Л. И. Магазинников Высшая математика IV
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
2 + . . . + X n , M [X] = np, D[X] = np(1 − p). Теперь, так как n k=1 X k n = p ∗ , n k=1 m x k n = m = p, то неравенство) принимает вид P (|p ∗ − p| < ε) > 1 − δ. Отсюда и следует справедливость теоремы Бернулли. Теорема Бернулли объясняет причину устойчивости относительной частоты при большом числе испытаний и даёт теоретическое обоснование статистическому определению вероят- ности. Следствие теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события A в ом опыте равна p k , то при возрастании n относительная частота появления события A сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p Доказательство. Представим величину X — число наступлений события A в n опытах, как ив следствии 2, в виде суммы, где X k — число наступлений события A в ом опыте. В нашем случае P (X k = 1) = p k , P (X k = 0) = 1 − p k , m x k = p k , D[X k ] = p k (1 − p k ), n k=1 X k n = = p ∗ , n k=1 m x k n = n k=1 p k n . Неравенство (2.42) принимает вид P p ∗ − n k=1 p k n < ε > 1 − δ, что и утверждается в доказываемом следствии. Теорема Пуассона имеет большое значение для практических применений теории вероятностей, так как обычно при повторении опытов трудно, а иногда и невозможно соблюсти одни и те же условия опыта. Однако, как утверждает теорема Пуассона, и здесь наблюдается определённая устойчивость средних. На теореме Чебышева, её обобщениях и следствиях основан выборочный метод в математической статистике, позволяющий по сравнительно небольшому числу обследованных объектов делать достаточно надёжные выводы о всей совокупности этих объектов 3. Многомерные случайные величины. Матрица распределения двумерной случайной величины В подразделе 2.1 мы определили мерную случайную величину как функцию, сопоставляющую каждой точке пространства элементарных событий вектор из арифметического линейного пространства R n . Каждая его координата является одномерной случайной величиной. Следовательно, n-мерную случайную величину можно трактовать как систему) одномерных случайных величин. С вероятностной точки зрения, системы случайных величин, также как и одномерные величины, описываются законами распределения, те. любым соотношением, устанавливающим связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений. Пусть все случайные величины, входящие в систему, дискретны. Ограничимся двумерным случаем (X, Y ). Если = {x 1 , x 2 , . . . , x n }, Y = {y 1 , y 2 , . . . , y m }, то описать систему, Y ) можно, указав вероятности p ij = P (X = x i , Y = y j ) того, что случайная величина примет значение x i , а случайная величина Y — y j . Из чисел p ij можно составить матрицу · · x n y 1 p 11 p 21 · · · p n1 y 2 p 12 p 22 · · · p n2 y m p 1m p 2m · · · p размера (m × n), называемую матрицей распределения системы. Так как все события (X = x i , Y = y j ), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m образуют полную группу, то n i=1 m j=1 p ij = Зная матрицу (3.1) распределения системы, можно найти ряды распределения составляющих. Действительно, событие = x k ) (k — фиксировано) представимо в виде суммы m 71 несовместных событий A 1 (X = x k , Y = y 1 ), A 2 (X = x k , Y = y 2 ), . . . , A m (X = x k , Y = y m ), следовательно k = P (X = x k ) = p k1 + p k2 + . . . + p km , те. вероятность p равна сумме элементов го столбца матрицы распределения. Событие A(X = x i , Y = y j ) является произведением двух событий B(X = x i ) и C(Y = y j ). Следовательно (A) = P (B · C) = P (B) · P (C/B) = P (C) · P (B/C), те (X = x i , Y = y j ) = P (X = x i ) · P (Y = y j /X = x i ), P (X = x i , Y = y j ) = P (Y = y j ) · P (X = x i /Y = y Условная вероятность P (X = x i /Y = y j ) означает вероятность того, что случайная величина X примет значение x i , если известно, что величина Y приняла значение y Из соотношений (3.2) получаем (Y = y j /X = x i ) = P (X = x i , Y = y j ) P (X = x i ) = p ij p i , (3.3) P (X = x i /Y = y j ) = P (X = x i , Y = y j ) P (Y = y j ) = p ij Если случайные величины X и Y независимы, то (X = x i , Y = y j ) = P (X = x i ) · P (Y = y j ), те. p ij = p i · p Зная ряды распределения случайных величин и , а также условные вероятности P (Y = y j /X = x i ) или (X = x i /Y = y j ), можно найти матрицу распределения системы Пример Задана дискретная двумерная величина матрицей распределения 14 18 3 0,25 0,15 0,32 6 0,10 0,05 Найти а) ряды распределения случайных величин X и Y б) ряд распределения X, если известно, что случайная величина приняла значение 3 и ряд распределения Y , если известно, что случайная величина X приняла значение 14; в) математическое ожидание M [X], M [Y ]; г) математическое ожидание (условные математические ожидания Решение а) суммируя по столбцам, а затем по строкам элементы матрицы распределения, находим искомые ряды распределения 0,28 (а) б) ряд распределения X при Y = 3 находим, используя формулу 3) = 0,32 0,72 = 4 9 . Применяя формулу (3.3), получаем. Следовательно 10 14 18 P 25 72 5 24 4 9 , Y/X=14 3 6 P 3 4 1 4 ; (б) в) M [X] и M [Y ] находим по формуле (2.12), используя ряды (а): M [X] = 10 · 0,35 + 14 · 0,20 + 18 · 0,45 = 3,50 + 2,80 + 8,10 = = 14,40, M [Y ] = 3 · 0,72 + 6 · 0,28 = 2,16 + 1,68 = г) математические ожидания M [X/Y = 3] и M [Y /X = находим, используя ряды (б [X/Y = 3] = 250 72 + 70 24 +8 = 125 36 + 35 12 +8 = 125 + 105 + 288 36 = = 259 18 , M [Y /X = 14] = 9 4 + 6 4 = 15 4 73 3.2. Функция распределения многомерной случайной величины Пусть дана система случайных величин (X 1 , X 2 , . . . , Функция F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P (X 1 < x 1 , X 2 < x 2 , . . . , X n < x называется функцией распределения системы случайных величин- x 0 y (x, Для двумерной случайной величины (X, Y ) имеем (x, y) = p(X < x, Y < < y), те. значение функции) равновероятно- сти того, что случайная точка попадёт в левый нижний прямой угол с вершиной в точке (x, При изучении свойств функции распределения ограничимся двумерным случаем. 0 ≤ F (x, y) ≤ 1. Справедливость свойства следует из определения F (x, y). 