Л. И. Магазинников Высшая математика IV

• Название: Л. И. Магазинников Высшая математика IV
• Дата: 04.03.2018
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: ver-st1 (1).pdf
• Тип: Документы; #37694
• страница: 10 из 10

. Даны цифры 0,1,2,3,4. Сколько различных двузначных чисел можно получить, используя только эти цифры?
Решение
. Так как двузначное число начинаться с нуля не может, то первую цифру можно выбрать n = 4 способами, а вторую — пятью способами. По правилу произведения двузначных различных чисел из цифр 0,1,2,3,4 всего 4 · 5 = Подсчитайте самостоятельно, сколько среди них чисел, содержащих различные цифры?
Правило сложения. Если A и B конечные, не имеющие общих элементов множества, то |A∪B| = |A|+|B|. В этом случае множество A∩B = ⊘. Если же A∩B = ⊘, то правило сложения имеет вид ∪ B| = |A| + |B| − |(A ∩ B)|.
(2)
138

Правило сложения можно распространить на любое число конечных множеств A
1
, A
2
, . . . , A
n
. Если эти множества не имеют общих элементов, тов противном случае, при n = 3:
|A
1
∪ A
2
∪ A
3
| = |A
1
| + |A
2
| + |A
3
| − |A
1
∩ A
2
|−
−|A
1
∩ A
3
| − |A
2
∩ A
3
| + при n = 4:
|A
1
∪ A
2
∪ A
3
∪ A
4
| = |A
1
| + |A
2
| + |A
3
| + |A
4
| − |A
1
∩ A
2
|−
−|A
1
∩ A
3
| − |A
1
∩ A
4
| + |A
1
∩ A
2
∩ A
3
| + |A
1
∩ A
2
∩ A
4
|+
+|A
1
∩ A
3
∩ A
4
| + |A
2
∩ A
3
∩ A
4
| − и т.д. Если заметить закономерность в этих формулах, то записать их при любом значении n не представляет труда.
Напомним, что условие x ∈ (A
1
∪ A
2
∪ . . . ∪ A
n
) означает,
что x принадлежит хотя бы одному из множеств A
1
, A
2
, . . . , что не исключает принадлежности x более, чем одному из множеств, Пример 3

. На полке стоят четыре книги по математике и три книги по физике. Сколько существует способов выбора одной книги?
Решение
. Если A
1
— множество книг по математике, по физике, то по формуле (2) |A
1
∪A
2
| = |A
1
|+|A
2
| = 4+3 = Пример 4
. Из 25 студентов имеют разряд по лыжам 10 человек, по легкой атлетике — 12, по конькам — 3, по лыжами лёгкой атлетике — 8, по коньками лёгкой атлетике — 1, полы- жам и конькам — 2, по всем трем видам спорта имеют разряд два человека. Сколько студентов не имеют спортивного разряда по этим видам спорта?
Решение
. Обозначим A
1
— множество студентов, имеющих разряд по лыжам, A
2
— имеющих разряд по легкой атлетике имеющих разряд по конькам. Тогда |A
1
| = 10,
|A
2
| = 12, |A
3
| = 3, |A
1
∩ A
2
| = 8, |A
1
∩ A
3
| = 2, |A
2
∩ A
3
| = 1,
|A
1
∩ A
2
| ∩ A
3
| = По формуле (3): |A
1
∪ A
2
∪ A
3
| = 10 + 12 + 3 − 8 − 2 − 1 + 2 = те. 16 студентов имеют хотя бы один разряд, следовательно = 9 студентов спортивного разряда по этим видам спорта не имеют

A4. Перестановки без повторения
Пусть дано множество A = (a
1
, a
2
, . . . , a n
), содержащее n элементов. Перестановкой называется любая упорядоченная выборка без возвращения объёма n из множества A; другими словами, перестановка — это любое упорядоченное множество, содержащее все элементы a
1
, a
2
, . . . , a без повторений.
Число всех перестановок обозначают символом P
n
(n — число различных элементов, участвующих в перестановках. Первый элемент перестановки можно выбрать из множества A n способами, второй элемент можно выбрать из множества B, содержащего) элемент множества A, исключая выбранный элемент, итак далее до последнего элемента, выбрать который можно единственным способом. По правилу произведения получаем P
n
= n(n − 1)(n − 2) · · · · · 3 · 2 · 1 = Пример 5

