Л. И. Магазинников Высшая математика IV

• Название: Л. И. Магазинников Высшая математика IV
• Дата: 04.03.2018
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: ver-st1 (1).pdf
• Тип: Документы; #37694
• страница: 9 из 10

+ r
σ
x
σ
y
(y − m Эти линии совпадают с прямыми среднеквадратичной регрессии. Прямые (3.28) и (3.29) пересекаются в точке (m x
, m y
) — в центре рассеивания случайных величин X и Y .
93

Вдоль кривой второго порядка − m x
)
2
σ
2
x
− 2r
(x − m x
)(y − m y
)
σ
x
σ
y
+
(y − m y
)
2
σ
2
y
= где λ = const, плотность ρ(x, y) постоянна. Так как дискриминант то кривая (3.30) является эллипсом, называемым эллипсом рассеивания.
Приведём уравнение (3.30) эллипса к каноническому виду,
поместив начало координат в точку (m x
, m y
) и выбрав за новые координатные оси главные направления этого эллипса. Если угол поворота старых осей координат обозначить через α, тоновые координаты ξ и η можно выразить через старые x и y по формулам = (x − m x
) cos α + (y − m y
) sin α,
η = −(x − m x
) sin α + (y − m y
) cos Из последних соотношений легко получаем, что − m x
) = ξ cos α − η sin α,
(y − m y
) = ξ sin α + η cos Внеся (3.31) в (3.30), получим cos α − η sin α)
2
σ
2
x
− 2r
(ξ cos α − η sin α)(ξ sin α + η cos α)
σ
x
σ
y
+
+
(ξ sin α + η cos α)
2
σ
2
y
= Угол α подберём так, чтобы произведение ξη отсутствовало.
Тогда
−2 cos α sin α
σ
2
x
−
2r(cos
2
α − sin
2
α)
σ
x
σ
y
+
2 cos α sin α
σ
2
y
= или σ
2
y
σ
2
x
σ
2
y sin 2α − 2r
− cos 2α
σ
2
x
94

Следовательно, tg 2α =
2rσ
x
σ
y
σ
2
x
− σ
2
y
. При таком выборе угла уравнение эллипса в новых координатах примет вид cos
2
α − rσ
x
σ
y sin 2α + σ
2
x sin
2
α)ξ
2
+
+(σ
2
y sin
2
α + rσ
x
σ
y sin 2α + σ
2
x cos
2
α)η
2
= Если обозначить σ
2
x cos
2
α + rσ
x
σ
y sin 2α + σ
2
y sin
2
α,
σ
2
η
= σ
2
y sin
2
α − rσ
x
σ
y sin 2α + σ
2
y то уравнение (3.30) можно записать в виде 2σ
2
ξ
+
η
2 В результате двумерный нормальный закон преобразуется к виду, η) =
1 2πσ
ξ
σ
η
exp −
ξ
2 2σ
2
ξ
−
η
2 называемому каноническим.
Как следует из (3.32), случайные величины ξ и η независимы. Таким образом, в случае двумерного нормального распределения от системы зависимых случайных величин можно перейти к системе независимых величин, также распределён- ной по нормальному закону, путём линейного преобразования вида (3.31).
95

4. Элементы математической статистики
Мы уже отмечали, что теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений, при этом сама математическая модель остаётся заданной, те. если изучается некоторое случайное событие A, то известно P (A). Если речь идёт о случайной величине X, то известен закон распределения вероятностей в какой-либо форме. В практических задачах эти характеристики, как правило, неизвестны, но имеются некоторые экспериментальные данные о событии или случайной величине. Требуется на основании этих данных построить подходящую теоретико-вероятностную модель изучаемого явления.
Это и является задачей математической статистики, обширного раздела современной математики. Выборочный метод. Понятие выборки
Пусть требуется изучить случайную величину X, распреде- лённую по некоторому неизвестному нам закону A. Множество всех значений случайной величины X называют генеральной совокупностью
A.
Предположим, что имеется возможность над величиной проводить любое число экспериментов (измерений) и получать некоторое множество её значений x
1
, x
2
, . . . , x как результат n наблюдений. Заметим, что среди чисел (могут быть и равные.
Множество {x
1
, x
2
, . . . , x n
} отдельных значений случайной величины X, распределённой по закону A, называется выборкой объёма n из генеральной совокупности Числа x называют элементами выборки или вариантами.
Итак, в результате n экспериментов получена выборка. Если предпринять другую серию n экспериментов,
то, как правило, получим другую выборку x
′
1
, x
′
2
, . . . , Следовательно, множество всех выборок объёма n изданной генеральной совокупности можно рассматривать как систему

n случайных величин, X
2
, . . . , Выборка (4.1) представляет собой одно из возможных значений мерной случайной величины (4.2). Обычно систему (и её конкретную реализацию (4.1) обозначают одинаково в виде (Чтобы по выборке можно было достаточно полно судить о случайной величине X, проведение экспериментов должно быть организовано специальным образом. Будем считать, что все эксперименты независимы и не изменяют характера изучаемой случайной величины. Это означает, что случайные величины в системе (4.2) независимы и распределены потому же закону A, что и изучаемая величина Если случайная величина X принимает лишь небольшое число значений, то условию независимости и постоянства распределений удовлетворяют лишь выборки с возвращением, когда обследуемые объекты в предыдущем эксперименте возвращаются в изучаемую совокупность. Простейшие способы обработки выборки
Выборка (4.1) является первичной формой записи экспериментального материала. Его можно обработать различным образом для удобства дальнейшего анализа. Если выборочные данные (4.1) расположить в порядке возрастания x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n
,
x
′
1
≤ x
′
2
≤ . . . ≤ x
′
n
, то полученная последовательность называется вариационным рядом. Разность x
′
n
− между максимальными минимальным элементами выборки называется размахом выборки.
Пусть в выборке объёма n одно и тоже число x i
(i = 1, 2, . . . , m, m ≤ n) встречается n раз. Число n называется абсолютной частотой элемента x i
, а отношение W
i
=
n i
n
— его относительной частотой. Очевидно, n
1
+ n
2
+ . . . + n m
= Мы получили две последовательности пар чисел (x i
, n i
) и i
, W
i
). Первую из них называют статистическим рядом абсолютных частота вторую — статистическим рядом относительных частот. Статистические ряды обычно записывают в виде таблиц, впервой строке которых располагают различные элементы выборки в порядке возрастания, а во второй —
97

соответствующие абсолютные или относительные частоты этих элементов, те. в виде x
i x
′′
1
x
′′
2
x
′′
m n
i n
1
n
2
n m
(4.3)
x Здесь x
′′
1
≤ x
′′
2
≤ . . . ≤ x
′′
m
, n
1
+ n
2
+ . . . + n m
= При большом объёме выборки строят группированный статистический ряд. Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, делят на k равных (иногда неравных) частичных интервалов, эти интервалы нумеруют и подсчитывают числа n
∗
i элементов выборки, попавших в й интервал, при этом элемент, совпадающий с верхней границей частичного интервала,
относят к последующему интервалу. Обозначая через x
∗
i середину го интервала, получают две последовательности пари, называемые группированными рядами абсолютных или относительных частот. Эти ряды обычно также записывают в виде таблиц x
∗
i x
∗
1
x
∗
2
x
∗
k n
∗
i n
∗
1
n
∗
2
n
∗
k x
∗
i x
∗
1
x
∗
2
x
∗
k
W
i
=
n
∗
i n
n
∗
1
n n
∗
2
n n
∗
k Для большей наглядности применяют различного рода графические построения, отражающие те или иные особенности выборки. Отметим некоторые из них. Полигон абсолютных частот — ломаная с вершинами в точках M
i
(x i
, n i
).
2. Полигон относительных частот — ломаная с вершинами в точках M
i x
i
,
n Полигоны частот графически представляют ряды) и (4.4).
98

3. Гистограмма относительных частот — ступенчатая фигура, состоящая из k прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы. Площадь го прямоугольника полагают равной n
∗
i n
, где n
∗
i
— число элементов выборки, попавших в й частичный интервал. Гистограмма строится на основании ряда. Для непрерывной случайной величины гистограмма даёт некоторое представление о её плотности распределения. Эмпирическая функция распределения.
Выборочные параметры распределения
При построении вероятностных характеристик случайной величины X используется всё множество её значений. Такие характеристики называют теоретическими. Характеристики,
построенные на основании выборочных данных, называют эмпирическими или выборочными.
Пусть имеем выборку x
1
, x
2
, . . . , x n
. Функция F
∗
(x) =
n где n x
— число элементов выборки меньших x, n — объём выборки, называется эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки
Отличие теоретической функции распределения F (x) от эмпирической) заключается в том, что F (x) определяет вероятность события X < x, а F
∗
(x) определяет относительную частоту этого же события при проведении n экспериментов.
Из теоремы Бернулли (см. подраздел 2.12.2) следует, что при увеличении n эмпирическая функция распределения выборки сходится по вероятности к теоретической.
Эмпирическая функция распределения совпадает с теоретической для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения (4.4). Поэтому эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами теоретической.
Приведём некоторые выборочные числовые характеристики случайной величины X.
1. Выборочное математическое ожидание в =
n i=1
x i
n
2. Выборочная дисперсия в =
n i=1
(x i
− в

