Л. И. Магазинников Высшая математика IV
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
a ρ(x)dx = 1, то b a Cdx = C(b − a) = Отсюда C = 1 b − a . Таким образом) при x ≤ a, 1 b − a при a < x < при x > b. Найдём функцию распределения F (x) = x −∞ ρ(x)dx: 1) F (x) = x −∞ 0 dx, если x ≤ a; 2) F (x) = a −∞ 0 dx + x a dx b − a = x − a b − a , если a < x ≤ b; 3) F (x) = a −∞ 0 dx + b a 1 b − a dx + x b 0 dx = 1, если x Итак, F (x) если x ≤ a, x − a b − если a < x если x > Графики ρ(x) и F (x) равномерного распределения имеют вид, изображённый на рисунках 6 0 1 b − a ρ(x) a b x 0 a b x 1 F (x) 57 Найдём M [X], D[X] и σ[X] равномерного распределения [X] = b a xdx b − a = 1 b − a · x 2 2 b a = b 2 − a 2 2(b − a) = a + b 2 . Для отыскания дисперсии вычислим M [X 2 ]: M [X 2 ] = b a x 2 dx b − a = b 3 − a 3 3(b − a) = b 2 + ab + a 2 3 ; D[X] = M [X 2 ] − m 2 x = b 2 + ab + a 2 3 − (a + b) 2 4 = = b 2 − 2ab + a 2 12 = (b − a) 2 12 , σ[X] = b − a 2 √ 3 2.10. Показательное распределение, гамма-распределение Показательным или экспоненциальным называют закон распределения, описываемый плотностью распределения вида) = λe −λx при x при x < 0, λ > Примером случайной величины, распределённой по показательному закону, является длительность промежутка времени между двумя последовательными событиями пуассоновского потока. Найдём числовые характеристики показательного распределения. Математическое ожидание M [X] найдено в примере подраздела 2.4. Для вычисления центральных моментов получим рекуррентное соотношение λ +∞ 0 x − 1 λ k e −λx dx = = − x − 1 λ k e −λx +∞ 0 + k +∞ 0 x − 1 λ k−1 e −λx dx. Отсюда следует, что µ k = (−1) k λ k + k λ µ k−1 (2.32) Так как для любых распределений µ 0 = 1, µ 1 = 0, то из (следует µ 2 = D[X] = 1 λ 2 , те. σ = √ D x = 1 λ = m x 58 Как видим, для показательного распределения среднее квадратичное отклонение совпадает с математическим ожиданием. Это свойство используется при экспериментальном изучении случайных величин как основание считать величину рас- пределённой по показательному закону. Далее из (2.32) находим µ 3 = − 1 λ 3 + 3 λ 3 = 2 λ 3 , S k = 2, µ 4 = 9 λ 4 , E x = Показательное распределение широко используется в теории массового обслуживания, теории надёжности ив других вопросах. Обобщением показательного распределения является гамма-распределение (Γ-распределение), задаваемое плотностью вида) = λ α x α−1 Γ(α) e −λx , если x если x < где α > 0, λ > 0, а Γ(α) = ∞ 0 x α−1 e −x dx — функция (эйлеров интеграл второго рода. При α = 1 гамма-распределение совпадает с показательным. Выполнив несложные вычисления, можно найти числовые характеристики распределения (2.33): M [X] = α λ , D[X] = α λ 2 . В частном случае, когда α = k цело- численно, распределение называют распределением Эрлан- га. Оно может быть интерпретировано как распределение длительности промежутка между первыми) наступлением события A пуассоновского потока. Нормальное распределение. Числовые характеристики нормального распределения Непрерывная случайная величина X называется нормальной, если её плотность распределения имеет вид) = 1 σ √ 2π exp − (x − a) 2 2σ 2 (2.34) 59 Распределение (2.34) будем также называть нормальным. Нормальное распределение определяется двумя параметрами и σ. Кратко этот закон распределения будем записывать (a, В подразделе 2.7 мы нашли кумулянтную функцию нормального распределения ϕ(t) = iat − σ 2 t 2 2 . Так как ϕ ′ (t) = = ia − σ 2 t, ϕ ′′ (t) = −σ 2 , то используя формулы (2.31), получаем. Отсюда следует смысл параметров a и σ: a — математическое ожидание, σ — среднее квадратичное от- клонение. Нормальное распределение симметрично относительно прямой, поэтому все центральные моменты нечёт- ного порядка равны нулю. Для вычисления эксцесса найдём центральный момент µ 4 . По определению µ 4 = 1 σ √ 2π +∞ −∞ (x− − a) 4 exp − (x − a) 2 2σ 2 dx. Этот интеграл вычислим по частям, положив u = (x − a) 3 , du = 3(x − a) 2 dx, dv = (x − a) exp − (x − a) 2 2σ 2 dx, v = −σ 2 exp − (x − a) 2 Следовательно, µ 4 = − σ 2 σ √ 2π (x − a) 3 exp − (x − a) 2 2σ 2 +∞ −∞ + +3σ 2 1 σ √ 2π +∞ −∞ (x − a) 2 exp − (x − a) 2 2σ 2 dx. Первое слагаемое за счёт показательной функции обращается в нуль, а второе равно 3σ 2 D[X]. Поэтому µ 4 = 3σ 4 , следовательно 3 = Если a и σ произвольны, то нормальное распределение называют общим. Если a = 0, σ = 1, то нормальное распределение называют нормированным. От общего нормального распределения к нормированному можно перейти заменой u = x − a σ 60 Так как M [u] = 0, σ[u] = 1, то ρ(u) = 1 √ 2π exp − u 2 2 . Для функции ρ(u) составлены подробные таблицы. Функция F (x) = x −∞ exp − (z − a) 2 является функцией распределения для нормальной величины. Если a = 0, σ = 1, то F 0 (x) = 1 √ 2π x −∞ exp − z 2 2 dz. Если в интеграле (2.35) сделать замену u = z − a σ , то получим, что (x) = F 0 x − a σ . Функция F 0 (x) табулирована. График нормального распределения График функции ρ(x) = 1 σ √ 2π exp − (x − a) 2 называют нормальной кривой. Так как lim x→±∞ ρ(x) = 0, то ось OX является горизонтальной асимптотой. Кривая симметрична относительно прямой x = a. 61 Находим) = − x − a σ 3 √ 2π exp − (x − a) 2 2σ 2 , ρ ′′ (x) = − 1 σ 3 √ 2π 1 − (x − a) 2 σ 2 exp − (x − a) 2 Отсюда следует, что функция ρ(x) имеет единственную точку экстремума x = a, в которой принимает наибольшее значение) = 1 σ √ 2π . В точках x 1,2 = a ± σ кривая имеет перегиб. При увеличении параметра a график ρ(x) сдвигается вправо. Изменение параметра σ ведёт к изменению формы кривой. Чем меньше σ, тем кривая круче. При увеличении σ кривая всё более распрямляется и становится более пологой. Вычисление P (α < X < β) и P (|X − a| < для нормальной величины. Правило трёх сигм По формуле (2.8) находим (α < X < β) = 1 σ √ 2π β α exp − (x − a) 2 Данный интеграл в элементарных функциях не выражается. Его вычисление сводят к табулированной функции Лапласа путём замены z = x − a σ , x = σz + a, dx = σdz. Осуществив в интеграле (2.36) эту замену, получим P (α < X < β) = 1 √ 2π (β−a)/σ (α−a)/σ exp − z 2 Отсюда и из свойств определённого интеграла следует, что (α < X < β) = Φ β − a σ − Φ α − Заметим, что Φ(−x) = −Φ(x), те. функция Лапласа нечётна. Пример 1 . Дана случайная величина N (1; Найти P (2 < X < Решение. По формуле (2.37) при α = 2, β = 3, a = 1, σ = получаем P (2 < X < 3) = Φ(1) − Φ(0,5). По таблице для функции Лапласа (приложение C) находим Φ(0,5) = 0,1915, Φ(1) = 0,3413. P (2 < X < 3) = 0,3413 − 0,1915 = Пусть δ > 0 — произвольное число. Вычислим вероятность (|X − a| < δ) того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую Так как P (|X − a| < δ) = P (a − δ < X < a + δ), то по формуле) при α = a − δ, β = a + δ получаем (|X − a| < δ) = Φ δ σ − Φ − δ σ = Пусть δ = 3σ. Тогда из (2.38) следует, что (|X − a| < 3σ) = 2Φ(3) = 2 · 0,49865 = те. событие |X − a| < 3σ почти достоверно. Таким образом, вероятность того, что нормальная случайная величина примет значения вне интервала (a − 3σ, a + равна всего 0,0027. Такое событие можно практически считать невозможным. В этом и заключается правило трёх сигм, часто применяемое на практике для доказательства нормальности эмпирических случайных величин. Линейное преобразование нормальной случайной величины. Композиция нормальных законов распределения. Центральная предельная теорема Пусть X — нормальная случайная величина N (a, σ 2 ). Покажем, что величина Z = αX + β, где α и β константы, также нормальна и найдём её параметры. По второй формуле из) кумулянтная функция величины Z может быть записана в виде ϕ z (t) = itβ +ϕ x (αt). Так как ϕ x (αt) = iaαt− σ 2 (α 2 t 2 ) 2 , то) = it(aα+β)− α 2 σ 2 t 2 2 . Отсюда и из того, что характеристическая, а также кумулянтная функции однозначно определяют плотность распределения, следует, что величина Z = αX + распределена нормально с законом N (αa + β, α 2 σ 2 ). Как видим, при линейном преобразовании нормальной величины она остаётся нормальной, при этом изменяется как расположение, так