −
1
n
×
× 1 −
2
n
· . . . . . . · 1 −
m − 1
n
=
(λt)
m m!
e
−λt
, так как lim n→∞
1 −
λt n
n
= e
−λt
, lim n→∞
1 −
λt n
−m
= Таким образом) =
(λt)
m Соотношение (1.17) называется формулой Пуассона. Обозначая, формулу (1.17) можно переписать в виде) =
a Эту формулу часто используют для приближённого вычисления величины P
n
(m) = C
m n
p m
(1 − p)
n−m при больших n и малых p, полагая a = pn (в таких случаях применение формулы Бернулли и локальной теоремы Муавра-Лапласа затруднительно. Основанием для этого служит тот факт, что lim n→∞
C
m n
p m
(1 − p)
n−m
=
a m
m!
e
−a при условии, что pn = Пример 1
. Станция скорой помощи за час получает в среднем вызовов. Найти вероятность того, что заданную минуту поступит m вызовов

Решение. Можно применить формулу (1.17), положив в ней =
k
60
. Получим P
1 60
(m) =
k
60
m Пример 2
. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна p = 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено менее трёх изделий.
Решение
. Искомую вероятность P
500
(m < 3) можно представить в виде суммы P
500
(m < 3) = P
500
(0) + P
500
(1) + Так как p мало, а n велико, то можно применить для прибли- жённого вычисления каждого из слагаемых формулу (положив a = np = 500 · 0,002 = 1. Поэтому P
500
(m < 3) = e
−1
+
+e
−1
+
1 2
e
−1
=
5 2
e
−1
=
5 2
· 0,3679 = 0,9197.
1.10. Цепи Маркова
Рассмотрим следующее обобщение схемы испытаний Бер- нулли.
Пусть проводится последовательность испытаний по схеме) в каждом испытании может появиться одно из несовместных событий A
1
, A
2
, . . . , A
k
, образующих полную группу 2) условная вероятность p ij
(s) того, что в s - м испытании наступит событие A
j
, если в (s − 1) - м испытании наступило событие, не зависит от результатов предыдущих испытаний. Такую последовательность испытаний называют цепью Маркова.
Цепи Маркова применяются для изучения систем, которые в каждый момент времени могут находиться водном из m состояний (m = 1, 2, . . . , k), обозначенных как события, A
2
, . . . , A
k
. Различают цепи Маркова с непрерывным временем, когда изменение состояния системы происходит в любые случайные моменты времени, и с дискретным временем,
когда изменение состояния системы происходит в определён- ные фиксированные моменты времени. Цепь называется однородной, если условная вероятность p ij
(s) перехода из состояния в состояние A
j не зависит от номера испытания s. Будем рассматривать только дискретные однородные цепи с конечным числом состояний. В этом случае вместо p ij
(s) можно записать p ij
. Величину p ij называют переходной вероятностью

из состояния с номером i в состояние с номером j. Если число состояний конечно и равно k, то из чисел p ij можно построить квадратную матрицу. . . p
1k p
21
p
22
. . . p
2k p
k1
p k2
. . . p называемую матрицей перехода системы. Сумма элементов каждой строки этой матрицы равна единице, так как эта сумма совпадает с вероятностью достоверного события, те j=1
p ij
= 1 (i = 1, 2, . . . , Заметим, что схема испытаний Бернулли является частным случаем однородной цепи Маркова с двумя состояниями A
1
=
A и A
2
= A. Если при этом P (A) = p, то матрица перехода,