3. Выборочные начальные и центральные моменты
ν
(k)
в =
n i=1
x k
i n
, в =
n i=1
(x i
− в Очевидно, что выборочные характеристики совпадают с теоретическими для случайной величины, заданной рядом, в котором следует положить W
i
= p i
4.2. Основные понятия теории оценок параметров распределения. Понятие оценки. Требования к оценке
Пусть общий вид плотности распределения случайной величины известен из каких-либо теоретических соображений,
но неизвестны параметры, определяющие это распределение.
Например, удалось установить, что величина X нормальна, ноне известны параметры m и σ, полностью характеризующие распределение. Возникает задача приближённого вычисления этих параметров на основании выборочных данных.
Рассмотрим сначала случай, когда плотность распределения) зависит от одного неизвестного параметра Θ. Требуется на основании выборки x
1
, x
2
, . . . , x оценить параметр, те. найти некоторую функцию ˜
Θ = T (x
1
, x
2
, . . . , x n
) от случайных величин X
1
, X
2
, . . . , X
n
, которая и даёт приближённое значение оцениваемого параметра.
Оценкой неизвестного параметра Θ распределения случайной величины X назовём функцию ˜
Θ = T (x
1
, x
2
, . . . , x n
) от выборочной величины Основная задача теории оценок заключается в отыскании этих функций. Так как x
1
, x
2
, . . . , x n
— случайные величины,
то и оценка также величина случайная, являющаяся функцией,
заданной на множестве всех выборок объёма n. Если найдена оценка ˜
Θ = T (x
1
, x
2
, . . . , x n
), то для всякой фиксированной выборки получим число ˜
Θ, каждое из которых можно принять в качестве приближённого значения параметра Пример. Пусть измеряют некоторую величину X. В результате трёх независимых измерений получено x
1
= 2,2; x
2
= 2,1;
x
3
= 2,3. Числа 2,2; 2,1; 2,3 представляют собой некоторую выборку. Величину ˜
m =
2,2 + 2,1 + 2,3 3
= 2,2 можно принять

в качестве оценки математического ожидания X. В данном случае ˜
m = T (x
1
, x
2
, x
3
) =
x
1
+ x
2
+ x
3 Нелюбая функция T (x
1
, x
2
, . . . , x n
) годится в качестве оценки. Для практического использования она должна удовлетворять ряду требований. Состоятельность оценки. Оценка ˜
Θ = T (x
1
, x
2
, . . . , x называется состоятельной, если при неограниченном увеличении величина ˜
Θ сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Первое требование к оценке оценка должна быть состоятельной. Несмещенность оценки. Оценка не должна содержать систематических ошибок, те. математическое ожидание должно совпадать с оцениваемым параметром [ ˜
Θ] = Если условие (4.6) выполнено, то оценка называется несме- щённой. Разность b n
(Θ) = M [ ˜
Θ] − Θ называется смещением оценки. Если lim n→∞
b n
(Θ) = 0, то оценка называется асимптотически несмещённой.
Второе требование оценка должна быть несмещённой или хотя бы асимптотически несмещённой.
3. Эффективность оценки. В качестве одной из характеристик точности оценки вводят понятие вариации V оценки = M [( ˜
Θ − В частности, если оценка несмещённая, те. если M [ ˜
Θ] = Θ, то вариация оценки совпадает се дисперсией V = D[ ˜
Θ]. Идеальной была бы оценка V = 0, но, оказывается, этого добиться нельзя. Существует некоторое значение V
min
, которого можно достигнуть, но меньшего значения получить невозможно.
Величину V
min называют потенциальной точностью или потенциальной помехоустойчивостью оценки. Приведём без доказательства формулу для отыскания V
min для несмещённой оценки. Если ρ(x, Θ) — плотность распределения величины а (x
1
, x
2
, . . . , x n
) — выборка, тов силу независимости случайных величин x
1
, x
2
, . . . , x плотностью распределения выборки является функция, x
2
, . . . , x n
, Θ) = ρ(x
1
, Θ)ρ(x
2
, Θ) · . . . · ρ(x n
, Θ).
101

Введём в рассмотрение функцию, x
2
, . . . , x n
, Θ) = ln ρ(x
1
, x
2
, . . . , x n
, Величина = −M
∂
2
L(x
1
, x
2
, . . . , x n
, называется количеством информации по
Фишеру относительно, x
2
, . . . , x n
, Θ). Доказано, что V · J ≥ 1, те Неравенство (4.7) называют неравенством Рао—Крамера. Из него следует, что
V
min
=
1
J
(4.8)
В случае смещённой оценки
V
min
=
[ϕ
′
(Θ)]
2
J
,
(4.9)
где ϕ(Θ) =
=
+∞
−∞
+∞
−∞
T (x
1
, x
2
, . . . , x n
)ρ(x
1
, x
2
, . . . , x n
, Θ)dx
1
dx
2
. . . dx Величину e n
=
V
min
V
=
1
V называют эффективностью оценки. Если e n
= 1, то оценку называют эффективной. Если же lim n→∞
e n
=
1, то оценка называется асимптотически эффективной.
Третье требование к оценке оценка должна быть эффективной или асимптотически эффективной.
Кратко рассмотрим случай, когда плотность распределения случайной величины X зависит от многих параметров, Θ
2
, . . . , Θ
k
, те. имеет вид ρ(x, Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
). Пусть на основании выборки найдены оценки всех параметров ˜
Θ
i
=
= T
i
(x
1
, x
2
, . . . , x n
). Через V
i
= M [( ˜
Θ
i
− Θ
i
)
2
] обозначим вариацию оценки го параметра, а через V
i,min
— её нижнюю границу. Можно доказать, что если оценка Θ
i не смещена, т.е.
если M [ ˜
Θ
i
] = Θ
i
, то V
i,min
=
1
J
ii
, где J
ii
— элемент матрицы,
обратной ||J
ij
||, в которой −M
∂
2
ln ρ(x
1
, x
2
, . . . , x n
, Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
)
∂Θ
i
∂Θ
j
102

Матрицу ||J
ij
|| называют информационной матрицей Фи- шера
В случае, когда матрица Фишера диагональна, те. когда 0 при i = j, можно пользоваться формулами (или (4.9).
4.2.2. Методы отыскания оценки неизвестных параметров
Мы рассмотрели основные требования, предъявляемые к оценкам неизвестных параметров. Эти оценки выражаются одним числом или одной точкой на числовой оси, поэтому их называют точечными. Существуют многие способы получения точечных оценок. Приведём два из них.
Нам дана плотность ρ(x, Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
) с неизвестными параметрами. Требуется на основании выборки x
1
, x
2
, . . . , x найти оценки ˜
Θ
s
= T
s
(x
1
, x
2
, . . . , x n
),
s = 1, 2, . . . , k неизвестных параметров.
К. Пирсоном предложен метод моментов отыскания ˜
Θ
s
, заключающийся в приравнивании теоретических моментов выборочным вили. В результате получаем систему из k уравнений с k неизвестными Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
. Её решение и принимается в качестве оценок ˜
Θ
1
, ˜
Θ
2
, . . . , ˜
Θ
k
. Они являются некоторыми функциями отв, в , . . . , в , а потому и от, x
2
, . . . , x Пример 1
. Найти методом моментов оценку параметра λ показательного закона распределения по выборке (x
1
, x
2
, . . . , x Решение. В данном случае ρ(x) =
λe
−λx
,
x ≥ 0,
0,
x < Параметр λ находим из условия λ
+∞
0
xe
−λx dx =
n i=1
x i
n
, отсюда, следовательно, ˜
λ =
n n
i=1
x Часто применяется другой метод, называемый методом максимума правдоподобия