. Даны цифры 1,2,3,4,5. Сколько различных пятизначных чисел можно получить, переставляя эти цифры?
Решение
. В данном случае n = 5, количество пятизначных чисел равно P
5
= 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
A5. Перестановки с повторением
Пусть дано множество A = {a
1
, a
2
, . . . , a n
}, содержащее n элементов. Любая упорядоченная выборка с возвращением, в которую элемент входит раз, элемент a
2
— раз, элемент раз, причём ни одно из чисел m
1
, m
2
, . . . , m неравно нулю, называется перестановкой с повторением элементов множества A. Если m
1
+ m
2
+ · · · + m n
= m, то число всех перестановок с повторениями обозначим ˜
P
m
. Одну из выборок с возвращением при заданных числах m
1
, m
2
, . . . , m можно записать в виде a
1
, a
1
, . . . , раз, a
2
, a
2
, . . . , раз, . . . , a n
, a n
, . . . , a n
m n
раз
(4)
Все другие выборки с возвращением при этих же числах m
1
, m
2
, . . . , m сводятся к перестановке элементов последовательности, но при этом m
1
! · m
2
! · . . . · m n
! выборок, получающихся перестановкой только элементов a
1
, только элементов a
2
, . . . , только элементов a n
, неразличимы, те. дают одну и туже выборку. Поэтому · m
2
! · . . . · m n
!
,
(5)
140

где m = m
1
+ m
2
+ · · · + m Пример 6
. На тарелке лежат 4 яблока, 2 персика и 5 слив.

Сколько существует способов взять три плода?
Решение
. В данном случае m = 4 + 2 + 5 = 11, m
1
= 4,
m
2
= 2, m
3
= 5. Неизвестное число способов, очевидно, равно. По формуле (5) получим · 2! · 5!
=
11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 1 · 2 · 3 · 4 · 2 · 5 · 4 · 3 · 2
= 6930.
A6. Размещение без повторения
Пусть дано конечное множество A объёма n, те. |A| = и m ≤ n — любое натуральное число. Размещением без повторения из n элементов по m называется любая упорядоченная выборка без возвращения объёма m из множества A объёма Число всех размещений из n элементов по m обозначают A
m Пусть, например, множество A состоит из элементов {a, b, Тогда различными размещениями по два элемента из трёх являются подмножества {a, b}, {b, a}, {b, c}, {c, b}, {a, c}, {c, которые мы уже отмечали, те. A
2 3
= 6. Если множество A содержит элементов, то любое упорядоченное множество из m элементов строим следующим образом. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элемент — (n − 1) способами из оставшихся итак далее, й элемент — (n − m + 1) способами. По правилу произведения всё множество можно выбрать n(n − 1)(n − 2) · · · · · (n − m + 1) способами, те n
= n(n − 1)(n − 2) · · · · · (n − m + Это формула числа размещений из n элементов по m без по- вторения.
Пример 7
. На четыре различных должности претендует кандидатов. Сколько существует вариантов занять эти должности Решение. Это число, очевидно, равно A
4 9
. По формуле (при n = 9, m = 4 находим A
4 9
= 9 · 8 · 7 · 6 = 72 · 42 = Пример 8
. Из 10 изучаемых предметов для сдачи экзамена ученики должны выбрать три. Сколько вариантов расписания экзаменов можно предположить?
Решение
. Число вариантов расписания экзаменов совпадает с числом A
3 10
= 10 · 9 · 8 = 720.
141

A7. Размещение c повторением
Пусть дано множество A объёма n. Размещением по m элементов из множества A с повторениями называется любая упорядоченная выборка с возвращением объёма m. Их число обозначим через ˜
A
m n
. Поскольку каждый отбираемый элемент возвращается в исходное множество, то любой элемент размещения может быть выбран n способами. По правилу произведения раз, следовательно n
= n Пример 9
. Три стрелка, первый, второй и третий, стреляют по шести различным целям, выбирая цель случайно, независимо друг от друга. Сколько существует вариантов обстрела этих целей?
Решение
. Каждый стрелок может выбрать цель шестью способами. Поэтому множество вариантов обстрела состоит из элементов. По формуле (7) находим ˜
A
3 6
= 6 3
= Подсчитайте самостоятельно число способов обстрела, если будут выбраны три различных цели. Сколько существует способов обстрела, если по одной цели будут стрелять более одного стрелка. Сочетания без повторения
Пусть, как и прежде, дано конечное множество A объёма Сочетанием из n элементов по m элементов (m ≤ n) без повторения называется любая неупорядоченная без возвращения выборка объема m. Другими словами — это любое подмножество множества A объема Напомним, что само множество и все его подмножества рассматриваются как неупорядоченные совокупности.
Число всех сочетаний без повторения из n элементов по m элементов обозначают C
m Возьмем конкретное сочетание Q, те. подмножество, содержащее элементов. Из этого неупорядоченного подмножества можно получить m! упорядоченных подмножеств объёма m путем всевозможных перестановок элементов множества Q. Получим различных размещений из n элементов по m. Каждому сочетанию соответствует m! размещений, следовательно

