Л. И. Магазинников Высшая математика IV

• Название: Л. И. Магазинников Высшая математика IV
• Дата: 04.03.2018
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: ver-st1 (1).pdf
• Тип: Документы; #37694
• страница: 2 из 10

1.2. Объединение, пересечение и разность событий
Над событиями можно выполнять те же операции, что и надмножествами. При этом надо предполагать, что все события принадлежат одному и тому же пространству элементарных событий Событие C, наступающее тогда и только тогда, когда наступит хотя бы одно из событий A или B, называется суммой (объединением) событий A и B. Пишут C = A ∪ B, или = A + B. Событие A + B состоит из объединения множеств,
соответствующих событиями Событие C, наступающее тогда и только тогда, когда наступают одновременно события A и B называется произведением) событий A и B. Пишут C = A ∩ B, или = A · B. Событие A · B состоит из тех точек множества которые принадлежат одновременно событиями Если события A и B несовместны, то очевидно, A · B = ⊘.
D
E
1 Пусть дана схема. Обозначим контакт 1 замкнут, B контакт замкнут, C цепь замкнута. Цепь DE замкнута тогда и только тогда,
когда замкнут хотя бы один из контактов, поэтому C = A + Заметим, что при этом случай, когда оба контакта замкнуты не исключается Пусть контакты 1 и 2 соединены последовательно. Через A,
B и C обозначим те же события. Очевидно, что в этом случае C = A · B, так как цепь замкнута тогда и только тогда, когда замкнуты оба контакта.
Заметим, что если перейти к противоположным событиям ¯
A,
¯
B, ¯
C, тов первом случае ¯
C = ¯
A · ¯
B, а во втором — ¯
C = ¯
A + Понятия объединения и пересечения можно распространить на любое число слагаемых и сомножителей (что равносильно включению параллельно или последовательно в рассмотренные схемы любого числа контактов. Если события, A
2
, . . . , A
n образуют полную группу, то+ A
2
+ . . . + A
n
= Ω.
12

Разностью событий A и B называется событие C, наступающее тогда и только тогда, когда наступает событие A, ноне наступает событие B. Пишут C = A \B. Событие A\B состоит из тех точек Ω, которые принадлежат A, ноне принадлежат. Очевидно, что ¯
A = Ω \ Отметим следующие свойства операций над событиями) A + B = B + A; 2) A + A = A;
3) Ω + A = Ω;
4) (A + B) + C = A + (B + C);
5) A · B = B · A;
6) A · A = A;
7) Ω · A = A;
8) (A · B) · C = A · (B · C);
9) A · (B + C) = A · B + A · C;
10) (A + B)(A + C) = A + B · C;
11) ¯
A + ¯
B = A · B; 12) ¯
A · ¯
B = A + Убедиться в справедливости этих свойств предлагается самостоятельно в качестве упражнения = A ∪ B
C = A ∩ B
C = ¯
A
C = A \ B
Введённые операции над событиями удобно изображать схематически, как это показано на рисунках (области, соответствующие событиям C, заштрихованы. Понятие вероятности события
Имеется несколько подходов, поясняющих понятие вероятностей, указывающих правила приписывания случайному событию числа, характеризующего объективно существующую степень возможности наступления событий. Статистический подход к определению вероятности.
Пусть проведена серия из n опытов ив результате µ раз наступило событие A. Число P
∗
(A) =
µ
n
, как мы уже отмечали,
называется относительной частотой события A в данной серии опытов

Если проделать другую серию опытов, то, как правило, получится другое число P
∗
1
(A). Если в различных сериях опытов относительные частоты наступления события A отличаются друг от друга незначительно, то говорят, что частоты обладают свойством устойчивости.
В качестве вероятности события A принимают число (A), близкое к относительной частоте события A. Основанием для этого определения является теорема, доказанная Якобом
Бернулли о том, что при увеличении числа опытов частота в некотором смысле сходится к вероятности.
Установить экспериментально устойчивость частоты наступления некоторого события можно только путём проведения большого числа испытаний в одинаковых условиях, что представляет большие трудности. Только после того, как для данного явления доказана устойчивость частоты его появления, выводы теории вероятностей об этом явлении имеют практическую ценность. Это ещё раз подчёркивает, что теория вероятностей изучает закономерности массовых явлений, так как только для таких явлений имеет смысл говорить о свойстве устойчивости частот. Классическое определение вероятностей. Пусть пространство элементарных событий дискретно и состоит из конечного числа n элементарных равновозможных несовместных событий ω
i
, называемых случаями. Если событие A содержит m случаев, то по определению полагают (A) =
m Те m элементарных событий, из которых состоит событие называются случаями, благоприятствующими событию A. Таким образом, P (A) равно числу случаев, благоприятствующих событию A, делённому на общее число случаев.
Способ введения вероятности по формуле (1.1) называют классическим. Исторически он появился первыми явился основой для дальнейшего абстрактного построения теории веро- ятностей.
Классическое определение вероятностей служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, число исходов которых конечно, асами исходы в каком-либо смысле