Рассматривая выборку x
1
, x
2
, . . . , x как систему независимых случайных величин, распределённых потому же закону,
что и случайная величина X, находим плотность распределения системы x
1
, x
2
, . . . , x n
:
L = ρ(x
1
, x
2
, . . . , x n
, Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
) =
n i=1
ρ(x i
, Θ
1
, Θ
2
, . . . , Функцию L называют функцией правдоподобия, считая величины фиксированными и рассматривая L как функцию от Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k
. По методу максимума правдоподобия за оценки параметров Θ
1
, Θ
2
, . . . , Θ
k принимаются те их значения, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, тете, при которых вероятность получения данной фиксированной выборки максимальна. Вместо функции удобнее исследовать функцию ln L. Оценки являются решением системы ln L
∂Θ
i
= 0, (i = 1, 2, . . . , k). В качестве оценок применяются те решения ˜
Θ
1
, ˜
Θ
2
, . . . , ˜
Θ
k этой системы, которые зависят только от x
1
, x
2
, . . . , x и не зависят от оцениваемых параметров.
Оценки, полученные методом максимального правдоподобия для широкого класса функций L, состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормальны, причём
˜
Θ
i
= N Θ
i
,
1
J
ii
. Величина J
ii вычислена в п. Пример 2
. Найти оценку параметра λ методом максимума правдоподобия распределения Пуассона P
t
(m) =
(λt)
m Решение. Находим L(λ) = ln P
t
(m) = m ln λt − ln m! − λt,
dL
dλ
=
m
λ
−t,
d
2
L
dλ
2
= −
m
λ
2
. Полагая dL
dλ
= 0, находим оценку ˜
λ =
=
m t
. Так как d
2
L
dλ
2
< 0, то функция правдоподобия при λ =
m принимает наибольшее значение (поскольку точка экстремума единственная

4.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормальной случайной величины
Предположим, что изучается нормальная случайная величина, параметры которой a = m и σ
2
= D
x неизвестны.
Требуется на основании выборки x
1
, x
2
, . . . , x оценить эти параметры. Построение оценок
Найдём оценки ˜
a и ˜
σ методом максимального правдоподобия. В рассматриваемом случае, a, σ) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − a)
2 поэтому функцию правдоподобия можно записать в виде, x
2
, . . . , x n
, a, σ
2
) =
=
n i=1
ρ(x i
, a, σ
2
) =
1
(σ
√
2π)
n exp −
1 2σ
2
n i=1
(x i
− a)
2
,
L(x
1
, x
2
, . . . , x n
, a, σ
2
) = ln ρ(x
1
, x
2
, . . . , x n
, a, σ
2
) =
= −
1 2σ
2
n i=1
(x i
− a)
2
− n ln σ − n Находим i=1
(x i
− a),
(4.10)
∂L
∂(σ
2
)
=
1 2(σ
2
)
2
n i=1
(x i
− Приравнивая к нулю эти частные производные и решая полученную систему уравнений относительно a и σ
2
, получаем искомые оценки =
n i=1
x i
n
= в n
i=1
(x i
− Как видим, оценки дисперсии и математического ожидания, полученные методом максимума правдоподобия, совпадают с выборочным математическим ожиданием и выборочной дисперсией, а потому состоятельны

4.3.2. Проверка качества оценок математического ожидания и дисперсии
Проверим сначала качество оценки ˜
a. Так как [˜
a] = M
1
n n
i=1
x i
=
1
n n
i=1
M [x i
] =
an n
= то оценка ˜
a несмещённая, поэтому [˜
a] = D[˜
a] = D
1
n n
i=1
x i
=
1
n
2
n i=1
D[x i
] =
1
n
2
· В дальнейшем нам понадобятся частные производные второго порядка от функции правдоподобия. Используя формулы) и (4.11), находим −
n
σ
2
,
∂
2
L
∂(σ
2
)∂a
=
= −
1
(σ
2
)
2
n i=1
(x i
− a),
∂
2
L
[∂(σ
2
)]
2
= −
1
(σ
2
)
3
n i=1
(x i
− Так как M
∂
2
L
∂(σ
2
)∂a
= 0, то матрица Фишера диагональна, а потому для подсчёта V
min оценок ˜
a и можно пользоваться формулами (4.8) и (4.9). Поскольку J = −M
∂
2
L
∂a
2
=
n
σ
2
, то V (˜
a), следовательно, оценка ˜
a, найденная по формуле (4.12), эффективна.
Для проверки качества оценки дисперсии преобразуем выражение. Так как n
i=1
(x i
− a) = n(˜a − то ˜
σ
2
=
1
n n
i=1
(x i
− a)
2
− (˜a − a)
2 106

Проверим несмещённость оценки ˜
σ
2
M [˜
σ
2
] = M
1
n n
i=1
(x i
− a)
2
− (˜a − a)
2
= M
1
n n
i=1
(x i
− a)
2
−
−M[(˜a−a)
2
] =
1
n n
i=1
D[x i
]−D[˜a] =
1
n
·nσ
2
−
σ
2
n
=
n − Мы получили M [˜
σ
2
] =
n − 1
n
σ
2
= σ
2
, следовательно, оценка является смещённой, но асимптотически не смещённой.
В данном случае смещение легко устранить, взяв в качестве оценки величину s
2
=
1
n − 1
n i=1
(x i
− ˜a)
2
=
n n − 1
˜
σ
2
, называемую исправленной дисперсией. Находим M [s
2
] =
n n − 1
M [˜
σ
2
] =
=
n n − 1
·
n − 1
n
σ
2
= σ
2
, те. оценка не смещена.
Для исследования на эффективность находим) = −M
∂
2
L
∂(σ
2
)
2
= −M
n
2(σ
2
)
2
−
1
(σ
2
)
3
n i=1
(x i
− a)
2
=
=
n
2σ
4
. Выполнив вычисления, получим (s
2
) = D(s
2
) =
2σ
4
n − 1
. Так как e =
V
min
V
=
1
J(σ
2
)V (s
2
)
=
= 1 −
1
n
, то оценка асимптотически эффективна. Понятие о доверительном интервале.
Построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном σ нормальной случайной величины
Мы получили приближённые значения параметров распределения. Чтобы охарактеризовать погрешность этих значений,
нужно указать границы a и b, за пределы которых не выходит оцениваемый параметр. Поскольку все расчёты производятся на основании случайных результатов опыта, то и границы a и b также случайные величины. Таким образом, речь идёт о

построении интервала со случайными границами, который с заданной вероятностью γ содержал бы неизвестное значение параметра Интервал со случайными границами, полностью определяемый результатами опытов и независящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью γ содержит неизвестный параметр Θ, называется доверительным интервалом для этого параметра.
Величина γ называется доверительной вероятностью.
Число α = 1 − γ называют уровнем значимости, оно определяет вероятность того, что оцениваемый параметр не попа- дёт в доверительный интервал. При построении доверительных интервалов используется принцип невозможности маловероятных событий. Уровень значимости отделяет события практически невозможные от возможных. Если P (A) ≤ 1−γ, то событие считается практически невозможным. Выбор конкретного значения γ зависит от характера решаемой задачи и определяется степенью опасности тех последствий, которые может вызвать наступление событий, отнесённых этим выбором к практически невозможным. Обычно, γ = 0,95; 0,99; Построим доверительный интервал для a = m нормальной величины X при известном σ. Мы нашли, что ˜
a =
=
x
1
+ x
2
+ . . . + x n
n
. Случайная величина ˜
a представляет собой линейную комбинацию нормально распределённых величина потому сама является нормальной, причём, как мы показали, M [˜
a] = a, σ
2
[˜
a] =
σ
2
[X]
n
. Выберем доверительную вероятность γ и потребуем, чтобы выполнялось условие (|˜a − a| < δ) = γ. Так как случайная величина ˜a нормальна, причём σ
2
[˜
a] =
σ
2
n
, то пользуясь формулой (2.38), получаем, где t =
δ
√
n
σ
, а Φ(t) функция Лапласа. Для отыскания δ мы получили уравнение) = γ. По таблице для функции Лапласа находим то значение, для которого Φ(t) = γ/2, а затем из условия t =
δ
√
n
σ
108

находим δ =
tσ
√
n
. Доверительный интервал −
tσ
√
n
, ˜
a +
tσ
√
n построен. С вероятностью γ выполняется неравенство −
tσ
√
n
< a < ˜
a +Пример. Найти доверительный интервал для оценки сна- дёжностью γ = 0,99 неизвестного математического ожидания a нормальной случайной величины X, если ˜
a = 10,2; σ[X] = 4,4;
n = Решение. В нашем случае Φ(t) =
0,99 2
= 0,495. По таблице для функции Лапласа (приложение C) находим t = 2,58. Следовательно. Теперь из (4.14) следует, что с вероятностью 0,99 справедливо неравенство 8,31 < a < 12,09.
4.3.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестном σ
Введём в рассмотрение случайную величину T =
˜
a − a где s
2
— исправленная дисперсия. Оказывается, что величина распределена по закону, независящему от параметров a и. Доказано, что плотность распределения S(t, n) величины имеет вид, n) =
Γ
n
2
π(n − 1)Γ
n − 1 2
1 +
t
2
n − Распределение вероятностей по закону (4.15) называется распределением Стьюдента с k = n − 1 степенями свободы.
Функция S(t, n) чётна относительно t, поэтому (|T | < t
γ
) = 2
t
γ
0
S(t, n)dt = γ =
= P
˜
a − a s
√
n < где γ — заданное значение доверительной вероятности

