Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
14. Могут ли два события A и B быть одновременно несовместными и независимыми? Если да, то в каком случае? 15. Бросают кубик. Пусть событие A состоит в том, что на кубике выпадет четное число. Приведите пример события, связанного с этим экспериментом и при этом а) независимого от A; б) зависимого от A. 16. Из чисел от 1 до N наугад выбираются два числа. Выясните, будут ли независимыми события A = {выбранное число делится на 2}; B = {выбранное число делится на 3}, при N = 10, 11, 12. 17. Экспериментально было установлено, что канцелярская кнопка падает на пол острием вверх с вероятностью 0, 6, а острием вниз — с вероятностью 0, 4. С какой вероятностью подброшенные вверх 2 кноп- Свойства вероятностей 88 ки упадут на одну и ту же сторону? Сравните этот результат с подбрасы- ванием двух монет. Попробуйте объяснить разницу. 18. В шкафу находится 4 пары ботинок с 42-го по 45-й размеры. Из них случайно выбирают два ботинка. С какой вероятностью это окажет- ся пара 45-го размера? Решите задачу двумя способами: с помощью формулы произведения (для зависимых событий) и через подсчет всех возможных исходов опыта. 19. Среди билетов лотереи «Спринт» около 20% выигрышных. Сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хоть что-нибудь выиграть была больше 0, 5? Методические замечания Основная школа. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Старшая школа. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность про- тивоположного события. Понятие о независимости событий. К разделу 1 Теоретико-множественный подход в свое время лег в основу аксио- матического построения теории вероятностей (см. [29]) и превратил ее в полноценную математическую дисциплину. Учитывая появление эле- ментов теории множеств в стандартах школьного образования, этот под- ход невозможно обойти при изучении случайных событий и свойств ве- роятностей. Материал лекции может быть разделен между основной и старшей школой. В основной школе рассматриваются теоретико-множествен- ные операции над событиями: дополнение, объединение, пересечение. В старшей школе изучается поведение вероятностей под действием этих операций, рассматриваются важнейшие для всей теории понятия несовместных и независимых событий. Первый раздел посвящен простейшей одноместной операции — до- полнению. На языке событий это означает переход к противоположному событию. Вообще использование двух языков — естественного и теоре- тико-множественного — является прекрасным средством развития ло- гического мышления, формирует у учащихся умение переходить от ре- альных ситуаций к их математическим моделям. Вот почему, начиная с этого раздела и на протяжении всей лекции, мы рекомендуем рассмат- Лекция 3 89 ривать параллельно два взгляда на любую операцию: формальный теоре- тико-множественный, в рамках которого каждое событие — это под- множество в ?, и естественный, использующий словесное описание события. После определения операции дополнения и рассмотрения примеров выясняется, как ведет себя вероятность при применении данной опера- ции. Приводится обоснование формулы для вероятности противополож- ного события. Отметим, что при аксиоматическом построении эта фор- мула является элементарным следствием аксиомы аддитивности. Но по- скольку в школьном курсе, следуя [1]—[4], мы рекомендуем использо- вать частотный подход, то и обоснование всех формул здесь и в даль- нейшем мы ищем именно в рамках этого подхода. Хорошо известным средством для наглядного изображения всех опе- раций над множествами служат диаграммы Эйлера, которые мы также вводим в этом разделе. В дальнейшем с помощью диаграмм демонстри- руются различные свойства операций и вероятностей. К разделу 2 В этом разделе рассматриваются две основные операции над событи- ями — объединение и пересечение. Следуя упомянутому выше «двой- ственному» взгляду на события, мы рассматриваем два определения каж- дой операции — формальное теоретико-множественное и естественное словесное. Важно, чтобы при рассмотрении примеров и задач учащиеся почув- ствовали преимущества теоретико-множественного подхода при опре- делении результатов объединения и пересечения. Зачастую именно фор- мальное представление событий как подмножеств в ? позволяет безо- шибочно найти результаты применения любых операций и однозначно их записать; в то время как словесное описание этих результатов может быть весьма запутанным и вызывать у учащихся затруднения логическо- го или даже лингвистического плана. К разделу 3 Следуя «двойственной» природе случайных событий, понятие несов- местности можно рассматривать с двух точек зрения: это события, кото- рые