A
m n
= C
m n
· m!, поэтому C
m n
=
A
m n
m!
. Применяя формулу (получаем n
=
n(n − 1)(n − 2) · · · · · (n − m + Если числитель и знаменатель в (8) умножить на (n − m)!, то формулу (8) можно записать в виде n
=
n!
m!(n − Из соотношения (8) следует, что C
n n
= 1. Для общности записи формул принято соглашение, что 0! = 1. Тогда следует считать, что C
0
n
= 1, хотя понятие C
0
n лишено смысла.
Легко доказать справедливость следующих соотношений) C
m n
= C
n−m n
; 2) C
m n
= C
m n−1
+ C
m−1
n−1
;
3) C
0
n
+ C
1
n
+ · · · + C
n n
= Пример 10

. Сколько различных стартовых шестёрок можно образовать из 10 волейболистов?
Решение
. Число стартовых шестёрок, очевидно, равно C
6 По формуле (8) находим 10
=
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 6!
= Пример 11
. На окружности расположены двенадцать точек.
Каждая пара точек соединена прямой линией. Сколько точек пересечения этих прямых находится внутри круга, ограниченного этой окружностью?
Решение
. Каждая четвёрка точек на окружности порождает одну точку пересечения внутри круга. Поэтому, число точек пересечения совпадает с числом различных четверок точек на окружности, но количество таких четверок равно 12
=
12 · 11 · 10 · 9 4!
= 495.
A9. Сочетание c повторениями
Пусть дано множество A, содержащее n элементов. Сочетанием с повторением из n элементов по m (m- любое натуральное число) называется любая неупорядоченная с возвращением

выборка объёма m. Число всех сочетаний с повторением из n элементов по m обозначим ˜
C
m Множество A обозначим в виде A = {a
1
, a
2
, . . . , a n
}. Здесь все a
1
, a
2
, . . . a n
— различные элементы. Никакие два между собой не совпадают.
Пусть в неупорядоченной выборке с возвращением объёма m элемент встречается раз, a
2
− раз ,. . ., a n
− m раз, так что m
1
+ m
2
+ . . .
+
m n
= m. Этой выборке взаимно однозначно можно сопоставить двоичный код, состоящий из нулей и единиц 1 1 . . . раз 1 1 1 . . . раз 1 1 1 . . . раз . . . 0 1 1 1 . . . 1
m n
раз
(10)
Здесь нули разделяют серию одних повторяющихся элементов от другой повторяющейся серии. Эти нули назовем разделительными. Их, очевидно, n−1. Поэтому длина кода (10) равна. Число ˜
C
m равно числу всех кодов вида (содержащих m единиц и n−1 нулей, те. из m+n−1 мест нужно выбрать (n − 1) мести поставить в них (n − 1) разделительных нулей. Это можно сделать C
n−1
m+n−1
= C
m m+n−1
способами.
Следовательно:
˜
C
m n
= C
n−1
m+n−1
= C
m Заметим, что код (10) может начинаться с нулей, заканчиваться нулями, несколько нулей подряд может находиться внутри кода. Определите, каким выборкам соответствуют подобные коды.
Пример 12
. В мебельном магазине имеется 4 вида стульев.

