Л. И. Магазинников Высшая математика IV

• Название: Л. И. Магазинников Высшая математика IV
• Дата: 04.03.2018
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: ver-st1 (1).pdf
• Тип: Документы; #37694
• страница: 4 из 10

очевидно, имеет вид p 1 − p p 1 − что следует из определения схемы Бернулли.
Обозначим за P
ij
(n) вероятность того, что в результате n испытаний система перейдёт из состояния i в состояние j. Заметим, что P
ij
(1) = p ij
. Для вычисления величин P
ij
(n) рассмотрим следующие события A система за n шагов перейдёт изначального состояния i в состояние j}; B
r
(r = 1, 2, . . . , k) гипотезы за m шагов система из состояния i перейдёт в промежуточное состояние r}. Ясно, что P (A/B
r
) = P
rj
(n − m). По формуле полной вероятности (1.12) имеем (A) =
k r=1
P (B
r
)P (A/B
r
), или) =
k r=1
P
ir
(m)P
rj
(n − Эту формулу называют равенством Маркова.
33

Зная переходные вероятности p ij
= P
ij
(1), можно найти вероятности) перехода системы из состояния i в состояние j за два шага. Для этого в равенстве (1.19) положим n = 2,
m = 1. Получим) =
k r=1
P
ir
(1)P
rj
(2 − 1), или) =
k r=1
p ir По формуле (1.20) можно найти все элементы матрицы P =
= [P
ij
(2)], причём P
2
= P
1
P
1
= P
2 1
. Положив в (1.19) n = 3,
m = 2, получим [P
ij
(3)] = P
1
· P
2
= P
3 1
. В общем случае = P
n
= Пример Дана матрица перехода P
1
=
0,2 0,8 0,3 0,7
. Найти матрицу [P
ij
(2)] = P
2
Решение.
По формуле (1.21) при n = 2 получаем 0,8 0,3 0,7
·
0,2 0,8 0,3 0,7
=
=
0,2 · 0,2 + 0,8 · 0,3 0,2 · 0,8 + 0,8 · 0,7 0,3 · 0,2 + 0,7 · 0,3 0,3 · 0,8 + 0,7 · 0,7
=
=
0,04 + 0,24 0,16 + 0,56 0,06 + 0,21 0,24 + 0,49
=
0,28 0,72 0,27 Пример Доказать, что в случае цепи Маркова, определяемой схемой Бернулли, P
n
= P
n
1
= P
1
Решение.
Справедливость этого равенства следует из определения схемы Бернулли, и из того, что p 1 − p p 1 − p
2
=
p 1 − p p 1 − p
34

2. Одномерные случайные величины. Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины
Пусть для некоторого случайного эксперимента построено пространство элементарных событий Ω. Случайной величиной называется функция ξ(ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями вили. Множество значений ξ(ω) называют множеством значений случайной ве- личины.
При этом случайная величина называется одномерной, если множество её значений есть подмножество вещественных чисел. Если же область значений входит в R
n
, то случайная величина называется мерной. В последнем случае каждой точке пространства элементарных событий сопоставляется мерный вектор, называемый случайным вектором.
Если множество значений случайной величины конечно или счётно, то такая величина называется дискретной. Среди случайных величин, множество значений которых несчётно, наиболее важен подкласс величин, называемых непрерывными.
Понятие непрерывных случайных величин уточним позднее.
Примеры случайных величин число вызовов за 1 час на станции скорой помощи, продолжительность времени между двумя соседними вызовами, время безотказной работы радиолампы, количество успехов в серии из n испытаний по схеме
Бернулли и др.
С помощью случайных величин удаётся изучение случайных событий сводить к изучению числовых множеств и их отображений, что позволяет использовать в теории вероятностей хорошо разработанный аппарат математического анализа.
В этом и заключается основная цель введения случайной ве- личины.
Случайные величины будем обозначать большими буквами, Y, Z, . . ., а их значения малыми x, y, z, . . Значения случайной величины, как правило, неравноправны, они различаются вероятностями их наступления. Например, производится серия из 100 испытаний по схеме Бернулли