Имеются таблицы, позволяющие по заданными найти приложение D). Найдя значение получаем, что |˜a − a| <
t
γ
s
√
n
= γ. Таким образом, мы построили доверительный интервал −
t
γ
s
√
n
, ˜
a +содержащий параметр a с вероятностью Пример. Поданным независимых равноточных измерений, случайные ошибки которых распределены по нормальному закону, найдены ˜
a = 42,8; s = 8. Найти доверительный интервал измеряемой величины a с доверительной вероятностью = Решение. По таблице (приложение D) находим, что при n = 16, γ = 0,99 величина t
γ
= 2,95. Вычисляем t
γ
s
√
n
=
=
2,95 · 8 4
= 5,9. Используя (4.16), записываем доверительный интервал (42,8 − 5,9; 42,8 + 5,9), тес вероятностью γ = справедливо неравенство 36,7 < a < 48,7.
4.3.5. Построение доверительного интервала для оценки σ нормального распределения
По данным n независимых наблюдений вычисляем исправленную дисперсию и принимаем её в качестве оценки Зададим доверительную вероятность γ. Требуется найти такое, чтобы выполнялось условие P (|σ − s| < δ) = γ или (s − δ < σ < s + δ) = γ. Неравенство s − δ < σ < s + запишем в виде s 1 −
δ
s
< σ < s 1 +
δ
s
. Обозначим Тогда s(1 − q) < σ < s(1 + q).
(4.17)
Введём в рассмотрение случайную величину χ =
s
√
n − Доказано, что плотность распределения ρ(χ, n) не зависит ни от s, ни от σ, а зависит только от n. Неравенство (преобразуем так, чтобы свести его к величине χ.
110

1. Если q < 1, то + q)
<
1
σ
<
1
s(1 − или − 1 1 + q
<
s
√
n − 1
σ
<
√
n − 1 1 − q
, те − 1 1 + q
< χ <
√
n − 1 1 − q
,
P
√
n − 1 1 + q
< χ <
√
n − 1 1 − q
= γ =
√
n−1 1−q
√
n−1 1+
q
ρ(χ, Имеются таблицы, позволяющие по заданными найти q (приложение E), после чего доверительный интервал (найден. Если q > 1, то неравенство (4.17) принимает вид < σ < s(1 + или − 1 1 + q
< χ < +∞. Следовательно, значение q при q > можно найти из условия 1+
q
ρ(χ, n)dχ = γ. Ив этом случае для отыскания q по известными пользуются таблицами (приложение E). После чего доверительный интервал (4.18)
построен.
Пример
. Поданным выборки объёма n = 10 из генеральной совокупности нормально распределённой случайной величины найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s = 5,1. Найти доверительный интервал, содержащий с вероятностью среднее квадратичное отклонение σ генеральной совокупности.
Решение
. Задача сводится к отысканию величины q. По таблицам для значений q находим, что привели- чина q = 0,65. Так как q < 1, то доверительный интервал ищем в виде (4.17). В данном случае получаем − 0,65) < σ < 5,1(1 + 0,65) или 1,76 < σ < 8,42.
111

4.4. Понятия о статистической проверке гипотез и о критериях согласия. Понятие о статистических гипотезах
При исследовании различных случайных величин на опре- делённом его этапе появляется возможность выдвинуть ту или иную гипотезу о свойствах изучаемой величины, например,
сделать предположение о законе распределения е, или, если закон распределения известен, но неизвестны его параметры,
то сделать предположение о их величине.
Статистической называют гипотезу о виде законов распределения или о параметрах известных распределений.
Одну из гипотез, которая исследователю кажется по каким- то соображениям наиболее правдоподобной, называют нулевой или основной. Её будем обозначать H
0
. Наряду с основной рассматривают другие гипотезы H
1
, H
2
, . . . , H
n
, противоречащие основной. Их называют конкурирующими или альтернативными нулевая гипотеза нуждается в дальнейшей проверке. При этом могут быть допущены ошибки двух типов) ошибка первого рода — отвергнута правильная гипотеза) ошибка второго рода — принята неправильная гипотеза.
Вероятность совершить ошибку первого рода обычно обозначают через α и называют уровнем значимости. Наиболее часто α = 0,05 или α = 0,01.
4.4.2. Построение критических областей.
Задача сравнения дисперсий двух нормально распределённых величин
Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную одномерную случайную величину K, точное или приближённое распределение которой известно. Эту величину называют статистическим критерием.
При проверке нулевой гипотезы поданным выборок вычисляют частные значения величин, от которых зависит критерий и находят частные значения критерия K. Это значение K, вычисленное поданным выборки, называют наблюдаемым значением критерия и обозначают K
набл
Множество всех возможных значений критерия K разбивают на два непересекающихся подмножества. Одно из них содержит те значения критерия, при которых основная гипотеза отвергается. Это множество называют критической областью. Областью принятия гипотезы, или областью допустимых значений называют совокупность значений критерия, при которых основную гипотезу принимают.
Так как K — одномерная случайная величина, то все её значения заполняют некоторый интервал. Критическая область и область принятия решений также интервалы, следовательно,
существуют точки, разделяющие их. Эти точки называют критическими и обозначают K
кр
Критическую область называют правосторонней, если она определяется неравенством K > кр, где кр 0 — некоторое число, и левосторонней, если K < кр 0, и двусторонней,
если K > кр, K < кр, кр K
2кр
Основной принцип проверки статистических гипотез заключается в следующем если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают. Гипотезу принимают, если наблюдаемое значение принадлежит области допустимых значений, опираясь при этом на принцип практической невозможности маловероятных событий.
Для отыскания критических точек задают достаточно малую вероятность α — уровень значимости, а затем ищут критические точки, исходя из требования, чтобы вероятность того,
что критерий примет значения, лежащие в критической области, была равна принятому уровню значимости. В результате получаем (K > кр) = в случае правосторонней критической области (K < кр) = в случае левосторонней критической области (K < кр) + P (K > кр) = в случае двусторонней критической области

Для многих критериев K составлены таблицы, позволяющие по одному из условий (4.19), (4.20) или (4.21) найти точку
K
кр или точки кр икр. В зависимости от наблюдаемого значения критерия основная гипотеза будет принята или от- вергнута.
В качестве примера проверки статистических гипотез рассмотрим следующую задачу. Пусть даны две случайные величины и Y , распределённые по нормальному закону. Поданным выборок объёмом и соответственно подсчитаны исправленные выборочные дисперсии ¯
D
x и ¯
D
y
. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу,
состоящую в том, что D
x
= D
y
. Такая задача возникает при сравнении точности двух приборов, при сравнении различных методов измерений. Обычно выборочные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос существенно или нет они различаются Если различие незначимо, то имеет место нулевая гипотеза, следовательно, приборы имеют одинаковую точность, а различие эмпирических дисперсий объясняется случайными причинами, в частности, случайным отбором объектов выборки.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину F =
D
1
D
2
, где D
1
= max( ¯
D
x
, ¯
D
y
), D
2
=
= min( ¯
D
x
, ¯
D
y
). Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы распределена по известному закону Фишера—
Снедекора со степенями свободы f
1
= n
1
− 1 и f
2
= n
2
− Распределение Фишера—Снедекора зависит только от и и не зависит от других параметров.
Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.
Пусть нулевая гипотеза D
x
= D
y
, а конкурирующая —
D
x
> D
y
. В этом случае строят правостороннюю критическую область P [F > кр, f
1
, f
2
)] = α. Критическую точку
K
кр
(α, f
1
, f
2
) находят по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора. Тогда критическая область определяется неравенством F > кр. Поданным выборок вычисляем F
набл как отношение большей дисперсии к меньшей. Если окажется F
набл
> кр, то нулевая гипотеза отвергается, если