2. Имеют место следующие соотношения x→−∞ F (x, y) = 0, lim y→−∞ F (x, y) = 0, lim x→−∞,y→−∞ F (x, y) = 0, lim x→+∞,y→+∞ F (x, y) = Первые три предела соответствуют вероятностям невозможных событий, а четвёртый — достоверного. lim y→+∞ F (x, y) = F 1 (x), lim x→+∞ F (x, y) = F 2 (y), где F 1 (x) и) — функции распределения случайных величин X и Y Действительно (x, +∞) = lim y→+∞ F (x, y) = P (X < x, Y < < +∞) = P (X < x) = F 1 (x), так как событие Y < +∞ достоверно. Функция F (x, y) является неубывающей функцией по каждому аргументу при фиксированном втором, те. F (x 2 , y) ≥ ≥ F (x 1 , y), если x 2 > x 1 , F (x, y 2 ) ≥ F (x, y 1 ), если y 2 > y 1 . Доказательство этого свойства аналогично одномерному случаю. Из определения функции распределения следует, что (x 1 ≤ X < x 2 , y 1 ≤ Y < y 2 ) = = F (x 2 , y 2 ) − F (x 2 , y 1 ) − F (x 1 , y 2 ) + F (x 1 , y 1 ). (3.5) 74 6. Если случайные величины X и Y независимы, то (x, y) = F 1 (x) · F 2 (y) и обратно, если F (x, y) = F 1 (x) · то случайные величины X и Y независимы. Доказательство . Если X и Y независимы, то события < x) и C(Y < y) независимы. Так как < x, Y < y) = B(X < x) · C(Y < то по правилу умножения вероятностей независимых событий (см. формулу (1.8)) получаем (A) = P (B)·P (C), P (X < x, Y < y) = P (X < x)·P (Y < те. F (x, y) = F 1 (x)·F 2 (y). Обратно, если F (x, y) = то из определения функции распределения следует, что (X < x, Y < y) = P (X < x) · P (Y < y), те. P (A) = = P (B) · P (Следовательно, события B и C независимы, а потому независимы и X и Y . 7. Если события B(X < x) и C(Y < y) зависимы, то либо (A) = P (B) · P (C/B), либо P (A) = P (C) · P (B/C). Обозначим F (x/y). Теперь можем записать (x, y) = F 1 (x) · F (y/x), F (x, y) = F 2 (y) · F (Функции F (y/x) и F (x/y) называют условными функциями распределения. Например, F (x/y) означает функцию распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение, меньшее y. Формулы) дают правило умножения законов распределения. Пример 1 . Задана функция распределения двумерной случайной величины (X, Y ): F (x, y) = 0, если x < 0 или y < 0, 1 − 5 −x − 5 −y + 5 −x−y , x > 0, y > Найти F 1 (x) и F 2 (y), показать, что X и Y — независимые случайные величины. Решение . По свойству 3 находим, что) = lim y→+∞ (1 − 5 −x − 5 −y + 5 −x−y ) = 1 − 5 −x , если x > и F 1 (x) = 0, если x < 0; F 2 (y) = lim x→+∞ (1 − 5 −x − 5 −y + 5 −x−y ) = 1 − 5 −y , если y > 0, F 2 (y) = 0, если y < 0. 75 Так как 1 − 5 −x − 5 −y + 5 −x−y = (1 − 5 −x )(1 − 5 −y ), те (x, y) = F 1 (x) · F 2 (y), то по свойству 6 случайные величины и Y независимы. Пример Система случайных величин (X, Y ) задана функцией распределения (x, y) = 0, если x ≤ 0 или y ≤ 0; 1, если x > π 2 , y > π 2 ; 0,5[sin x + sin y− − sin(x + y)], если 0 < x ≤ π 2 , 0 < y ≤ π 2 ; 0,5[sin x − cos x + 1], если 0 < x ≤ π 2 , y > π 2 ; 0,5[sin y − cos y + 1], если x > π 2 , 0 < y Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y , найти) и F (Пример Доказать, что функция (x, y) = 0, если x < 0 или y < 0; 1 − a −x − b −x + c −x−y , если x > 0 или y > где a > 0, b > 0, c > 0, a = b, не может быть функцией распределения некоторой системы случайных величин. Выяснить, какие из свойств функции распределения при этом не выпол- няются. Примеры 2 и 3 предлагается решить самостоятельно. Плотность распределения системы случайных величин Пусть функция распределения F (x, y) системы (X, Y непрерывна и имеет непрерывные частные производные F ′ x , F ′ y , F ′′ xy . Найдём предел, y) = lim ∆x→0,∆y→0 P (x ≤ X < x + ∆x, y ≤ Y < y + считая, что он существует. Полагая x 1 = x, x 2 = x+∆x, y 1 = y, y 2 = y + ∆y, из свойства 5 функции распределения, получаем ρ(x, y) = lim ∆x→0,∆y→0 1 ∆x∆y [F (x + ∆x, y + ∆y)− −F (x + ∆x, y)] − [F (x, y + ∆y) − F (x, y)] Без доказательства примем, что, y) = lim ∆x→0 lim ∆y→0 1 ∆x∆y [F (x + ∆x, y + ∆y)− −F (x + ∆x, y)] − [F (x, y + ∆y) − F (x, Применив к каждой из разностей в числителе формулу Лагранжа оконечных приращениях, получим, y) = lim ∆x→0 lim ∆y→0 ∂F ∂y (x + ∆x, ξ 1 ) − ∂F ∂y (x, ξ 2 ) где точки и находятся между точками y и y + ∆y. Осуществив предельный переход при ∆y → 0, найдём ρ(x, y) = lim ∆x→0 ∂F ∂y (x + ∆x, y) − ∂F ∂y (x, y) ∆x = ∂ 2 F (x, Итак, ρ(x, y) = ∂ 2 F (x, y) ∂x∂y . Функция ρ(x, y) называется плотностью распределения вероятностей системы, Y Отметим свойства плотности ρ(x, y) распределения системы, которые следуют из свойств функции F (x, y) и определения. Если ρ(x, y) непрерывна, то (x ≤ X < x + ∆x, y ≤ Y < y + ∆y) = ρ(ξ, где ξ, η — некоторая точка из окрестности точки (x, y). 3. Если ρ(x, y) непрерывна, а потому и интегрируема в области, то [(x, y) ∈ D] = (D) ρ(x, y)dxdy. (3.7) 4. Справедливо равенство (x, y) = x −∞ y −∞ ρ(x, y)dxdy. (3.8) 77 Соотношение (3.8) есть следствие равенства (3.7), если : −∞ < X < x, −∞ < Y < y. 5. Условие нормировки, y)dxdy = 1. (3.9) 6. F 1 (x) = x −∞ +∞ −∞ ρ(x, y)dy dx, F 2 (y) = y −∞ +∞ −∞ ρ(x, y)dx dy. (3.10) 7. ρ 1 (x) = +∞ −∞ ρ(x, y)dy; ρ 2 (y) = +∞ −∞ ρ(x, где ρ 1 (x) и ρ 2 (y) — плотности распределения случайных величин и Y . Соотношения (3.11) получаются дифференцированием интегралов (3.10) по верхнему пределу. Если случайные величины X и Y независимы, то ρ(x, y) = ρ 1 (x)·ρ 2 (y), и обратно, если ρ(x, y) = ρ 1 (x)·ρ 2 (y), то случайные величины X и Y независимы. Для зависимых случайных величин X и Y вводят понятие условных плотностей распределения ρ(x/y) и ρ(y/x): ρ(x/y) = ρ(x, y) ρ 2 (y) , ρ(y/x) = ρ(x, тогда, y) = ρ 1 (x) · ρ(y/x), ρ(x, y) = ρ 2 (y) · Соотношения (3.13) называют правилом умножения плотностей распределения. Подчеркнём, что ρ(y/x) означает плотность распределения случайной величины Y , если известно, что случайная величина приняла значение x. 10. Зная плотность распределения ρ(x, y) системы (X, Y можно найти закон распределения случайной величины = ϕ(X, Y ), являющейся функцией случайных величин и Y . Сначала находим функцию распределения F (z), применяя следующий прим F (z) = P (Z < z) = P (ϕ(x, y) < z) = = D ρ(x, y)dxdy, где область D состоит из тех точек плоскости, для которых справедливо неравенство ϕ(x, y) < Здесь использовалось свойство 3 плотности распределения, y). Найдя F (z), легко найти итак как ρ(z) = Простейшим примером двумерной плотности распределения является равномерное распределение, y) = c, если (x, y) ∈ D, 0, если (x, y) / ∈ По условию нормировки dxdy = 1 = c · S, где S — площадь области D. Поэтому c Пример 1 . Система случайных величин (X, Y ) задана функцией распределения (x, y) = 1 − 4 −x − 4 −y + 4 −x−y , если x ≥ 0, y ≥ 0, 0, если x < 0 или y < Найти ρ(x, Решение. Так как F (x, y) имеет непрерывные частные производные всех порядков, то ρ(x, y) = F ′′ x,y . Поэтому, y) = 4 −x−y ln 2 4, если x ≥ 