симметричны, поэтому естественно предположение о их равно- возможности. Иногда равновозможность исходов удаётся обеспечить соответствующей организацией эксперимента. Если же число исходов бесконечно или исходы неравноправны, то формула) не применима.
Пример Подброшена монета два раза. Найти вероятность того, что при этом появится герб хотя бы один раз (событие Решение. Пространство элементарных событий состоит из четырёх точек (Г,Г), (ГЦ, (Ц,Г), (Ц,Ц), те. n = 4. Событию благоприятствует три точки (Г,Г), (ГЦ, (Ц,Г), те. m = По формуле (1.1) находим P (A) = 3/4 = В задачах на классическое определение вероятности часто применяются понятия комбинаторики. Читателям, которые незнакомы сними, рекомендуется изучить приложение Пример В партии, состоящей из 10 изделий, имеется четыре нестандартных. Из партии для контроля выбирается изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных будет две нестандартных (событие Решение. Пять деталей из десяти можно выбрать C
5 способами (число сочетаний из 10 элементов по 5). Поэтому n = C
5 Три стандартных детали из шести можно выбрать C
3 6
, а две нестандартных из четырёх — C
2 способами. Каждый выбор нестандартной детали может сочетаться с каждым выбором стандартной, поэтому m = C
3 6
· C
2 4
. По формуле (1.1)
P (A) =
C
3 6
C
2 4
C
5 10
=
6 · 5 · 4 · 4 · 3 · 5 !
3 ! · 2 ! · 10 · 9 · 8 · 7 · 6
=
10 21 3. Геометрическое определение вероятности. Пусть пространством элементарных событий является некоторая область плоскости, причём все её точки равноправны. Требуется определить вероятность попадания точки в область g ⊂ G (событие A). Полагают, что (A) где S
G
— площадь области G, S
g
— площадь области g.
15

Геометрически определяют вероятности и для многомерных областей по формуле (A) =
mes g mes где mes g и mes G — меры соответствующих областей.
Формулы (1.2) и (1.3) представляют собой обобщения классического определения вероятностей на несчётное множество элементарных событий.
Пример На отрезке OA, длиной, случайно поставлены две точки B(x) и C(y). Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше Решение. Пусть задана декартова система координат OXY . Положение точки B будем отмечать на оси OX, а точки C — на оси OY . По условию задачи координаты точек B и C связаны неравенствами ≤ x ≤ L,
0 ≤ y ≤ L,
|y − x| <
L
2







(а)
Точки квадрата со стороной L характеризуют всевозможные расположения точек B и C (область G). Точки области g удовлетворяют неравенствам (а. На рисунке область g заштрихована По формуле (1.3) находим P |BC| <
L
2
=
0,75L
2
L
2
= Геометрическое определение вероятностей является математической моделью случайных экспериментов, число исходов которых хотя и бесконечно, но все они равноправны. Это очень частный случай и, как мы увидим позднее, имеет место только для равномерных распределений

Пользуясь классическим или геометрическим определением вероятности, легко получить следующие свойства) 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (⊘) = 0, P (Ω) = 1;
2) если события A и B несовместны, то (A + B) = P (A) + P (B).
4. Аксиоматическое определение вероятности. Существуют и другие определения вероятности, имеющие также ограниченные применения. Но для теоретических построений достаточно лишь утверждения, что каждому событию можно сопоставить число, подчиняющееся определённым требованиям, называемое вероятностью этого события. Как это сделать практически в задачу теории вероятностей не входит, поскольку основной её целью является вывод правил, позволяющих по заданным вероятностям одних событий находить вероятности других, как-либо связанных с первыми. Поэтому в современной математической теории понятие вероятности вводят аксиоматически, описывая лишь требования самого общего характера,
предъявляемые к этому понятию, абстрагируясь от конкретного содержания изучаемых событий.
Пусть F — поле событий для данного случайного эксперимента. Вероятностью P (A) называется функция, определённая для всех A ∈ F и удовлетворяющая трём условиям (аксиомам вероятностей) P (A) ≥ 0; 2) P (Ω) = 1;
3) P
k
A
k
=
k
P (A
k
) для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий, A
2
, . . . , A
n
, . . . таких, что A
i
· A
j
= 0 при i = Основой для их введения явились интуитивно очевидные свойства вероятности, следующие из классического определения. Аксиоматическая теория вероятностей была создана
А.Н. Колмогоровым.
Итак, введены три исходных понятия, — пространство элементарных событий (Ω), поле событий (F ) и вероятность событий лежащие в основе теории вероятностей. Тройка, F, P ) называется вероятностным пространством для данного случайного эксперимента