с вероятностью успеха p = 0,8. Возникает случайная величина — число успехов. Её область значений (0,1,. . . ,100). Ясно, что крайние значения 0 или 100 очень маловероятны. Для полной характеристики случайной величины нужно указать не только её область значений, но и вероятности этих значений.
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения представляет собой некоторую функцию, заданную на множестве значений случайной величины со значениями вили сложную функцию на пространстве элементарных событий. Как и всякая функция закон распределения может быть задана) аналитически, б) графически,
в) таблично.
Остановимся более подробно на одномерной дискретной случайной величине. В этом случае наиболее удобен табличный способ задания закона распределения, водной строке таблицы указывают значения случайной величины, а в другой вероятности этих значений x
1
x
2
x n
p p
1
p
2
p где p i
= P (X = x i
). Эту таблицу называют рядом распределения. Так как событие случайная величина X примет одно из значений x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . .} достоверно, то p
1
+ p
2
+ . . .
. . . + p n
+ . . . =
∞
i=1
p i
= 1 (условие нормировки).
Пример 1
. Произведено два независимых выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна, а при втором — 0,8. Найти ряд распределения случайной величины X — число попаданий в мишень.
Решение
. Случайная величина X может принять значения. Найдём вероятности этих значений. Используя правила умножения и сложения вероятностей, получаем P (X = 0) =
= 0,4 · 0,2 = 0,08 (два промаха с вероятностями 1 − 0,6 = 0,4 и − 0,8 = 0,2); P (X = 1) = 0,6 · 0,2 + 0,4 · 0,8 = 0,12 + 0,32 =
= 0,44 (попадание при первом выстреле и промах при втором и наоборот P (X = 2) = 0,8 · 0,6 = 0,48 (попадание при первом

и втором выстрелах. Записываем ряд распределения 1
2
p
0,08 0,44 Пример 2
. Производится n опытов по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Пусть X — число успехов. Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,. . . ,n}. Вероятности этих значений можно найти по формуле (1.14). Ряд распределения имеет вид 1
m n
p
(1 − p)
n np(1 − p)
n−1
C
m n
p m
(1 − p)
n−m Эту таблицу называют распределением Бернулли, или биномиальным распределением.
Пример 3
. Пусть производятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. X — число испытаний до первого успеха. Найти самостоятельно ряд распределения Ответ 2
3 4
k p
p qp q
2
p q
3
p Закон распределения, описываемый этой таблицей, называется геометрическим распределением (вероятности образуют геометрическую прогрессию. Функция распределения одномерной случайной величины и её свойства
Ряд распределения невозможно составить для случайных величин, область значений которых несчётна. Для характеристики таких величин указывают невероятности отдельных значений (что сделать невозможно, а вероятности попадания этих значений в некоторые области. Одним из таких способов описания закона распределения и является функция распределения.
Пусть дана одномерная случайная величина X. Функция (x), определяемая равенством F (x) = P (X < x), указывающая вероятность попадания значений случайной величины в область (−∞, x) вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины X.
37

Рассмотрим свойства функции распределения. F (x) определена на всей числовой оси (независимо от области значений X).
2. 0 ≤ F (x) ≤ 1. Следует из определения F (x).
3. F (−∞) = 0, F (+∞) = 1, так как событие X < +∞ достоверно, а событие X < −∞ невозможно. Если значения случайной величины распределены на (a, b), то F (a) = 0, F (b) = 1.
4. F (x) есть неубывающая функция, те. если x
2
> x
1
, то (x
2
) ≥ F (Для доказательства этого свойства рассмотрим три события. Очевидно, что = A + B. Так как события A и B несовместны, то P (C) =
= P (A) + P (B), те. P (X < x
2
) = P (X < x
1
) + P (x
1
≤ X < следовательно (x
2
) = F (x
1
) + P (x
1
≤ X < Поскольку P (x
1
≤ X < x
2
) ≥ 0, то отсюда следует, что F (x
2
) ≥
F (x
1
). Свойство 4 доказано. Из соотношения (2.1) получаем (x
1
≤ X < x
2
) = F (x
2
) − F (Пользуясь формулой (2.2), находят вероятность попадания значений случайной величины на любой промежуток.
Полагая в (2.2) x
2
= x
1
+ ∆x, получаем (x
1
≤ X < x
1
+ ∆x) = F (x
1
+ ∆x) − F (Если функция F (x) непрерывна в точке x
1
, то переходя в формуле) к пределу при ∆x → 0, получаем, что P (X = x
1
) = те. вероятность принять какое-либо заранее фиксированное значение равна нулю. Под непрерывными случайными величинами будем понимать те, для которых функция F (x) непрерывна. Для непрерывных случайных величин равенство нулю вероятности не означает невозможности события. Ведь в результате опыта случайная величина примет какое-то значение,
хотя до опыта вероятность этого равна нулю. Функция F (x) непрерывна слева в каждой точке x
0
, т.е.
существует F (x
0
), и F (x
0
) =
lim x→x
0
,x0
F (x).
6. При любом существует lim x→x
0
,x0
F (x), равный (X Свойства 5 и 6 примем без доказательства