Требуется купить 8 стульев. Сколько различных наборов стульев можно сформировать для покупки?
Решение
. Очевидно, что некоторые виды стульев в наборе будут повторяться и набор является неупорядоченной выборкой, те. некоторым сочетанием с повторением из четырёх элементов по восьми. Поэтому число всех наборов равно ˜
C
8 4
. Пользуясь формулой (11) при n = 4, m = 8, находим ˜
C
8 4
= C
8 11
=
= C
3 11
. Теперь применим формулу (8).
C
3 11
=
11 · 10 · 9 3!
= 165.
144

B. Таблица значений функции ϕ(x) =
1
√
2π
exp −
x
2 2
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 14 5

Продолжение приложения B
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 14 6

C. Таблица значений функции) =
1
√
2π
x
0
exp −
z
2 2
dz x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
0,00 0,0000 0,24 0,0948 0,48 0,1844 0,72 0,2642 0,01 0,0040 0,25 0,0987 0,49 0,1879 0,73 0,2673 0,02 0,0080 0,26 0,1026 0,50 0,1915 0,74 0,2703 0,03 0,0120 0,27 0,1064 0,51 0,1950 0,75 0,2734 0,04 0,0160 0,28 0,1103 0,52 0,1985 0,76 0,2764 0,05 0,0199 0,29 0,1141 0,53 0,2019 0,77 0,2794 0,06 0,0239 0,30 0,1179 0,54 0,2054 0,78 0,2823 0,07 0,0279 0,31 0,1217 0,55 0,2088 0,79 0,2852 0,08 0,0319 0,32 0,1255 0,56 0,2123 0,80 0,2881 0,09 0,0359 0,33 0,1293 0,57 0,2157 0,81 0,2910 0,10 0,0398 0,34 0,1331 0,58 0,2190 0,82 0,2939 0,11 0,0438 0,35 0,1368 0,59 0,2224 0,83 0,2967 0,12 0,0478 0,36 0,1406 0,60 0,2257 0,84 0,2995 0,13 0,0517 0,37 0,1443 0,61 0,2291 0,85 0,3023 0,14 0,0557 0,38 0,1480 0,62 0,2324 0,86 0,3051 0,15 0,0596 0,39 0,1517 0,63 0,2357 0,87 0,3078 0,16 0,0636 0,40 0,1554 0,64 0,2389 0,88 0,3106 0,17 0,0675 0,41 0,1591 0,65 0,2422 0,89 0,3133 0,18 0,0714 0,42 0,1628 0,66 0,2454 0,90 0,3159 0,19 0,0753 0,43 0,1664 0,67 0,2486 0,91 0,3186 0,20 0,0793 0,44 0,1700 0,68 0,2517 0,92 0,3212 0,21 0,0832 0,45 0,1736 0,69 0,2549 0,93 0,3238 0,22 0,0871 0,46 0,1772 0,70 0,2580 0,94 0,3264 0,23 0,0910 0,47 0,1808 0,71 0,2611 0,95 0,3289 147