1.4. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Формулы умножения вероятностей
С вероятностной точки зрения, вероятность события даёт полную исчерпывающую характеристику этого события. Если же имеются два случайных события A и B, то возникает проблема характеристики их взаимосвязи. Если известно, что событие B наступило, то это может дать в некоторых случаях дополнительную информацию о событии A, а потому изменить его вероятность, а в других случаях эта информация не оказывает никакого влияния на вероятность события Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события относительно события B. Обозначается P (Аналогично определяется условная вероятность P (Установим связь между условными и безусловными вероятностями для тех случайных экспериментов, для которых применимо геометрическое определение вероятностей.
Пусть P (B) > 0 и s, s
1
, s
2
, s
12
— площади областей, соответствующих пространству элементарных событий и событиям, B, A · B. Схематически множества Ω, A, B и A · B изображены на рисунке. Если стало известно, что событие произошло, то пространством элементарных событий для A становится область, соответствующая событию Событию A в этом случае соответствует лишь область A·B. По формуле (получаем, что P (A/B) =
s
12
s
2
=
s
12
/s Поэтому (A/B) =
P (A · B)
P (Аналогично, если P (A) = 0, можно получить, что (B/A) =
P (A · B)
P (В аксиоматической теории вероятностей соотношения (1.4)
18

и (1.5) принимают в качестве определения условных вероятностей) и P (Говорят, что событие A не зависит от события B, если (A/B) = P (A). Если же P (A/B) = P (A), то говорят, что событие A зависит от Из формул (1.4) и (1.5) следует, что если событие A не зависит от B и P (AB) > 0, то и событие B не зависит от Действительно, если P (A) = P (A/B) =
P (A · B)
P (B)
, то (B/A) =
P (A · B)
P (A)
=
P (A · B)P (B)
P (A · B)
= P (те. и событие B не зависит от A. Следовательно, свойство зависимости и независимости двух событий взаимно, и можно дать определение события A и B называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Если же наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого, то события называются зависимыми Пример Опыт последовательно подброшены две монеты.
События: B выпала хотя бы одна цифра, C герб на второй монете. Найти P (B), P (B/C) и выяснить, зависимы или нет события B и Решение. Пространство элементарных событий содержит четыре точки (Г,Г), (ГЦ, (Ц,Г) и (Ц,Ц), три из них — (Г,Ц),
(Ц,Г), (Ц,Ц) благоприятствуют событию B. P (B) =
3 4
. Если событие C наступило, то имело место одно из двух событий —
(Г,Г) или (Ц,Г), а потому P (B/C) =
1 2
= P (B), те. события и C зависимы.
В случае n событий A
1
, A
2
, . . . , A
n можно рассматривать многие условные вероятности, например P (A
n
/A
1
), P (A
n
/A
1
×
× A
2
), . . . , P (A
n
/A
1
· A
2
· . . . · A
n−1
) и понятия независимости и зависимости распространить на любое число событий. События, A
2
, . . . , A
n называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от каждого из остальных и от всех возможных их пересечений. Если это условие не выполняется,
то события A
1
, A
2
, . . . , A
n называются зависимыми

Из соотношений (1.4) и (1.5) следуют равенства (A · B) = P (B) · P (A/B),
(1.6)
P (A · B) = P (A) · P (называемые формулами умножения вероятностей. Практическое значение они имеют в тех случаях, когда условные вероятности) или P (B/A) удаётся найти, не пользуясь формулами (1.4) и (Пример В урне находятся 3 белых и 7 чёрных шаров.
Последовательно, без возвращения извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.
Решение
. Введём события A первый шар чёрный}, B второй шар чёрный}. Тогда P (A) =
7 10
, P (B/A) =
6 9
=
2 3
. По формуле (1.7) получаем P (A · B) =
7 10
·
2 3
=
7 Если события A и B независимы, то (A · B) = P (A) · P (Верно и обратное утверждение.
Пример 3
. В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Взят один шар, возвращён в урну, после перемешивания взят другой шар.
События: A первый шар чёрный}, B второй шар белый}.
Найти P (A · Решение. Применяя классическое определение вероятности,
находим P (A) =
7 10
, P (B) =
3 10
. В данном случае события и B независимы. По формуле (1.8) умножения вероятностей получаем P (A · B) =
7 10
·
3 10
= Формулы умножения вероятностей можно обобщить на любое число сомножителей. Например, для трёх сомножителей (A
1
· A
2
· A
3
) = P (A
1
) · P (A
2
/A
1
) · P (A
3
/A
1
· Если события A
1
, A
2
, независимы в совокупности, то (A
1
· A
2
· A
3
) = P (A
1
) · P (A
2
) · P (A
3
).
20

