Л. И. Магазинников Высшая математика IV
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
p 1 p 2 p n , то случайная величина) будет также дискретной с рядом распределения n ) P p 1 p 2 p При этом, если среди чисел ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ), . . . , ϕ(x n ) есть одинаковые, то их следует объединить в один столбец, сложив соответствующие вероятности. По формуле (2.12), в которой надо положить x k = ϕ(x k ), из ряда распределения (2.16) получаем, что [Y ] = n k=1 ϕ(x k )p Пусть X — заданная на (a, b) случайная непрерывная величина с плотностью распределения ρ(x). Функции ρ(x) и будем предполагать интегрируемыми по Риману. Промежуток, b) разобьём на n частичных промежутков ∆x и выберем на каждом из частичных интервалов по точке ξ k . Непрерывную случайную величину Y = ϕ(X) можно приближённо представить дискретной случайной величиной ˜ Y , имеющей ряд распределения вида Число M [ ˜ Y ] = n k=1 ϕ(ξ k )ρ(ξ k )∆x можно принять в качестве приближённого значения M [Y ]. Переходя к пределу при max |∆x k | → 0, учитывая интегрируемость функции получаем [Y ] = b Если X задана на всей числовой оси, то [Y ] Один из пределов интегрирования в интеграле (2.19), если задана либо на (a, +∞), либо на (−∞, a), может быть конечным Пример 3 . Дан ряд распределения дискретной случайной величины 2 4 5 P 0,2 0,3 0,1 0,4 . Найти математическое ожидание случайной величины Y = X 2 − Решение. Полагая в формуле (2.17) ϕ(x) = x 2 − 4, находим [Y ] = (1 − 4) · 0,2 − (2 2 − 4) · 0,3 + (4 2 − 4) · 0,1 + (5 2 − 4) · 0,4 = = −0,6 + 0 + 1,2 + 8,4 = Пример 4 . Случайная величина X распределена по закону на. Найти математическое ожидание величины Y = sin Решение. Применяя формулу (2.18), получаем [Y ] = π/4 0 2 sin 2x cos 2xdx = π/4 0 sin 4xdx = = − 1 4 cos 4x π/4 0 = 1 4 + 1 4 = Отметим некоторые свойства математического ожидания. M [C] = C, C = const. Константу C можно трактовать как случайную величину X, принимающую единственное значение с вероятностью p = 1. Из формулы (2.12) следует, что [C] = C. 2. M [CX] = CM [X], C = const. Справедливость этого свойства следует из того, что константу можно выносить за знак суммы или за знак интеграла. M [X +Y ] = M [X]+M [Y ], M [α 1 X 1 +α 2 X 2 +. . .+α n X n ] = = α 1 M [X 1 ] + α 2 M [X 2 ] + . . . + α n M [X n ], α 1 , α 2 , . . . , α n — константы. Свойство будет доказано позднее. Пусть даны две случайные величины X и Y . Рассмотрим два события A(X < x) и B(Y < y). Случайные величины X и называются независимыми, если события A и B независимы, и зависимыми, если эти события зависимы. Если случайные величины X и Y независимы, то [X · Y ] = M[X] · M[Y ]. Свойство 4 будет доказано позднее. Пример 5 . Найти математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону (см. пример из подраздела 2.1). 47 Решение. Введём в рассмотрение случайную величину X k (k = 1, 2, . . . , n), определяющую число наступлений события в м опыте. Очевидно, что величина X k принимает значения или 1 с вероятностями q = 1 − p или p. Поэтому M[X k ] = Так как X = X 1 + X 2 + . . . + X n , то по свойству 3 математического ожидания M [X] = M [X 1 ] + M [X 2 ] + . . . + M [X n ] = p · n. 2.5. Мода, медиана, квантиль порядка Математическое ожидание характеризует расположение случайной величины на оси OX. Для этой же цели используются и другие числовые параметры. К таким параметрами относятся мода, медиана и квантиль порядка p. Если X дискретна, то модой M называют то её значение, которое достигается с наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной величины модой называют то её значение, в котором плотность распределения имеет максимум. Различают унимодальные и полимодальные распределения. Унимодальное распределение имеет единственный максимум, полимодальное — два и более. Пример 1 . Случайная величина R — расстояние от точки попадания до центра мишени распределена по закону Рэлея) = 2h 2 re −h 2 r 2 (r > 0). Найти моду M величины Решение. Исследуем на экстремум