F
набл
< кр, тонет оснований отвергнуть эту гипотезу.
Если конкурирующая гипотеза имеет вид D
x
= D
y
, то строят двустороннюю критическую область, исходя из требования (F > кр) =
α
2
, P (F < кр) =
α
2
. Так как события < кр икр несовместны, то достаточно найти точку
K
1кр
(в таблицах приведены только правосторонние критические точки. Если окажется, что F
набл
< кр, тонет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если же F
набл
> кр, то нулевую гипотезу отвергают. Понятие о критериях согласия
Часто бывает неизвестен закон распределения случайной величины, но имеются основания предполагать, что он имеет определённый вид A. В этом случае выдвигается и проверяется нулевая гипотеза, заключающаяся в том, что исследуемая величина распределена по закону A. Проверку этой гипотезы также производят на основе специально подобранной случайной величины, называемой критерием согласия. Критерием согласия может быть:
а) сумма квадратов отклонений эмпирических частот от теоретических для каждого разряда — частичного интервала
(критерий согласия Пирсона);
б) сумма абсолютных значений отклонений эмпирических и теоретических частот для каждого разряда;
в) максимальное значение разности между эмпирической и теоретической функциями распределения (критерий Колмогорова) и др.
Рассмотрим применение критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины По результатам выборки подсчитывают n
∗
i
— эмпирическую абсолютную частоту для каждого разряда ˜
m — оценку математического ожидания ˜
σ — несмещённую оценку среднего квадратического отклонения числа p i
= P (x i
< x < x в предположении нормальности случайной величины X с параметрами числа n i
= n · p i
— теоретические частоты, где n — объём выборки

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину χ
2
=
i
(n
∗
i
− n i
)
2
n
∗
i
. Доказано, что при n → ∞ закон распределения этой случайной величины, независимо от закона распределения изучаемой величины X, стремится к известному закону с f степенями свободы. Число f находят из равенства f = i − r − 1, где i — число частичных интервалов, r — число параметров предполагаемого распределения. В случае нормального закона r = Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости α: P [χ
2
>
> кр, f )] = α. Точка кр поданными находится по таблице критических точек распределения χ
2
. На основании выборки вычисляем χ
2
набл
. Если χ
2
набл
> кр, то нулевую гипотезу отвергают, в противном случае её можно принять

5. Задания для контрольных работ. О самоконтроле при выполнении контрольных работ
При наличии устройства СИМВОЛ или его компьютерного варианта работы можно выполнять в режиме автоматизированного самоконтроля. В данных контрольных работах необходимо соблюдать следующие требования) в контрольной работе № 11 в задачах 1—6 нецелые ответы, если нет дополнительных указаний, вводить в виде обыкновенной дробине выделяя целой части. В задаче 7 нецелые ответы вводить в виде десятичной дроби. Ряд распределения вводят так сначала вводят все значения X в порядке возрастания, а затем — вероятности этих значений) в контрольной работе № 12 в задачах 1 и 3 нецелые ответы вводить в виде десятичной дроби, а в задаче 2 — в виде обыкновенной дробине выделяя целой части. Контрольная работа № Вариант 1 1(371). Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти.
2(5Д1.РП). События A и B независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,76, а ровно одного —
0,52. Найти P (A) и P (B), если P (A) > P (B). В ответ записать сначала P (A), а затем P (B) в виде десятичной дроби.
3(663.Д7). Рабочий обслуживает три станка. Первый станок может требовать ремонта с вероятностью p
1
= 0,2; второй —
p
2
= 0,3; а третий — p
3
= 0,4. Найти вероятность того, что не более двух станков потребует ремонта. Ответ ввести в виде десятичной дроби. В бригаде 7 женщин и 8 мужчин. Случайно по табельным номерам отобрано 3 человека. Случайная величина X — число женщин среди отобранных. Найти а) (181.РП) ряд распределения б) (851) функцию распределения F (x), в ответ ввести (5/2); в) (П) m x
; г) Ад ОТ. Ключи K
1
, K
2
, соединены по указанной схеме

Вероятности того, что они замкнуты равны соответственно 0,4; 0,6. При включении в сеть цепь M N оказалась замкнутой. Найти вероятность того, что при этом ключи и были замкнуты, а ключ разомкнут. Дана плотность распределения случайной величины X:
ρ(x) =



0, x < 0,
Ax
2
+ 3/2, 0 ≤ x ≤ 1,
0, x > Найти (все ответы вводить в виде десятичной дроби):
а) (Д6.Д7) константу A; функцию распределения F (x), в ответ ввести (Д) F (1/3); (Д) F (1/2); в) (АД) m x
; г) (Д д) (ПД.Д6) P (1/3 < x < 1/2).
7(250). Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от проектного не превышает 15 мм. Величина X нормальна и m x
= 0,
σ
x
= 10 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат Ответ округлить до целых.
Вариант 2 1(185). Куб, все грани которого окрашены, распилен на кубика одинакового размера, которые затем перемешали. Найти вероятность того, что случайно извлечённый кубик имеет две окрашенные грани. На полке в случайном порядке стоит 10 книг, прич м 4 из них по математике. Случайно взяли три книги. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна по математике. В коробке 20 лампочек, причём 4 из них на 220 В, а — на 127 В. Половина тех и других матовые. Случайно взято лампы. Найти вероятность того, что они разного напряжения и обе матовые.
4(248.Д6). В спартакиаде участвуют 20 спортсменов лыжников и 8 конькобежцев. Вероятность выполнить норму

лыжником равна p
1
= 0,8, а конькобежцем — p
2
= 0,4. Случайно вызвано два спортстмена. Найти вероятность того, что они оба выполнят норму. Ответ ввести в виде десятичной дроби, округлив до 0,001.
5. Два стрелка A и B независимо друг от друга стреляют поочерёдно по некоторой цели, имея по 2 патрона, каждый до первого попадания одним из стрелков или до полного израсходования патронов. Вероятность попадания при одном выстреле стрелком A равна p
1
= 0,2, а стрелком B — p
2
= Стрельбу начинает A. X — общее число промахов. Найти (все ответы вводить в виде десятичной дроби а) (45.РЛ) ряд распределения б) (Д) функцию распределения F (x), в ответ ввести F (3,5); в) (ДА) m x
; г) (80) округлить до д) (Р) P (1,5 ≤ x ≤ 3,5).
6. Задана плотность распределения вероятностей) =



2
a
1 −
x при 0 ≤ x вне, Найти а) (281) константу a; б) (9А1.РП) функцию распределения, в ответ ввести значения F (1), F (2); в) (971) m г) (Т) D
x
; д) (151) P (1 ≤ X ≤ 2).
7(ДС0). Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах,
ошибка X которых распределена нормально, причём m x
= 0,
σ
x
= 0,2 г. Норма веса заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,7 г. Ответ округлить до Вариант 3 1(199). Монета подброшена три раза. Найти вероятность того, что герб появится ровно два раза.
2(СС0). Из 10 радиоламп 4 неисправны. Случайно взято лампы. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна неисправная.
3(381.Д7). Из урны, содержащей 4 белых, 6 красных и 5
чёрных шаров, случайно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что два ихних одного цвета. Ответ записать в виде десятичной дроби, округлив до 0,001.
4(722.ДЛ). В ящике 5 мячей, из которых 3 новые. Для игры