не могут произойти одновременно (естественный язык); это непере- секающиеся множества (теоретико-множественный язык). В любом слу- чае говорить о несовместности событий можно только в рамках одного и того же эксперимента. При теоретико-множественном подходе это ка- Свойства вероятностей 90 жется очевидным (все события — подмножества одного и того же мно- жества ?), а при естественном может легко привести к самым неожи- данным парадоксам (см., например, [25]). С несовместными событиями связано важнейшее свойство вероят- ности — свойство аддитивности. Коротко его можно сформулировать так: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероят- ностей. В аксиоматической теории это является одной из аксиом вероят- ности 1 . При частотном подходе мы обосновываем эту формулу через очевидное соотношение между частотами несовместных событий и их объединения. В конце раздела формула сложения вероятностей обобщается на слу- чай совместных событий. Выясняется, что для ее использования нужно вычислять вероятность пересечения, что естественным образом подво- дит к материалу следующего раздела. К разделу 4 Как уже было сказано в самой лекции, понятие независимости игра- ет фундаментальную роль во всей теории вероятностей. На нем основа- ны наиболее известные результаты этой теории, нашедшие широкое ис- пользование в приложениях и превратившие ее в одну из самых попу- лярных математических дисциплин. Формально независимость означает выполнение соотношения ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ? = ? (*) Сложный вопрос методического плана — как прийти к этой формуле наиболее естественным образом? Если несовместность легко выражает- ся в обычных теоретико-множественных терминах (несовместные ? не- пересекающиеся), то у независимости такого аналога просто нет. Пока- зать независимость на диаграмме Эйлера весьма затруднительно, посколь- ку для этого должны выполняться количественные соотношения между вероятностями. В то же время независимость имеет вполне определен- ный смысл на обычном языке и означает отсутствие какого-либо вза- имного влияния событий друг на друга. Многие авторы предпочитают не тратить время на обсуждение этого вопроса и либо дают формальное определение независимости в виде (*), 1 Если быть более точным, аксиома звучит так: вероятность счетного объедине- ния попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей. Лекция 3 91 либо вообще оставляют это понятие неопределяемым, а соотношение (*) выдают за некую теорему. На наш взгляд, истина лежит, как всегда, по- середине. Формальное определение независимости (*) — как единствен- но верное с математической точки зрения — нужно, кончено, оставить. Учащимся же нужно в любом случае обязательно объяснить, что естественное понимание независимости совпадает с формальным в том случае, если речь идет о событиях, связанных: • с разными объектами, участвующими в эксперименте и не влияю- щими друг на друга (бросаем два разных кубика) ; • с разными этапами одного и того же эксперимента, не влияющими друг на друга (два раза подряд бросаем кубик). В этом случае независимость следует из самой природы опыта, и формулу ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ? = ? можно применять для вычисления ве- роятности пересечения событий. Если же рассматриваются два события, связанные с одним и тем же объектом или этапом эксперимента (примеры 4 и 7 из лекции), незави- симость ниоткуда не следует, и тогда ее нужно доказывать или опро- вергать, проверяя, выполняется ли эта формула. В нашей лекции мы приходим к формуле (*) самым естественным об- разом, принятым во всей учебной литературе, — через условную вероят- ность. При этом приходится вводить лишнее понятие, которого нет в стан- дартах. Такой способ, разумеется, требует дополнительных затрат време- ни, но окупается более глубоким пониманием сути изучаемых явлений. Раздел заканчивается обобщением формулы умножения вероятнос- тей на произвольные (зависимые) события. Это еще один довод за рас- смотрение условной вероятности. Формула, которая кажется очевидным следствием определения условной вероятности, оказывается удобным инструментом для решения многих задач, в которых проводится много- этапный эксперимент, т.