0, y ≥ 0, 0, если x < 0 или y < Пример 2 . Система случайных величин (X, Y ) задана плотностью распределения вероятностей- x 0 y 1 A(1, 1) D 1 B ρ(x, y) = = c(x + y) при 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, 0, в остальных точках. Найти константу c и P (X + Y < Решение. Из условия нормировки) находим + y)dxdy = 1, где D область, ограниченная сторонами треугольника OAB, следовательно Отсюда c = 2. По формуле (3.7) P (x + y < 1) = 2 (D 1 ) (x + y)dxdy, 79 где D 1 — треугольник ODB. Поэтому P (X + Y < 1) = = 2 1/2 0 dy 1−y y (x + y)dx = 2 1/2 0 (0,5 − 2y 2 )dy = 1 Пример 3 . Двумерная случайная величина (X, Y ) задана плотностью распределения, y) = 24xy, если точка (x, y) принадлежит треугольнику с вершинами O(0, 0), A(1, 0), B(0, в остальных точках. Найти: F 1 2 , 2 , ρ 1 (x), ρ 2 (y), ρ(x/y), ρ(y/x). 6 - x 0 y B 1 D 1 A C M 1 2 , Решение. F 1 2 , 2 = = P X < 1 2 , Y < где D — трапеция OBCD. Поэтому 2 , 2 = 24 0,5 0 xdx 1−x 0 ydy = = 12 0,5 0 x(1 − x) 2 dx = = 12 x 2 2 − 2 3 x 3 + x 4 4 0,5 0 = = 12 1 8 − 1 12 + 1 64 = 11 Используя формулы (3.11) и вид функции ρ(x, y), находим) = 0, если либо x < 0, либо x > 1. Если же 0 < x < то ρ 1 (x) = 24 1−x 0 xydy = 12x(1 − x) 2 , так как при фиксированном из промежутка (0, 1) переменная y меняется от 0 до − x). При других значениях y величина ρ(x, y) = 0. Аналогично можно найти, что ρ 2 (y) = 12y(1 − y) 2 , если 0 < y < 1; ρ 2 (y) = 0 в других точках. По формулам (3.12) находим, что) = 2x (1 − y) 2 , если (x, y) внутри треугольника в остальных точках) = 2y (1 − x) 2 , если (x, y) внутри треугольника в остальных точках Пример 4 . Даны плотности распределения независимых случайных величин X и Y : ρ 1 (x) = 0,5e −0,5x , 0 ≤ x < +∞, ρ 2 (y) = 0,2e −0,2y , 0 ≤ y < +∞. Найти плотность распределения случайной величины Z = X + Y Решение. Так как случайные величины X и Y независимы, то плотность распределения системы ρ(x, y) = ρ 1 (x) · ρ 2 (y), по свойству 8. В нашем примере получаем, что ρ(x, y) = = 0,1e −0,5x−0,2y , если x ≥ 0, y ≥ 0. Для отыскания ρ(z) воспользуемся приёмом, описанным в свойстве 10 плотности распределения. Сначала находим (z) = P (Z < z) = P (X + Y < z) = D z 0,1e −0,5x−0,2y dxdy, 6 - x 0 y B(0, z) z x + y = z D z A(z, 0) z где D z — область, все точки которой лежат внутри треугольника. Поэтому F (z) = = 0,1 z 0 dx z−x 0 e −0,5x−0,2y dy = = 2 3 · e −0,5z − 5 3 · e −0,2z + Дифференцируя по z последнее соотношение, находим искомую плотность распределения ρ(z) = = (e −0,2z − e −0,5z ) · 1 3 , если z если же z < 0, то ρ(z) = 0. 3.4. Математическое ожидание от функции нескольких случайных аргументов Пусть дана случайная величина Z = ϕ(X, Y ), являющаяся функцией двух случайных аргументов X и Y Если случайные величины X и Y дискретны и известна матрица распределения, те. заданы вероятности p ij = P (X = = x i , Y = y j ), то [Z] = i,j ϕ(x i , y j )p Пусть система непрерывных величин (X, Y ) распределена в области D плоскости (O, X, Y ) с плотностью ρ(x, y). Найдём математическое ожидание случайной величины Z = ϕ(X, Y ), 81 не находя плотности распределения ρ(z). Предположим функции) и ρ(x, y) интегрируемыми по Риману. Разобьём область на n частичных областей D |