взяли случайно два мяча, после игры вернув их в ящик. Для второй игры случайно взяли ещё два мяча. Найти вероятность того, что они оба новые. Ответ записать в виде десятичной дроби. Пассажир может ждать лётной погоды трое суток, после чего едет поездом. По прогнозам метеорологов вероятность лётной погоды впервые сутки 0,5, во вторые — 0,6, в третьи —
0,8. X — число полных суток до отъезда пассажира. Найти (все нецелые ответы вводить в виде десятичной дроби а) (ДТ.БЛ)
ряд распределения X; б) (А) функцию распределения F (x), в ответе записать F (2,5); в) (С) m x
; г) (44) D
x
, ответ округлить до 0,001; д) (С) P (1,5 ≤ X ≤ 2,5).
6. Дана функция распределения случайной величины (x) если x ≤ 0,
x
2
a
, если 0 < x если x > Найти а) (Д) константу a; б) ρ(x); в) (351) m x
; г) (АТ) д) (ТП1) P
1 2
≤ X < 1 АД. Изделие считается высшего сорта, если отклонение его размера от номинала не превышает по модулю 3,45 мм.
Случайные отклонения X распределены нормально, причём m
x
= 0, σ
x
= 3 мм. Определить вероятность того, что случайно взятое изделие — высшего сорта. Ответ округлить до Вариант 4 Т. В коробке 4 одинаковых занумерованных кубика. По одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлечённых кубиков появятся в возрастающем порядке.
2(834.Д6). Выстрелив один раз, стрелок уступает очередь другому. У каждого стрелка по два патрона. Вероятность попадания каждым из них при одном выстреле равна 0,2. Приз получает стрелок, первым попавший в цель. Найти вероятность того, что приз получит стрелок, начавший стрелять первым.
Ответ ввести в виде десятичной дроби.
3(9С6). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,05 и не меняется от выстрела к выстрелу. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,75 иметь хотя бы одно попадание. Имеется две партии изделий, состоящих из 10 изделий каждая, по 6 — первого сорта и 4 — второго. Из первой партии извлекли изделие и переложили во вторую, после чего из второй партии берут одно изделие. Найти вероятность того,
что оно второго сорта. Вероятность того, что деталь первого сорта, равна Отобрано 4 детали. X — число деталей первого сорта среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей а) (5П.БП) ряд распределения X; б) (А) функцию распределения F (x), в ответ ввести значение F (3); в) (С x
; г) (Д) D
x
; д) (С) P (1,5 ≤ X ≤ 3).
6. Дана плотность распределения вероятностей) =
a(1 − |x|), если |x| если |x| > случайной величины X. Найти а) (С) константу б) (Б) функцию распределения F (x), в ответ ввести значения в) (П) m x
; г) (РР3) D
x
; д) (351)
P −
1 2
≤ X ≤
1 2
7(771). Систематическая ошибка высотомера отсутствует, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднеквадратическую ошибку должен иметь высотомер,
чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по модулю была меньшем. Ответ округлить до целых.
Вариант 5 1(367). Найти вероятность того, что при подбрасывании трёх игральных костей ровно на одной из них выпадет шестёр- ка.
2(4Д8.Д6). Вероятность успешно выполнить упражнение для каждого из двух спортсменов равна 0,6. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, делая по две попытки. Выполнивший первым упражнение успешно получает приз. Найти вероятность того, что приз будет вручён.
3(ПТ9). Для перевозки 20 изделий, среди которых 5 — типа

A, а остальные — типа B, использован грузовик. В пути повреждено два изделия. Найти вероятность того, что они одного типа.
4(5ТО.Д7). Имеется 10 урн с шарами. В двух из них — 8 белых и 2 чёрных, в трёх — 6 белых и 4 чёрных, в пяти — 5 белых и 5 чёрных. Из случайно взятой урны извлекли два шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что они извлечены из первой группы урн. Ответ ввести в виде десятичной дроби,
округлив до 0,01.
5. Изделие может оказаться дефектным с вероятностью p = 0,3 каждое. Из партии выбирают три изделия. X — число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей а) (2А.РЛ) ряд распределения б) (58.РП) функцию распределения F (x), вот- вет ввести F (0,5), F (2,5); в) (АА2) m x
; г) (302) D
x
; д) (103)
P (0,5 ≤ X ≤ 2,5).
6. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X: ρ(x) =





A cos x, если |x| если |x| Найти (ответы вводить в виде десятичных дробей а) (6Р2)
константу A; б) (С) функцию распределения F (x), в ответ записать F
π
6
; в) (П) m x
; г) (201) D
x
, ответ округлить до сотых, приняв π = 3,14; д) (Р) P −
π
6
< X <
π
6 7(801). Стрельба ведётся из точки вдоль прямой. Средняя дальность полёта равна m. Предполагается, что дальность пол та X распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 80 м. Найти, какой процент снарядов даёт перелёт от 100 м дом. Ответ округлить до целых.
Вариант 6 П. В ящике 10 шаров с номерами 1, 2, . . . , 10. Случайно извлекают два шара. Найти вероятность того, что среди них окажется шар с номером 1. Ответ записать десятичной дробью.
2(С36). События A и B независимы. Вероятность наступления ровно одного из них равна 0,56. Найти P (B), если известно,
что P (A) = 0,8. Ответ записать в виде десятичной дроби.
3(СС6). Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь — высшего сорта, равна 0,8. Для второго станка эта вероятность равна 0,5. На первом станке изготовлено две детали, на втором — три. Найти вероятность того, что среди этих пяти деталей хотя бы одна — не высшего сорта. Ответ записать в виде десятичной дроби.
4(1С4.Д7). Имеется две партии изделий. Впервой партии изделий, из них 8 — первого сорта, во второй партии 8 изделий, из них 6 — первого сорта. Из первой партии во вторую переложили два изделия, затем из второй партии взяли одно изделие. Найти вероятность того, что оно первого сорта. Ответ записать в виде десятичной дроби, округлив до 0,01.
5(96.РП). В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Без возвращения из урны извлекают шары до тех пор, пока не появятся 2 белых шара. X число извлечённых шаров. Найти (все ответы вводить в виде несократимой обыкновенной дроби а) (ПП5.РП) ряд распределения случайной величины X; б) (ТС5.РП) функцию распределения F (x). В ответ ввести значения F (2,8) ив г) (775) D
x
; д) (305) P (2,8 ≤ x ≤ 4,5).
6. Случайная величина X задана функцией распределения (x) если x ≤ −1,
Ax
3
+ B, если −1 < x если x > Найти а) (Р) константы A и B; б) ρ(x); в) (654) m x
; г) (С д) (114) P (0 < X < Д. Завод изготавливает шарики для подшипников.
Номинальный диаметр шарика d
0
= 5 мм. Фактический диаметр нормальная случайная величина с математическим ожиданием d
1
= 5 мм и среднеквадратическим отклонением мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинала более, чем на 0,1 мм. Определить процент брака. Округлить до Вариант 7 1(125). В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них

Д. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Ответ записать в виде десятичной дроби.
3(447.Д7). Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек A, B, C. Если в A книга не обнаружена, он идёт в B. Если в B книги нет, он идёт в Найти вероятность того, что студент книгу получит. Ответ записать в виде десятичной дроби.
4(2П8). Ключи K
1
, K
2
, K
3
, соединены по указанной
N
K
4
K
3
M
K
2
K
1
схеме. Вероятности, что эти ключи замкнуты соответственно равны 0,1;
0,2; 0,4; 0,5. При включении в сеть цепь M N оказалась замкнутой.
Найти вероятность того, что при этом ключ был замкнута ключ разомкнут. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё извлекают шара. X — число белых шаров среди извлечённых. Найти:
а) (1А.БП) ряд распределения X; б) (65.БЛ) функцию распределения, в ответе записать значения F (0,2), F (в) (Р) m x
; г) (ТР3) D
x
; д) (Р) P (0,2 < X < 2,5).
6. Дана функция распределения случайной величины X:
F (x) если x ≤ 0,
1 2
· если 0 < x ≤ 1,
1 3
+ Ax
2
, если 1 < x если x > Найти а) (6С.БП) константы A и B; б) плотность распределения в) (П) m x
; г) (233) D
x
; д) (573) P
1 4
≤ X ≤ 2 .
7(Д7.Д8). Случайная величина X нормальна, причём m x
=
= 0. Найти σ
x
, если известно, что P (−1 < X < 1) = 0,5. Ответ округлить до 0,1.
124

Вариант 8 Р. В ящике 10 деталей, среди которых 3 бракованных.
Случайно извлекли 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованных.
2(790.Д6). ОТК проверяет изделие на стандартность. Вероятность стандартности изделия равна 0,85. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно. Ответ записать в виде десятичной дроби.
3(4Д1.Д6). Три стрелка A, B, C стреляют по некоторой цели, делая не более одного выстрела. Вероятности попадания их при одном выстреле соответственно равны 0,7, 0,8, 0,9. Стрельбу начинает A. Если он промахнётся, то стреляет B. Если и B
промахнётся, то стреляет C. Найти вероятность (в виде десятичной дроби) того, что цель будет поражена.
4(СС2.Д7). При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить туберкулёз равна 0,9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0,01. Доля больных туберкул зом ко всему населению равна 0,001. Найти вероятность того, что человек здоров, хотя он признан больным при обследовании. Ответ округлить до 0,001.
5. Стрельба продолжается до первого попадания, ноне более х выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. X — число израсходованных патронов. Найти (ответы вводить в виде десятичной дроби а) (ДБ) ряд распределения б) (Р) функцию распределения F (x), в ответ записать в) (814) m x
; г) (684) D
x
, ответ округлить до 0,01; д) (074) P (1,5 < X < 3,5).
6. Дана плотность распределения случайной величины X:
ρ(x) если x ≤ 0,
Ax, если 0 < x если x > Найти а) (394) константу A; б) (Д) функцию распределения (x), в ответе записать F (3); в) (Р) m x
; г) (С) д) (024) P (2 < X < 4).
125

А. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от номинала не превышает 18 мм. Величина X распределена нормально, причём σ
x
= 9 мм. Найти вероятность того, что деталь будет признана годной. Ответ округлить до Вариант 9 А. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, помня лишь, что они отличны от нуля, набрал их случайно. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
2(РД4.Д6). Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие высшего сорта, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два окажутся высшего сорта. Ответ записать в виде десятичной дроби.
3(3С5.Д7). Стрелки A, B, C стреляют по некоторой цели,
делая не более одного выстрела каждый. Вероятности их попадания равны соответственно 0,4; 0,6; 0,8. Первым стреляет A. В
случае его промаха стреляет B. Если и B промахнётся, то стреляет. Найти вероятность того, что не все стрелки выстрелят.
Ответ записать в виде десятичной дроби.
4(470.Д7). Два из четырёх независимо работающих элементов отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и третий элементы, если вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3; 0,1. Ответ округлить до 0,001.
5. В партии из 10 изделий 4 стандартных. Отобрано 3 изделия число стандартных изделий среди отобранных. Найти а) (7Р.РП) ряд распределения X; б) (0Т.РП) функцию распределения, в ответе записать F (0,2), F (2,5); в) (ПД5)
m x
; г) (СД5) D
x
; д) (Д) P (0,2 ≤ X ≤ 2,5).
6. Дана плотность распределения величины X:
ρ(x) если x ≤ 0,
A(x
2
+ 2x), если 0 < x если x > Найти а) (385) константу A; б) (А) функцию F (x), в ответ

ввести значение F
1 2
; в) (СП5) m x
; г) (А) D
x ответ записать в виде десятичной дроби, округлив до д) (СС0) P 0 < X <
1 2
7(Д8.Д7). Производится стрельба по цели, имеющей вид полосы шириной 20 м. Прицеливание производится по средней линии полосы. Систематическая ошибка отсутствует, сред- неквадратическое отклонение точки попадания от середины полосы равном. Найти вероятность попадания в полосу при одном выстреле. Ответ записать в виде десятичной дроби, округлив до Вариант 10 1(СА7). Из группы, состоящей из трёх мужчин и четырёх женщин, отобрано 4 человека. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется две женщины.
2(ДТ.Д8). События A и B независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,94. Найти P (A), если (B) = 0,7. Ответ записать в виде десятичной дроби.
3(04.Д7). Стрелки A, B, C стреляют по цели, делая не более одного выстрела каждый. Вероятности их попадания соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6. Первым стреляет A, в случае его промаха стреляет B. Если и B промахнётся, то стреляет Найти вероятность того, что цель будет поражена стрелком или C. Ответ записать в виде десятичной дроби.
4(Д8.ДЛ). Имеется две урны. Впервой белых и 7 чёр- ных шаров, а во второй — 5 белых и 5 чёрных. Из первой урны во вторую переложили 2 шара. После этого из второй урны извлекли шар. Какова вероятность того, что он белый. Ответ записать в виде десятичной дроби, округлив до 0,001.
5. Производится контроль партии из х изделий. Вероятность изделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружении первого неисправного изделия. X число обследованных приборов. Найти (все ответы вводить в виде десятичной дроби а) (П31.РП) ряд распределения б) (181) функцию распределения F (x), в ответ ввести F (в) (791) m x
; г) (АД) D
x
; д) (Д) P (1,5 < X < 3,5).
127

6. Дана плотность распределения случайной величины X:
ρ(x) =
A(1 − x
2
), если |x| < если |x| > Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей):
а) (946) константу A; б) (Т) функцию распределения F (в ответ записать F (0); в) (058) m x
; г) (909) D
x
; д) (Б74.Д7)
P (0 < X < 0,5).
7(2Т.Д8). Случайная величина X распределена по нормальному закону, причём m x
= 40, D
x
= 2000. Найти P (30 ≤ X ≤
≤ 80). Ответ округлить до 0,1.
5.3. Контрольная работа № Вариант 1 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
2 3
5 1
0,3400 0,1600 0,1000 2
0,1200 0,1800 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (СД1.Д7) m в) (Д) m y
; г) (Р81.Д5) D
x
; д) (Т11.Д7) D
y
; е) (5С1.Д6)
cov(X, Y ); ж) (АТ1.Д7) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если Y = 1; и) (Д) M [X/Y = 1].
2. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(2, 0), B(0, 1),
0 в остальных точках.
Найти: а) (Т) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (П) m г) (630) m y
; д) (А) D
x
; е) (ПП0) D
y
; ж) (С) cov(X, Y з) (270) r xy
; и) (610) F 1,
1 2
; к) (С) M X/Y =
1 4
3(3С1.Д7). Среднее квадратичное отклонение нормальной случайной величины X равно 20. Объём выборки равен Выборочное математическое ожидание ˜
a равно 3. Построить доверительный интервал для оценки математического ожидания величины X с надёжностью γ = 0,95. В ответ ввести координату правого конца интервала

Вариант 2 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
3 1
0,1700 0,1300 0,2500 2
0,1000 0,3000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (Д) m y
; г) (Д) D
x
; д) (ДТ1.Д5) D
y
; е) (Дж) (Д) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если X = 3; и) (3П1.Д7) M [Y /X = 3], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(1, 0), B(1, 2),
0 в остальных точках.
Найти: а) (221) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (971) m x
; где) (Тж) (П) cov(X, Y ); з) (ПР) r и) (Р) F
3 4
, 1 ; к) (Р) M Y /X =
1 Д. Среднее квадратичное отклонение нормальной случайной величины X равно 10 единицам. Для выборки объё- ма 100 построить доверительный интервал для оценки математического ожидания a с надёжностью γ = 0,95, если выборочное математическое ожидание равно шести единицам. В ответ ввести координату правого конца интервала.
Вариант 3 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
3 1
0,1300 0,1600 0,2600 2
0,1000 0,2500 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (АП3.Д7) m в) (7С3.Д7) m y
; г) (Д) D
x
; д) (ДР3.Д5) D
y
; е) (Дж) (Д83.Д6) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если Y = 2; и) (Д) M [X/Y = 2].
129

2. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y )
ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(1, 0), B(0, −3),
0 в остальных точках.
Найти: а) (573) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (Т) m где) (Р) D
y
; ж) (П) cov(X, Y з) (Дик) (РР3) M [X/Y = −2].
3(203). Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины X равна, если известно, что среднее квадратичное отклонение σ
x величины равно Вариант 4 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
3 1
0,1000 0,1900 0,2000 2
0,1600 0,2000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (РС1.Д7) m в) (У) m y
; г) (Д) D
x
; д) (ТТ1.Д5) D
y
; е) (Дж) (Д11.Д6) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если Y = 1; и) (Д) M [X/Y = 1], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(−3, 0), B(−3, 1),
0 в остальных точках.
Найти: а) (804) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (860) m г) (Т) m y
; д) Де ж) (060) cov(X, Y з) (Т) r xy
; и) (Т) F −2,
1 2
; к) (Р) M [Y /X = −1].
3(Р84.Д7). Станок-автомат штампует валики. По выборке объёма n = 100 вычислено выборочное математическое ожидание (в сантиметрах) диаметра валика. Найти с надёжностью
0,99 точность δ, с которой выборочное математическое ожидание оценивает математическое ожидание диаметра валика,
зная что их среднее квадратичное отклонение σ = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.
Вариант 5 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
3 1
0,2500 0,1100 0,1600 2
0,1300 0,2000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (АД) m y
; г) (Д) D
x
; д) (Де) (Дж) (С72.Д7) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если X = 1; и) (Д) M [Y /X = 1], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y )
ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(−3, 0), B(0, в остальных точках.
Найти: а) (024) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (А) m г) (905) m y
; д) (Де) (АТ) D
y
; ж) (АР) cov(X, Y з) (018) r xy
; и) (С) F (−1; 1); к) (Р) M X/Y =
1 Д. Поданным независимых измерений некоторой величины найдено среднее арифметическое результатов измерений и исправленная дисперсия s
2
= 64. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины a с надёжностью γ = 0,95. В ответ ввести координату правого конца интервала

Вариант 6 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
3
−1 0,1300 0,2500 0,1600 1
0,2000 0,1600 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (ТР2.Д6) m y
; г) (6Д2.Д5) D
x
; д) (Де) (Т32.Д4)
cov(X, Y ); ж) (СД2.Д6) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если Y = −1; и) (Д) M[X/Y = −1], округлить до 0,01.
2. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y )
ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(2, 0), B(2, в остальных точках.
Найти: а) (П) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (С) m г) (061) m y
; д) (РТ) D
x
; е) (П) D
y
; ж) (870) cov(X, Y з) (Т) r xy
; и) (СП0) F 1, −
1 2
; к) (Т) M [Y /X = АД. Поданным независимых измерений нормально распределённого количественного признака найдена исправленная дисперсия s
2
= 4 и среднее арифметическое результатов измерений ˜
a = 24 единицам. Найти доверительный интервал с надёжностью γ = 0,99 математического ожидания этого количественного признака. В ответ ввести координату правого конца найденного интервала.
Вариант 7 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
−1 0,1600 0,1000 1
0,1900 0,2000 2
0,1500 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (АД) m x
;
132