Как видим, функция распределения может иметь разрывы только первого рода (скачки, причём в силу монотонности (x) и неравенства 0 ≤ F (x) ≤ 1 таких разрывов счётное или конечное множество.
Всякая функция F (x), удовлетворяющая перечисленным свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.
Пример 1
. Случайная величина X задана функцией распределения) при x ≤ 2,
0,5x − 1 при 2 < x при x > Найти а) P (X < 2,5); б) P (2,4 ≤ X < 3,2); в) P (1 ≤ X < г) P (3 < X < Решение а) P (X < 2,5) = F (2,5) = 0,5 · 2,5 − 1 = б) по формуле (2.2) находим P (2,4 ≤ X < 3,2) = F (3,2)−
−F (2,4) = 0,5 · 3,2 − 1 − 0,5 · 2,4 + 1 = в) P (1 ≤ X < 3) = F (3) − F (1) = 0,5 · 3 − 1 − 0 = г) P (3 < X < 5) = F (5) − F (3) = 1 − 0,5 · 3 + 1 = Отряда распределения дискретной случайной величины x
x
1
x
2
x n
p p
1
p
2
p можно перейти к функции распределения, пользуясь соотношением где η(x − x i
) =
0, если x ≤ x i
,
1, если x > x Из (2.4) следует, что функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой со скачками в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, равными вероятностям этих значений.
Пример 2
. Найти функцию распределения дискретной случайной величины X по заданному ряду распределения 3
4 5
p
0,3 0,4 0,2 0,1 39

Решение. Применяя формулу (2.4), получаем (x) если x ≤ 2,
0,3, если 2 < x ≤ 3,
0,7, если 3 < x ≤ 4,
0,9, если 4 < x если x > График F (x) имеет вид 4
3 2
x
0.3 0.7 0.9 1
F (x)
2.3. Плотность распределения одномерной случайной величины
Случайная величина X называется абсолютно непрерывной в точке x, если её функция распределения F (x) дифференци- руема.
Полагая в выражении (2.3) x
1
= x, можем записать (x ≤ X < x + ∆x) = F (x + ∆x) − F (Поделим обе части этого равенства на ∆x и перейдём к пределу при ∆x → 0:
lim
∆x→0
P (x ≤ X < x + ∆x)
∆x
= lim
∆x→0
F (x + ∆x) − F (Предел lim
∆x→0
P (x ≤ X < x + ∆x)
∆x
, если он существует иконе- чен, называется плотностью распределения случайной величины и обозначается ρ(x), те) = lim
∆x→0
P (x ≤ X < x + ∆x)
∆x
(2.6)
40

Как следует из соотношения (2.5), если случайная величина абсолютно непрерывна, то плотность распределения существует и при этом) = Отметим свойства функции ρ(x).
1. ρ(x) ≥ 0 как производная от неубывающей функции. Справедлива формула (a ≤ X < b) =
b Действительно, из формулы (2.7) следует, что функция (x) является первообразной для функции ρ(x), а потому b
a
ρ(x)dx = F (b) − F (a), но из (2.2) при x
1
= a, x
2
= b получаем, что F (b) − F (a) = P (a ≤ X < b), и формула (доказана = 1 (условие нормировки. Этот интеграл определяет вероятность достоверного события < X < +∞}.
4. Функции F (x) и ρ(x) связаны соотношением (x) Действительно, по определению F (x) имеем, что (x) = P (−∞ < X < а из формулы (2.8) при a = −∞, b = x следует, что (−∞ < X < x) =
x
−∞
ρ(x)dx = F (и свойство 4 доказано. C точностью до бесконечно малых выше первого порядка малости относительно ∆x, имеет место P (x ≤ X < x + ∆x) ∼
=
∼
= ρ(x)∆x. Справедливость этого свойства следует из выражения (Пример 1
. Случайная величина X задана плотностью распределения вида ρ(x) если x < 0,
ax + 1, если 0 ≤ x < если x Найти значение параметра a и вычислить P (0,5 ≤ X < 1).
41

Решение. Из условия нормировки следует, что 0
(ax+
+1)dx = 1. Отсюда 2
ax
2
+ x
2 0
= 1, те. 2a + 2 = 1, следовательно. По формуле (2.8) находим P (0,5 ≤ X < 1) =
=
1 0,5
(1 − 0,5x)dx = (x − 0,25x
2
)|
1 0,5
= 1 − 0,25 − 0,5 + 0,0625 =
= По известной плотности распределения ρ(x) легко восстановить функцию распределения F (x), пользуясь соотношением
(2.9).
Пример 2
. Дана плотность распределения случайной величины, если 0 ≤ x ≤
π
3
,
0 в остальных точках.
Найти F (Решение. Если x ≤ 0, то ρ(x) = 0, поэтому F (x) =
=
x
−∞
0 dx = 0. При 0 < x по формуле (2.9) получаем (x) =
0
−∞
0 dx +
x
0 1,5 sin 3xdx = −0,5 cos 3x|
x
0
= 0,5(1−
− cos Если x >
π
3
, то F (x) =
x
−∞
0 dx +
π/3 0
1,5 sin 3xdx +
x
π/3 0 dx =
= −0,5 cos 3x|
π/3 0
= 0,5 + 0,5 = 1. Таким образом (x) если x ≤ 0,
0,5(1 − cos 3x), если 0 < x если x Позднее мы будем изучать случайные величины, задаваемые плотностью распределения частного вида:
а) ρ(x) = c, a < x < b, c = const равномерное распределение;
б) ρ(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − a)
2 2σ
2
, a = const, σ = const нормальное распределение;
в) ρ(x) при x < 0,
λe
−λx
, при x ≥ 0,
λ = const, λ > 0 показательное распределение