и форма нормальной кривой Пусть даны две независимые нормальные случайные величины и Y с параметрами (a 1 , σ 2 1 ) и (a 2 , σ 2 2 ) соответственно. Запишем их кумулянтные функции ϕ x (t) = ia 1 t − σ 2 1 t 2 2 , ϕ y (t) = ia 2 t − σ 2 2 t 2 2 . Для случайной величины Z = X + кумулянтную функцию можно получить сложением функций) и ϕ y (t). Следовательно, ϕ z (t) = i(a 1 + a 2 )t − (σ 2 1 + σ 2 2 )t 2 Отсюда следует, что величина Z также нормальна, причём M [Z] = a 1 + a 2 , σ[Z] = σ 2 1 + σ 2 Легко показать, что сумма любого числа нормальных величин приводит к нормальной же величине. Как показано А.М. Ляпуновым, нормальный закон возникает во всех случаях, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин (необязательно нормальных, каждая из которых в отдельности незначительно влияет на сумму. Этим объясняется широкое распространение в природе нормального распределения. Теоремы, выясняющие условия, которые приводят к нормальному, закону, называют центральными предельными теоремами. Мы познакомимся с одной простейшей формой предельной теоремы, относящейся к одинаково распределённым величинам. Теорема. Если X 1 , X 2 , . . . , X n независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ 2 < ∞, то при неограниченном увеличении n закон распределения величины+ X 2 + . . . + X n − неограниченно приближается к нормальному закону. Доказательство . Так как величины X i имеют общий закон распределения, то они имеют и общую кумулянтную функцию. Представим функцию ϕ(t) рядом Тейлора в окрестности точки t = 0: ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ ′ (0)t + ϕ ′′ (0) 2! t 2 + α(t), 64 где α(t) — величина порядка малости выше второго относительно. Так как ϕ(0) = 0, ϕ′(0) = im, ϕ ′′ (0) = см. формулу, то ϕ(t) = imt − σ 2 2 t 2 + α(t). По свойству кумулянтной функции сумма случайных величин Y n = X 1 + X 2 + + . . . + X n будет иметь кумулянтную функцию nϕ(t). Следовательно. Так как величина получена линейным преобразованием величины, то по формуле (2.28), в которой надо положить a = 1 √ nσ , b = − nm √ nσ , получим, что n (t) = −i nm √ nσ t + ϕ Y t √ nσ = −i nm √ nσ + +imn t √ nσ − σ 2 2 n t 2 nσ 2 + nα t √ nσ = − t 2 2 + При n −→ ∞ величина nα t √ nσ −→ 0, поскольку множитель имеет порядок малости выше второго относительно, те. Поэтому lim n→∞ ϕ Y n (t) = − t 2 2 . Следовательно, кумулянтная функция величины при n −→ ∞ неограниченно приближается к кумулянтной функции нормированного нормального закона. Можно доказать, что при этом закон распределения величин Y n неограниченно приближается к нормальному. Замечание. Если закон распределения случайных величин A n B n сходится при n −→ ∞ к нормальному закону, то можно доказать, что случайную величину X n при достаточно больших приближённо можно считать нормальной с параметрами, B 2 n ). 65 Ранее (см. подраздел 2.4, пример 5) мы показали, что случайную величину X, распределённую по биномиальному закону, можно представить в виде суммы X = X 1 + X 2 + . . . + X n величин, распределённых по одному закону с математическим ожиданием p и дисперсией p(1 − p). При этом M[X] = np, D(X) = np(1 − p) = npq, q = 1 − p. По центральной предельной теореме при неограниченном возрастании n закон распределения величин − np √ npq сходится к нормированному нормальному, следовательно величина X является приближённо нормальной с параметрами m X = np, σ 2 X = npq. Отсюда следует справедливость локальной теоремы Лапласа (подраздел 1.8): P n (X = m) ≈ 1 √ 2π√npq exp − (m − np) 2 2npq при достаточно больших m. Интегральная теорема Лапласа следует из формулы (2.37), в которой надо положить α = m 1 , β = m 2 , a = np, σ = npq. 2.12. Закон больших чисел При выполнении некоторых широко встречающихся условий средний результат действия большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и может быть предсказан с большой степенью точности. Эти условия выясняются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. В данном подразделе