функцию ρ(r). Для этого находим ρ ′ (r) = (2h 2 − 4r 2 h 4 )e −h 2 r 2 , ρ ′′ (r) = 4h 2 r(2h 2 r 2 − −2 − h 2 )e −h 2 r 2 . В единственной точке r 0 = 1 √ 2h производная) = 0. Так как ρ ′′ (r) < 0, тов точке функция ρ(r) имеет максимум, следовательно, мода M Недостатком математического ожидания и моды является то, что для довольно широкого класса распределений эти характеристики не существуют. Поэтому используют и другие величины, например, квантиль порядка p. Квантилью порядка p случайной величины X называется точка η p вещественной оси, в которой функция распределения (x) переходит от значений, меньших p, к значениям, большим. Квантиль порядка 2 48 называется медианой случайной величины. Достоинства квантилей и медианы заключаются в том, что они существуют для любых случайных величин, легко могут быть измерены, обладают свойством устойчивости. Пример 2 . Дана случайная величина X, распределённая по закону Коши ρ(x) = 1 π(1 + x 2 ) , −∞ < x < +∞. Найти её квантили порядка Решение + x 2 = p, что следует из определения величины η p , те η p + π 2 = p, или arctg η p = = π p − 1 2 , следовательно, η p = tg π(p − 0,5). В частности tg π(0,75 − 0,5) = tg π 4 = 1, а медиана η 0,5 = 0, что непосредственно следует из чётности функции Заметим, что данная случайная величина не имеет математического ожидания, так как интеграл + расходится. Дисперсия случайной величины Случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, могут очень сильно различаться между собой. По этой причине следует охарактеризовать степень разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Можно было бы рассмотреть разность X − m но эта разность принимает значения различных знаков, что искажает картину разброса. Более полно характеризует разброс величина |X − m x |, но модули приводят к недифференцируе- мым функциям, усложняющим вычисления. За основу принято брать случайную величину (X − m x ) 2 , свободную от недостатков предыдущих величин. Пусть дана случайная величина X с конечным математическим ожиданием m x . Дисперсией величины X называется математическое ожидание случайной величины Y = (X − m Обозначают дисперсию D[X], D x 49 Таким образом, по определению M [(X − m Случайная величина X − m называется отклонением величины от её математического ожидания. Дисперсия представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Механически дисперсию можно интерпретировать как момент инерции масс) относительно центра тяжести (математического ожидания. Размерность дисперсии равна квадрату размерности величины. Чтобы избежать этого недостатка, вводят величину = D[X], называемую средним квадратичным отклонением, или стандартным отклонением. Если случайная величина X дискретна с рядом распределения вида k P p 1 p 2 p k , то, положив в формуле, получим = ∞ k=1 (x k − m x ) 2 p Если же величина X непрерывна и задана на (a, b) плотностью распределения ρ(x), то, применяя формулу (2.18), получаем = b a (x − m В случае распределения на всей числовой оси в интеграле (нужно перейти к пределу при a → −∞, b → +∞. Получим = +∞ −∞ (x − m Покажем, что соотношение (2.20) эквивалентно формуле = M [X 2 ] − Действительно, D[X] = M [(X −m x ) 2 ] = M [X 2 −2m x X + m 2 x ] = = M [X 2 ] − 2m x M [X] + M [m 2 x ] = M [X 2 ] − 2m 2 x + m 2 x = M [X 2 ]− − m 2 x . При этом мы воспользовались свойствами 1—3 математического ожидания (см. подраздел Пример 1 . Найти двумя способами по формуле (2.21) и по формуле (2.24) дисперсию случайной величины X, заданной рядом распределения 3 5 7 9 P 0,1 0,2 0,3 0,3 Решение. Находим m x = 0,1 + 0,6 + 1,5 + 2,1 + 0,9 = 5,2. Ряд распределения случайной величины Y = (X − m имеет вид = (X − m x ) 2 17,64 4,84 0,04 3,24 14,44 P 0,1 0,2 0,3 0,3 По формуле (2.21) получаем D x = 1,764+ 0,968+ 0,012+ 0,972+ +1,444 = Если же воспользоваться формулой (2.24), то вычисления будут несколько проще M [X 2 ] = 0,1 + 1,8 + 7,5 + 14,7 + 8,1 = = 32,2. Следовательно, D x = 32,2 − (5,2) 2 = 32,2 − 27,04 = Пример 2 . Найти дисперсию непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения ρ(x) = λ 2 e −λ|x| , λ > 0 (распределение Лапласа). Решение . Функция xρ(x) нечётна, поэтому m x = Следовательно, по формуле (2.23) D x = λ 2 +∞ −∞ x 2 e −λ|x| dx = = λ ∞ 0 x 2 e −λx dx. Интегрируя дважды по частям, получаем −x 2 e −λx | ∞ 0 + 2 ∞ 0 xe −λx dx = 2 λ xe −λx ∞ 0 + 2 λ ∞ 0 e −λx dx = = − 2 λ 2 e −λx Отметим следующие свойства дисперсии. D[C] = 0, где C = Действительно = M [(C − M[C]) 2 ] = M [(C − C) 2 ] = M (0) = 0. 