е. эксперимент, состоящий из нескольких дей- ствий, следующих во времени друг за другом. В заключение отметим, что появление в этом разделе значительного количества новых формул открывает новые возможности для решения задач — теперь многие из них могут быть решены разными методами, что и демонстрируется в приведенных в лекции примерах. Свойства вероятностей 92 Лекция 4 Случайные величины В этой лекции мы познакомимся с одним из важнейших во всей тео- рии вероятностей понятием случайной величины. Рассмотрим различ- ные виды случайных величин и научимся описывать их поведение. Скажем сразу, что материал этой лекции выходит за рамки нынешне- го стандарта школьного математического образования. Однако знаком- ство с ним необходимо учителю по нескольким причинам: • во-первых, авторы многих современных учебников и учебных по- собий для средней школы включают этот материал в свои пособия; • во-вторых, без понятия случайной величины невозможно полно- ценное овладение основными статистическими понятиями (выборка, таб- лица частот, числовые характеристики выборки и т.д.); • наконец, в-третьих, материал этой лекции может быть использован для разработки элективных курсов. 1. Понятие случайной величины Напомним, что случайным событием мы договорились называть лю- бое событие, связанное со случайным экспериментом. Случайным оно называется потому, что до эксперимента невозможно точно сказать, про- изойдет оно или не произойдет, — это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен. Совершенно аналогично мы будем называть случайной величиной любую числовую величину, связанную со случайным экспериментом. Случайной она называется потому, что до эксперимента невозможно точно предсказать то значение, которое эта величина примет в результате экс- перимента — это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен. Проводя эксперимент многократно, можно наблюдать за поведением случайной величины, фиксируя те значения, которые она будет прини- мать. Располагая определенной информацией, о которой пойдет речь ниже, можно с некоторой степенью уверенности предсказывать поведение слу- чайной величины, что по понятным причинам имеет большое практиче- ское значение. 93 Пример 1. «Два кубика». Рассмотрим эксперимент с подбрасывани- ем двух кубиков. Он имеет 36 равновозможных исходов, каждый из которых можно закодировать парой чисел, выпавших на первом и вто- ром кубиках. Введем следующие величины: X — число очков на первом кубике; Y — число очков на втором кубике; S — сумма очков на двух кубиках; P — произведение очков на двух кубиках; M — максимальное из двух чисел на кубиках. Значение любой из этих пяти величин связано с указанным экспери- ментом. Пусть, например, эксперимент завершился исходом (3; 2). Тог- да перечисленные величины приняли следующие значения: X = 3; Y = 2; S = 5; P = 6; M = 3. При другом исходе эксперимента эти значения будут другими. Для каждого из 36 возможных исходов эксперимента можно точно указать значение каждой из перечисленных выше величин. В нашем опыте это удобно сделать с помощью таблиц. Вот так, например, будет выглядеть таблица значений случайной величины S, равной сумме значений на двух кубиках: 2-й 1-й кубик кубик 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 0 5 0 6 0 7 2 3 4 5 0 6 0 7 0 8 3 4 5 6 0 7 0 8 0 9 4 5 6 7 0 8 0 9 10 5 6 7 8 0 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Аналогичные таблицы можно без труда составить для остальных ве- личин, приведенных в примере (см. задание 3 к этому разделу). Таким образом, случайная величина представляет собой функцию, определенную на множестве всех возможных исходов опыта: облас- тью определения этой функции является множество ?, а значениями — числа (целые или действительные). Для каждого исхода случайная ве- Случайные величины 94 личина имеет вполне определенное (неслучайное) значение. Но посколь- ку исход опыта заранее неизвестен, то и значение, которое примет эта величина в любом опыте, заранее неизвестно, случайно. * * * Когда число возможных исходов опыта велико, табличный способ представления случайных величин становится неудобным. В таком слу- чае можно задавать значения величины на каждом из исходов формулой (если это возможно) или словесным описанием. Пример 2. «До первого орла». Будем бросать монету до появления первого «орла». Исходом каждого такого эксперимента будет последо- вательность вида РР...