2.4. Математическое ожидание случайной величины
Функция распределения F (x) и плотность ρ(x) дают полную исчерпывающую характеристику случайной величине Однако эти функции не всегда известны, да и во многих задачах они ненужны. На практике часто применяются менее подробные данные о случайной величине, но характеризующие более наглядно ту или иную особенность закона распределения, например, некоторое среднее значение, вокруг которого группируются все остальные значения случайной величины, какое-либо число, характеризующее степень разбросанности значений относительно среднего значения и т.д. Эти характеристики, как правило, представляют собой некоторые числовые параметры, назначение которых выразить в сжатой форме наиболее существенные свойства закона распределения. Такие параметры называют числовыми характеристиками случайной величины. Наиболее важной среди них и является понятие математического ожидания. К его изучению мы и приступаем.
Пусть задана некоторая дискретная случайная величина своим рядом распределения n
P
p
1
p
2
p Составим числовой ряд k
p Если ряд (2.10) сходится абсолютно, то его сумма называется математическим ожиданием случайной величины Математическое ожидание обозначают одним из символов [X], m x
, < X >, ¯
X. По определению [X] =
∞
k=1
x k
p Если число значений случайной величины конечно и равно то ряд (2.11) заменяется конечной суммой [X] =
n k=1
x k
p k
(2.12)
43

Так как вероятность p близка к относительной частоте события, то и математическое ожидание близко к среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Если считать, что на оси OX в точках x k
, (k = 1, 2, . . . , помещены точечные массы p k
, причём p
1
+ p
2
+ . . . + p n
= 1, то [x] = p
1
x
1
+ p
2
x
2
+ . . . + p n
x совпадает с центром тяжести этой системы материальных точек.
Пример 1
. Дан ряд распределения дискретной случайной величины 10 15 20 25 30
P
0,24 0,36 0,20 0,15 0,03 0,02
. Найти её математическое ожидание M Решение. По формуле (2.12) находим M [X] = 5 · 0,24+
+ 10 · 0,36+ +15 · 0,20 + 20 · 0,15 + 25 · 0,03 + 30 · 0,02 = Пусть на участке (a, b) задана непрерывная случайная величина с плотностью распределения ρ(x). Функцию ρ(x) будем считать интегрируемой по Риману. Разобьём участок (a, на n частичных промежутков ∆x k
, на каждом из них выберем по точке ξ
k и построим дискретную случайную величину ˜
X с рядом распределения n
Найдём её математическое ожидание [ ˜
X] =
n k=1
ξ
k
ρ(ξ
k
)∆x Величину M [ ˜
X] можно считать приближённым значением математического ожидания случайной величины X. Переходя в) к пределу при max ∆x k
→ 0 (k → ∞) и учитывая, что выражение (2.13) есть интегральная сумма Римана для функции, получаем, что правая часть в (2.13) стремится к b
a xρ(x)dx. Эту величину и принимают за математическое ожидание. Таким образом [X] =
b a
xρ(x)dx.
(2.14)
44

Если величина X распределена на всей числовой оси, то переходя к пределу в интеграле (2.14) при a → −∞ и b → +получаем [X] один из пределов в последнем интеграле может быть конечным. При этом предполагается, что несобственный интеграл) сходится. Если же он расходится, то случайная величина математического ожидания не имеет.
Пример 2
. Найти математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность распределения видав интервале, вне интервала (0, Решение. По формуле (2.15) при a = 0, b = 3 находим [X] =
3 0
2 9
x
2
dx =
2 9
x
3 3
3 0
= Пример 3
. Найти математическое ожидание показательного распределения ρ(x) при x < 0,
λe
−λx
, при x ≥ 0, λ > Решение [x] = λ
∞
0
xe
−λx dx







x = u, dv = e
−λx dx v = −
1
λ
e
−λx du = dx







=
= λ −x
1
λ
e
−λx
∞
0
+
1
λ
∞
0
e
−λx dx =
= λ При изучении случайных величин иногда их непосредственное наблюдение очень сложно или невозможно. Часто такие величины удаётся выразить через другие, более доступные для изучения. В таких случаях получают случайные величины, являющиеся функциями одного или нескольких случайных аргументов, Если случайная величина X дискретна и задана рядом

распределения n
P