2. D[CX] = Доказательство = M [(CX − M[CX]) 2 ] = M [(CX− − Cm x ) 2 ] = M [C 2 (X − m x ) 2 ] = C 2 M [(X − m x ) 2 ] = C 2 D x 3. Если величины X 1 , X 2 , . . . , X n независимы, то+ X 2 + . . . + X n ] = D[X 1 ] + D[X 2 ] + . . . + Свойство докажем позднее. Из свойств 2 и 3 следует, что+ α 2 X 2 + . . . + α n X n ] = α 2 1 D[X 1 ] + α 2 2 D[X 2 ] + . . . + +α 2 n D[X n ]. 51 Пример 3 . Найти дисперсию случайной величины X, рас- пределённой по биномиальному закону. Решение . В примере 5 из подраздела 2.4 мы представили случайную величину X в виде суммы X 1 + X 2 + . . . + X n независимых случайных величин X k , где 1 P 1 − p p . Так как [X k ] = p, то M[X k ]) 2 p 2 (1 − p) 2 P 1 − p Поэтому D[X k ] = p 2 (1 − p) + (1 − p) 2 p = (1 − p)[p 2 + + p(1 − p)] = p(1 − p) = pq. Так как случайные величины = 1, 2, . . . , n) независимы, то по свойству 3 дисперсии = n k=1 D[X k ] = np(1 − p) = npq. 2.7. Моменты случайной величины Кроме отмеченных уже числовых характеристик, применяется и ряд других, описывающих различные особенности распределения. В качестве таких характеристик применяются центральные и начальные моменты. Начальным моментом го порядка случайной величины называется число m k = M [X k ]. Для дискретной величины m k = ∞ i=1 x k i p i , а для непрерывной — m k = +∞ −∞ x Центральным моментом го порядка называется число M [(X − m x ) k ]. Для дискретных величина для непрерывных — µ k = +∞ −∞ (x − m Начальный момент совпадает с математическим ожиданием. Центральный момент для любых случайных величин равен нулю, так как µ 1 = M [(X −m x )] = M [X]−m x = Момент совпадает с дисперсией Если случайная величина распределена симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечётного порядка равны нулю. Для характеристики степени отличия распределения от симметричного берут центральный момент третьего порядка Величину S k = µ 3 σ 3 , где σ = √ D x — среднее квадратичное отклонение, называют коэффициентом асимметрии, или коэффициентом скошенности Важнейшим для приложений является нормальное распределение. Для нормального распределения. Рассматривают величину E x = µ 4 σ 4 − 3, называемую эксцессом случайной величины, или коэффициентом островершинности . Эксцесс характеризует степень отличия распределения от нормального. Центральные и начальные моменты m и µ k легко выразить друг через друга. Например m 3 − 3m 1 m 2 + 2m 3 1 , µ 4 = m 4 − 4m 1 m 3 + 6m 2 m 2 1 − 3m 4 1 2.8. Характеристические функции В теории вероятностей широко используется частный случай функций от случайной величины, позволяющий применять для решения многих вероятностных задач теорию преобразований Фурье, хорошо разработанную в математическом анализе. Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание величины Z = e itX , где t — вещественный параметр, i — мнимая единица. Обозначать характеристическую функцию будем g(t) или g x (t). Если X дискретная случайная величина, то g x (t) = ∞ k=1 p k e itx где p k = P (X = x k ) (см. (2.17)). Если же X непрерывна с плотностью распределения ρ(x), то g x (t) = ∞ −∞ ρ(x)e itx см. формулу (Как видим, характеристическая функция есть преобразование Фурье плотности распределения. Зная характеристическую функцию g x (t), обратным преобразованием Фурье можно найти плотность распределения ρ(x) = 1 2π ∞ −∞ e −itx g x (t)dt. Характеристическую функцию можно трактовать как ещё одну из форм закона распределения. Для упрощения вычислений часто рассматривают также функцию ϕ(t) = ln g x (t), называемую