Продолжение приложения C
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
x
Φ(x)
0,96 0,3315 1,37 0,4147 1,78 0,4625 2,36 0,4909 0,97 0,3340 1,38 0,4162 1,79 0,4633 2,38 0,4913 0,98 0,3365 1,39 0,4177 1,80 0,4641 2,40 0,4918 0,99 0,3389 1,40 0,4192 1,81 0,4649 2,42 0,4922 1,00 0,3413 1,41 0,4207 1,82 0,4656 2,44 0,4927 1,01 0,3438 1,42 0,4222 1,83 0,4664 2,46 0,4931 1,02 0,3461 1,43 0,4236 1,84 0,4671 2,48 0,4934 1,03 0,3485 1,44 0,4251 1,85 0,4678 2,50 0,4938 1,04 0,3508 1,45 0,4265 1,86 0,4686 2,52 0,4941 1,05 0,3531 1,46 0,4279 1,87 0,4693 2,54 0,4945 1,06 0,3554 1,47 0,4292 1,88 0,4699 2,56 0,4948 1,07 0,3577 1,48 0,4306 1,89 0,4706 2,58 0,4951 1,08 0,3599 1,49 0,4319 1,90 0,4713 2,60 0,4953 1,09 0,3621 1,50 0,4332 1,91 0,4719 2,62 0,4956 1,10 0,3643 1,51 0,4345 1,92 0,4726 2,64 0,4959 1,11 0,3665 1,52 0,4357 1,93 0,4732 2,66 0,4961 1,12 0,3686 1,53 0,4370 1,94 0,4738 2,68 0,4963 1,13 0,3708 1,54 0,4382 1,95 0,4744 2,70 0,4965 1,14 0,3729 1,55 0,4394 1,96 0,4750 2,72 0,4967 1,15 0,3749 1,56 0,4406 1,97 0,4756 2,74 0,4969 1,16 0,3770 1,57 0,4418 1,98 0,4761 2,76 0,4971 1,17 0,3790 1,58 0,4429 1,99 0,4767 2,78 0,4973 1,18 0,3810 1,59 0,4441 2,00 0,4772 2,80 0,4974 1,19 0,3830 1,60 0,4452 2,02 0,4783 2,82 0,4976 1,20 0,3849 1,61 0,4463 2,04 0,4793 2,84 0,4977 1,21 0,3869 1,62 0,4474 2,06 0,4803 2,86 0,4979 1,22 0,3883 1,63 0,4484 2,08 0,4812 2,88 0,4980 1,23 0,3907 1,64 0,4495 2,10 0,4821 2,90 0,4981 1,24 0,3925 1,65 0,4505 2,12 0,4830 2,92 0,4982 1,25 0,3944 1,66 0,4515 2,14 0,4838 2,94 0,4984 1,26 0,3962 1,67 0,4525 2,16 0,4846 2,96 0,4985 1,27 0,3980 1,68 0,4535 2,18 0,4854 2,98 0,4986 1,28 0,3997 1,69 0,4545 2,20 0,4861 3,00 0,49865 1,29 0,4015 1,70 0,4554 2,22 0,4868 3,20 0,49931 1,30 0,4032 1,71 0,4564 2,24 0,4875 3,40 0,49966 1,31 0,4049 1,72 0,4573 2,26 0,4881 3,60 0,499841 1,32 0,4066 1,73 0,4582 2,28 0,4887 3,80 0,499928 1,33 0,4082 1,74 0,4591 2,30 0,4893 4,00 0,499968 1,34 0,4099 1,75 0,4599 2,32 0,4898 4,50 0,499997 1,35 0,4115 1,76 0,4608 2,34 0,4904 5,00 0,499997 1,36 0,4131 1,77 0,4616 148

D. Таблица значений t
γ
= t(γ, n)
γ
γ
n
0,95 0,99 0,999
n
0,95 0,99 0,999 5
2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6
2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7
2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8
2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9
2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97
∞
1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92
E. Таблица значений q = q(γ, n)
γ
γ
n
0,95 0,99 0,999
n
0,95 0,99 0,999 5
1,37 2, 67 5,64 20 0,37 0, 58 0,88 6
1,09 2, 01 3,88 25 0,32 0, 49 0,73 7
0,92 1, 62 2,98 30 0,28 0, 43 0,63 8
0,80 1, 38 2,42 35 0,26 0, 38 0,56 9
0,71 1, 20 2,06 40 0,24 0, 35 0,50 10 0,65 1, 08 1,80 45 0,22 0, 32 0,46 11 0,59 0, 98 1,60 50 0,21 0, 30 0,43 12 0,55 0, 90 1,46 60 0,188 0, 269 0,38 13 0,52 0, 83 1,33 70 0,174 0, 245 0,34 14 0,48 0, 78 1,23 80 0,161 0, 226 0,31 15 0,46 0, 73 1,15 90 0,151 0, 211 0,29 16 0,44 0, 70 1,07 100 0,143 0, 198 0,27 17 0,42 0, 66 1,01 150 0,115 0, 160 0,211 18 0,40 0, 63 0,96 200 0,099 0, 136 0,185 19 0,39 0, 60 0,92 250 0,089 0, 120 0,162 149

Литература. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. — М Наука, 1984. — 472 с. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М Физматгиз,
1962. — с. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М Радио и связь, 1983. — с. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М Наука. — с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М Высшая школа, 1977. — с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М Высшая школа с. Буколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Под ред. А.В. Ефимова. — М Наука, 1984. — с. Пугачёв В.С. Теория вероятностей и математическая статистика М Наука, 1979. — с. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. — М.:
Наука, 1970. — с. Володин Б.Г., Ганин М.П., Динер И.Я. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. М Наука, 1970. — с. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — М Наука, 1982. — с. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. — М Изд-во
МГУ, 1972. — с. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. — М Мир, 1964. — с. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. — М Наука. — с. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. — Томск Изд-во Том. унта, 1988. — с