1.5. Правило сложения вероятностей
Формулу для вычисления P (A + B) получим для частного случая, когда применимо геометрическое определение вероятностей. Через S
Ω
, S
A+B
, S
A
, S
B
, обозначим площади,
соответствующие пространству элементарных событий Ω, событиями. Очевидно, S
A+B
= S
A
+ S
B
− или. Отсюда, по геометрическому определению вероятности, получаем (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · Будем считать, что ив общем случае формула (1.9) спра- ведлива.
Если события A и B несовместны, то A·B = 0, P (A·B) = поэтому (A + B) = P (A) + P (Пример 1
. Прибор состоит из двух блоков, дублирующих друг друга (соединённых параллельно. Найти вероятность безотказной работы прибора, если вероятность безотказной работы первого блока равна p
1
= 0,8, а второго — p
2
= 0,9.
1 Решение. Если A прибор работает безотказно, B первый блок работает безотказно, второй блок работает безотказно, то A = B + C. По формуле (1.9) P (A) = P (B)+
+ P (C) − P (B · C). При параллельном соединении блоки работают независимо, поэтому P (B·C) = P (B)·P (C). По условию задачи P (B) = 0,8, P (C) = 0,9, поэтому P (A) = 0,8 + 0,9 −
−0,8 · 0,9 = Пример 2
. Два орудия независимо друг от друга произвели залп по одной цели. Вероятность попадания первым орудием 0,6, а вторым — P
2
= 0,7. Найти вероятность того, что в цель попадёт только одно орудие (какое, неизвестно).
Решение
. Введём события первое орудие в цель попало},
A
2
{второе орудие в цель попало, первое орудие в цель не попало, второе орудие в цель не попало, в цель попало

только одно орудие. Тогда B = A
1
· ¯
A
2
+ ¯
A
1
·A
2
. События A
1
· и ¯
A
1
·A
2
, очевидно, несовместны. Поэтому применима формула P (B) = P (A
1
· ¯
A
2
) + P ( ¯
A
1
· A
2
). Так как выстрелы независимы, то P (A
1
· ¯
A
2
) = P (A
1
) · P ( ¯
A
2
), P ( ¯
A
1
· A
2
) = P ( ¯
A
1
) ×
×P (A
2
). По условию задачи P (A
1
) = 0,6, P ( ¯
A
1
) = 1 − 0,6 =
= 0,4, P (A
2
) = 0,7, P ( ¯
A
2
) = 1 − 0,7 = 0,3. Следовательно (B) = 0,6 · 0,3 + 0,7 · 0,4 = 0,18 + 0,28 = Предлагается самостоятельно найти вероятность того, что оба орудия промахнутся, оба орудия поразят цель.
Пример 3
. Три орудия произвели независимо друг от друга залп по одной цели. Вероятность попадания первым орудием 0,6, а вторым — P
2
= 0,7, третьим — P
3
= 0,8. Найти вероятность разрушения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.
Решение
. События цель разрушена и цель не разрушена противоположны, поэтому + ¯
A = Ω, P (A + ¯
A) = P (A) + P ( ¯
A) = следовательно, P (A) = 1 − P ( ¯
A). Обозначим е орудие в цель не попало, i = 1, 2, 3. Тогда ¯
A = ¯
A
1
· ¯
A
2
· все три орудия промахнулись. По условию задачи P ( ¯
A
1
) = 0,4, P ( ¯
A
2
) = 0,3,
P ( ¯
A
3
) = 0,2. Находим ( ¯
A) = P ( ¯
A
1
) · P ( ¯
A
2
) · P ( ¯
A
3
), P ( ¯
A) = 0,4 · 0,3 · 0,2 = Поэтому P (A) = 1 − 0,024 = Предлагается вычислить вероятности следующих событий в примере 3: ровно одно попадание (отв. 0,188), ровно два попадания (отв. 0,452), три попадания (отв. не менее одного попадания (отв. 0,976), не более одного попадания (отв. 0,212), не менее двух попаданий (отв.
0,788).
Формулу (1.9) можно обобщить на любое число слагаемых.