мы приведём несколько теорем, относящихся к этому типу. Неравенство Чебышева. Понятие сходимости по вероятности Пусть дана случайная величина X с конечным математическим ожиданием m и конечной дисперсией D x . Тогда для любого α > 0 справедливо неравенство (|X − m x | ≥ α) или, переходя к противоположным событиям (|X − m x | < α) > 1 − D x α 2 (2.40) 66 Неравенства (2.39) и (2.40) получены Чебышевым и называются его именем. Доказательство . Проведём для непрерывных случайных величин. Пусть ρ(x) — плотность распределения X. Тогда − m x ) 2 ρ(x)dx ≥ |x−m x |≥α (x − m x ) 2 ρ(x)dx ≥ ≥ α 2 |x−m x |≥α ρ(x)dx = α 2 P (|X − m x | отсюда и следует неравенство (Неравенство Чебышева даёт только верхнюю границу вероятности заданного отклонения. Последняя не может превзойти эту границу ни при каком законе распределения. Для некоторых распределений эта граница может быть уточнена. Например, если в неравенстве (2.39) положить α = 3σ x , то (|X − m x | ≥ 3σ x ) ≤ σ 2 x 9σ 2 x = 1 9 . Для большинства законов распределения, встречающихся на практике, вероятность того, что значения случайной величины выйдут за пределы участка x −3σ x , m x +3σ x ), значительно меньше 9 . Так, для нормального распределения она равна примерно Дадим определение нового понятия — сходимости по вероятности Пусть дана последовательность случайных величин Говорят, что последовательность {X n } сходится по вероятности к числу a, если для любых чисел ε > 0 и δ > 0 найдётся такое число N (ε, δ), зависящее от ε и δ, что для всех n > выполняется неравенство (|X n − a| < ε) > 1 − δ. (2.41) Подчеркнём, что a — величина неслучайная. Теорема Чебышева и некоторые её следствия (теоремы Бернулли и Пуассона) Теорема 1 . Если X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . — последовательность попарно независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями m x 1 , m x 2 , . . . , m x n , . . . и дисперсиями, ограниченными одним числом L, те D x i < L (i = 1, 2, . . . , n, . . .), то последовательность k=1 X k сходится по вероятности к n k=1 m x k Доказательство. Используя свойства математического ожидания и дисперсии для независимых случайных величин, находим, что m y n = n k=1 m x k n , D y n = n k=1 D x k n 2 . Запишем для случайной величины Y n неравенство Чебышева (2.40): P (|Y n − m y n | < ε) > 1 − D y или k=1 X k n − n k=1 m x k n < ε > 1 − n k=1 D x Так как D x k < L, то n k=1 D x k < nL. Поэтому k=1 X k n − n k=1 m x k n < ε > 1 Какое бы ни было ε > 0, всегда можно выбрать n настолько большим, чтобы выполнялось неравенство δ для любого > 0. Тогда k=1 X k n − n k=1 m x k n < ε > 1 − что согласно выражению (2.41) означает сходимость по вероятности последовательности Y n = n k=1 X k к n k=1 m x k n , тес увеличением n разность между средним значением случайных величин и средним значением математических ожиданий стремится по вероятности к нулю. Следствие 1 . Пусть X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . — последовательность случайных величин, распределённых по одному закону, имеющему конечное математическое ожидание m и конечную дисперсию D. Тогда среднее арифметическое этих величин+ X 2 + . . . + X n сходится по вероятности к Доказательство. В данном случае n k=1 m x k n = m, D[Y n ] = = D n . Положив D[X k ] = D и выбрав n настолько большим чтобы выполнялось неравенство δ, неравенство (2.42) приведём к виду k=1 X k n − m < ε > 1 − что и утверждается в следствии. Следствие теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов по схеме Бернулли (см. подраздел в каждом из которых может появиться с постоянной вероятностью некоторое событие A. При неограниченном увеличении числа опытов n относительная частота появления события сходится по вероятности к Доказательство. Введём в рассмотрение величины число наступлений события A в ом опыте. Так как P (X k = = 0) = 1 − p, P (X k = 1) = p, то M [X k ] = p, D[X k ] = p(1 − Если X — число наступлений события A в n опытах, то X = = X 1 + X |