кумулянтной функцией. Пример 1 . Найти характеристическую и кумулянтную функции случайной величины X, распределённой по закону Пуассона: P T (X = m) = (λT ) m см. формулу (Решение. По формуле (2.25) находим g(t) = ∞ m=0 e itm P T (X = m) = ∞ m=0 e itm (λT ) m m! e −λT = = e −λT ∞ m=0 (λT e it ) m m! = e −λT e λT e it = e λT (e Итак, g(t) = e λT (e it −1) , ϕ(t) = λT (e it − Пример 2 . Найти характеристическую и кумулянтную функции случайной величины, распределённой по нормальному закону ρ(x) = 1 σ √ 2π exp − (x − a) 2 Решение. По формуле (2.26) находим g(t) = 1 σ √ 2π +∞ −∞ exp − (x − a) 2 2σ 2 e itx dx = = 1 σ √ 2π +∞ −∞ exp − (x − a) 2 2σ 2 + itx dx = = 1 σ √ 2π +∞ −∞ exp − x 2 − 2ax + a 2 − 2σ 2 itx 2σ 2 dx = = 1 σ √ 2π +∞ −∞ exp − [x − (a + σ 2 it)] 2 + (σ 4 t 2 − 2aσ 2 it) 2σ 2 dx = = 1 √ 2π exp iat − σ 2 t 2 2 × 54 × +∞ −∞ exp − x − (a + σ 2 it) √ 2σ 2 d x − (a + σ 2 it) √ 2σ = = exp iat − σ 2 t 2 учтено, что Таким образом, g(t) = exp iat − σ 2 t 2 2 , ϕ(t) = iat − σ 2 t 2 Отметим следующие свойства характеристической функции. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей числовой оси и удовлетворяет соотношениям g(0) = 1, |g(t)| То, что функция g(t) равномерно непрерывна, примем без доказательства. Проверим справедливость соотношений (2.27): g(0) = +∞ −∞ ρ(x)dx = 1, |g(t)| ≤ +∞ −∞ ρ(x)|e itx |dx = = +∞ −∞ ρ(x)dx = 1. 2. Если Y = aX + b, где a и b — постоянные величины, то g y (t) = g x (at)e ibt , ϕ y (t) = ibt + Доказательство y (t) = M [e itY ] = M e it(aX+b) = M e itb · e itaX = = e itb M e i(at)X = e itb g x (at). Второе соотношение в (2.28) получается логарифмированием первого. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, те. если Z = X + Y , аи независимы, то g z (t) = g x (t)g Доказательство. g z (t) = M e it(X+Y ) = M e itX · e itY . Так как X и Y независимы, то независимы и величины e и e itY . По свойству 4 математического ожидания (см. подраздел) от произведения независимых величин получаем g z (t) = = M e itX · M e itY = g x (t) · g y (t). Свойство 3 легко распространяется на любое число попарно независимых случайных величин Логарифмируя соотношение (2.29), получим ϕ z (t) = ϕ x (t)+ +ϕ y (t), те. при сложении независимых случайных величин их кумулянтные функции складываются. Если существует конечное математическое ожидание [|X| k ], то характеристическая функция g x (t) дифференцируема рази при этом g (k) x (0) = i k M Справедливость свойства 4 примем без доказательства. Из формулы (2.30) следует простое правило вычисления начальных моментов m k = M [X k ] = (−i) k g (k) x (0). В частности x = −ig ′ x (0). Так как M [X 2 ] = −g ′′ x (0), то по формуле (получаем D x = −g ′′ x (0) + [g ′ x (0)] 2 . Математическое ожидание и дисперсия просто выражаются через производные кумулянтной функции x = −iϕ ′ (0), D x = Величины i k ϕ k (0) называются кумулянтами го порядка. Из свойства 3 следует, что при сложении независимых случайных величин их кумулянты складываются. Пример 3 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределённой по закону Пуассона) = (λT ) m Решение. В примере 1 мы нашли кумулянтную функцию закона Пуассона. ϕ(t) = λT (e it − 1). Так как ϕ ′ (t) = iλT e it , ϕ ′′ (t) = i 2 λT e it , то из формул (2.31) следует, что M [X] = λT , D[X] = λT Пример 4 . Пусть даны две независимые случайные величины и Y , распределённые по закону Пуассона с параметрами λ 1 и λ 2 . Найти закон распределения их суммы. Решение . Находим кумулянтную функцию случайной величины, те. случайная величина Z также распределена по закону Пуассона с параметром λ 1 + λ 2 56 2.9. Равномерное распределение Распределение вероятностей случайной величины X называется равномерным, если на множестве, которому принадлежат всевозможные значения X, плотность распределения по- стоянна. Пусть все значения непрерывной случайной величины заполняют промежуток (a, b), причём ρ(x) = C (const) на (a, Так как X не имеет значений вне (a, b), то ρ(x) = 0 вне этого интервала. Поскольку b |