в) (С02.Д7) m y
; г) (Д) D
x
; д) (1Р2.Д5) D
y
; е) (Дж) (4Т2.Д7) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если X = 2; и) (3С2.Д0) M [Y /X = 2].
2. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(1, 0), B(0, в остальных точках.
Найти: а) (4310) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (626) m где) (С) D
y
; ж) (8РП) cov(X, Y з) (ДТ3) r xy
; и) (С) F (2; 1); к) (410) M Y /X =
1 4
3(Б37.Д8). Поданным выборки объёма n = 25 нормально распределённой случайной величины X найдена исправленная дисперсия s
2
= 4. Найти доверительный интервал, содержащий среднее квадратичное отклонение σ величины X с вероятностью. В ответ ввести координату правого конца построенного интервала.
Вариант 8 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
−1 0
3 2
0,1100 0,2500 0,1400 3
0,1200 0,2000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (ТС3.Д8) m y
; г) (Д) D
x
; д) (Де) (ПДж) (Д) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если X = 0; и) (АД) M [Y /X = 0], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(4, 0), B(4, в остальных точках.
Найти: а) (Т) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (П) m г) (727) m y
; д) (Ре) (П) D
y
; ж) (371) cov(X, Y з) Тик 2
3(Д28.Д8). Поданным выборки объёма n = 12 нормально

распределённой случайной величины X найдена исправленная дисперсия s
2
= 26,01. Найти доверительный интервал, содержащий среднее квадратичное отклонение σ величины X с вероятностью. В ответ ввести координату правого конца ин- тервала.
Вариант 9 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
0 2
4 3
0,1200 0,1500 0,2000 4
0,2500 0,2000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (Д) m y
; г) (С03.Д5) D
x
; д) (7Р3.Д5) D
y
; е) (Дж) (П23.Д6) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если Y = 3; и) (Д) M [X/Y = 3], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y )
ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(4, 0), B(0, в остальных точках.
Найти: а) (РР3) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (С) m г) (С) m y
; д) (СР2) D
x
; е) Тж з) (8214) r xy
; и) (Т) F (2; 1); к) (271) M [Y /X = 3].
3(7П9.Д7). Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надёжностью γ = 0,95, зная что в = 75,20, n = 36, σ = 6. В
ответ ввести координату левого конца построенного интервала

Вариант 10 1. Дана матрица распределения вероятностей системы, Y )
X
Y
1 2
5 2
0,1000 0,2500 0,3000 4
0,1500 0,1000 Найти а) ряды распределений X и Y ; б) (Д) m в) (Т63.Д8) m y
; г) (6П4.Д5) D
x
; д) (Де) (5С6.Д5)
cov(X, Y ); ж) (Д) r xy
, округлить доз) ряд распределения, если X = 2; и) (Д) M [Y /X = 2], округлить до. Дана плотность распределения вероятностей системы, Y ) ρ(x, y) =
C в треугольнике O(0, 0), A(−3, 0), B(−3, 4),
0 в остальных точках.
Найти: а) (Р) константу C; б) ρ
1
(x), ρ
2
(y); в) (А) m г) (284) m y
; д) (ПД5) D
x
; е) (СД6) D
y
; ж) (Д) cov(X, Y з) (078) r xy
; и) (319) F (−1; 5); к) (080) M[X/Y = 1].
3(П10.Д7). Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения сна- дёжностью γ = 0,95, зная, что в = 60, n = 49, σ = 7. В ответ ввести координату левого конца построенного доверительного интервала

Приложения. Элементы комбинаторики. Что изучает комбинаторика
Комбинаторика изучает множества, состоящие из конечного числа элементов (конечные множества, и их отображения в другие множества.
Основными задачами комбинаторики являются задачи выбора, когда из множества предметов нужно отобрать те или иные, расположить их в определенном порядке, среди всех расположений отобрать в каком-либо смысле наилучшие, часто требуется подсчитать число всех возможных решений.
В настоящее время комбинаторные задачи широко встречаются в генетике, химии, теории вероятностей, в теории кодирования и декодирования информации, в теории принятия решений, в теории графов и многих других науках. Выборки и их виды
В большинстве задач комбинаторики предполагается, что имеется некоторое исходное множество, называемое генеральным множеством, генеральной совокупностью, или универсальным множеством. Универсальное множество будем обозначать символом Ω. Например, если изучают множество всех целых неотрицательных чисел, меньших ста, то Ω =
= {0, 1, 2, ..., Любое подмножество универсального множества называется выборкой из этого множества. Например, если Ω =
= {a, b, c, d}, то выборками являются подмножества {a}, {a, b},
{c, d}, {d, b, c} и др. Число элементов выборки обычно называют её объёмом.
Выборка из генеральной совокупности называется упорядоченной, если учитывается не только состав выборки, но и порядок следования её элементов. Если выборки одинакового состава отождествляются, то выборка называется неупорядоченной.
Пусть, например, Ω = {a, b, c}. Рассмотрим выборки по два элемента. Упорядоченные выборки (a, b), (b, a), (a, c), (c, a),
(b, c), (c, b) — всего шесть. Если рассматриваются неупорядоченные выборки, то выборки (a, b) и (b, a), (a, c) и (c, a), (b, c)
136

и (c, b) считаются одинаковыми, имеем только три различные выборки.
Процесс получения выборки можно представить следующим образом извлекается элемент из множества Ω, фиксируется каким-либо образом, затем извлекается следующий и т.д.
В этой схеме различают выборки с возвращением, когда извле- чённый элемент возвращается в универсальное множество, и без возвращения, когда извлечённый элемент не возвращается в Ω. Множеством всех упорядоченных выборок с возвращением по два элемента из множества Ω = {a, b, c} является (a, a),
(b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b). Оно состоит из девяти элементов.
Итак, существует четыре вида выборок упорядоченные без возвращения, неупорядоченные без возвращения, упорядоченные с возвращением и неупорядоченные с возвращением.
В комбинаторике широко используются операции надмножествами объединения, пересечения, разности, отрицания, дополнения, которые мы считаем известными читателю. Правила произведения и суммы
В основе многих комбинаторных задач лежат два правила:
сложения и умножения.
Пусть дано конечное множество A. Число его элементов будем обозначать |A| и называть объемом множества.
Даны два конечных непустых множества A и B и a ∈ A,
b ∈ B — произвольные их элементы. Множество всех упорядоченных пар (a, b) называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A × B. Заметим, что множества и B × A не совпадают, так как пары (a, b) и (b, считаются различными. Аналогично, декартово произведение A
2
× . . . × A
n
) множеств A
1
, A
2
, . . . , A
n определяется как множество всех упорядоченных конечных последовательностей, a
2
, . . . , a n
), где a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
, . . . , a n
∈ A
n
. Можно рассматривать декартовы произведения вида (A × A), (A × A ×
×A), . . . , (A × A × · · · × Правило произведения. Даны конечные непустые множества, A
2
, . . . , A
n
. Тогда число элементов в декартовом произведении) равно |A
1
| · |A
2
| · · · · |A
n
|, те

|A
1
× A
2
× . . . × A
n
| = |A
1
| · |A
2
| · · · · · Другими словами выбрать один элемент из декартова произведения) можно |A
1
|·|A
2
|·· · · |A
n
| способами.
В частности, если |A| = n, то декартово произведение (A × содержит элементов. Это множество совпадает с множеством всех упорядоченных выборок с возвращением по два элемента из множества A. Если рассматривать выборки по два элемента из множества A без возвращения, то их число равно n(n − 1), так как первый элемент выборки, b) можно выбрать n способами, а второй, после выбора первого, лишь (n − 1) способами. Имеем декартово произведение множества A и множества, получающегося из A исключением выбранного первого элемента Пример 1
. Даны цифры 1,2,3,4. Сколько различных двузначных чисел можно записать из этих цифр, сколько среди них чисел, в которых цифры не повторяются?
Решение
. Имеем множество A = {1, 2, 3, 4} объема 4. Любое двузначное число, образованное этими цифрами, является элементом множества (A × A), которое по правилу произведения содержит 4 · 4 = 16 элементов, поэтому существует 16 различных двузначных чисел из цифр 1,2,3,4. Если цифры в числе не повторяются, то первую цифру можно выбрать n = 4 способами, а вторую — (n−1) = 3 способами. По правилу произведения получаем, что таких различных чисел всего 4 × 3 = Пример 2