РО, причем буква О в ней может появиться на любом шаге (в том числе и на первом). В качестве случайной величины X рассмотрим количество бросаний, которое придется при этом сделать. Существенным отличием этого опыта от предыдущего будет беско- нечное количество исходов. Вот так будет выглядеть таблица возмож- ных значений X, содержащая бесконечное число столбцов: w О РО РРО РРРО РРРРО РРРРРО X(w) 1 2 3 4 5 6 Пример 3. «Стрельба по мишени». В круговую мишень, изображен- ную на рисунке, производятся выстрелы. Будем считать, что радиус цен- трального круга («десятки») — 5 см, а каждого следующего — на 5 см больше предыдущего. Лекция 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 95 Исходом опыта в этом эксперименте будет случайная точка в некото- рой области на плоскости мишени. Если разместить в центре мишени начало координат, то любой такой исход можно будет представить парой координат соответствующей точки — (x, y). Число случайных исходов в этом опыте не просто бесконечно — оно несчетно. Поэтому задать случайную величину на таком множестве исходов с помощью таблицы уже не удастся. Попробуем сделать это с помощью формул: X (x, y) = x; Y (x, y) = y; R (x, y) = 2 2 x y + ; 10, если ( , ) 5, 9, если 5 ( , ) 10, ( , ) 1, если 45 ( , ) 50, 0, если ( , ) 50. R x y R x y P x y R x y R x y ? ? ? < ? ?? = ? ? < ? ? > ?? Легко сообразить, что случайные величины X и Y представляют со- бой соответствующие координаты точки попадания, R — расстояние от точки попадания до центра мишени, а P — несмотря на устрашающие формулы, — всего на всего количество выбитых очков. Пример 4. «Биометрия». Рассмотрим случайный эксперимент, со- стоящий в определении биометрических параметров человека. Исходом такого эксперимента является некоторый набор показаний, снятых с по- мощью соответствующего медицинского оборудования. Случайными величинами, которые наверняка будут присутствовать в этом наборе, можно считать X — рост человека; Y — вес человека; Z — возраст человека и др. На основе одних величин можно строить новые. Так, например, ве- личину ( 100) Q Y X = ? ? можно рассматривать как избыточный вес. Случайные величины 96 * * * Итак, мы выяснили, что способ описания случайной величины во мно- гом зависит от того, на каком множестве исходов (т.е. для какого экспе- римента) она определена. Но уже в следующем разделе мы увидим, что более существенное различие между случайными величинами проходит не по их области определения, а по множеству значений: есть величи- ны, которые могут принимать всего несколько возможных значений, а есть такие, у которых это множество бесконечно. Посмотрим на приве- денные выше примеры случайных величин с этой точки зрения: Мы умышленно не внесли в эту таблицу величины из последнего примера — рост, вес, возраст. Дело в том, что количество возможных значений для них существенно зависит от условий эксперимента. Теоре- тически любая из этих величин имеет бесконечно много возможных зна- чений. На практике же количество этих значений определяется точно- стью, с которой проводятся измерения. Так, например, рост измеряется обычно с точностью до см, поэтому возможных значений величины X в этом случае будет не больше 200. 2. Закон распределения случайной величины. Дискрет- ные и непрерывные случайные величины Итак, чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, нуж- но указать, какое значение она принимает на каждом из элементарных исходов опыта. Но это не всегда удобно: исходов, как мы видели, может быть много (или даже бесконечно много), и задать значение случайной Случайный эксперимент Количество исходов Случайная величина Количество значений X 6 Y 6 «Два кубика» 36 S 11 «До первого орла» Ґ (счетно) X Ґ (счетно) X Ґ (несчетно) Y Ґ (несчетно) R Ґ (несчетно) «Стрельба по мишени» Ґ (несчетно) S 11 Лекция 4 97 величины на каждом из них с помощью таблицы или каким-то другим простым методом будет уже невозможно. К счастью, во многих ситуациях столь подробного описания случай- ной величины не требуется — достаточно знать, какие значения она мо- жет принимать и каковы их вероятности. Эта информация называется законом распределения случайной величины. Закон распределения можно задавать разными способами. Главное, чтобы он содержал всю информацию о значениях, которые может принимать величина, и их ве- роятностях. Если этих значений конечное число, то удобнее всего пред- ставить закон распределения в виде таблицы: Значение x 1 x 2 x n Вероятность p 1 p 2 p n Не путайте эту таблицу с теми, которые появлялись в первом разделе: там они использовались для задания самой случайной величины как функции на множестве исходов; здесь — для ее закона распределения. Поскольку в законе распределения учитываются все возможные значе- ния данной величины, то сумма соответствующих им вероятностей дол- жна быть равна 1: 1 2 1 n p p p + + + = (это немедленно следует из формулы для вероятности объединения не- совместных событий и из ( ) 1 P ? = ). Посмотрим, как будут выглядеть законы распределения для некото- рых величин из примеров предыдущего раздела. Пример 1. «Два кубика». Закон распределения случайной величины X: Значение 1 2 3 4 5 6 Вероятность 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Как видим, все значения, которые может принимать величина X, рав- новозможны. Такое распределение называется равномерным. Закон распределения случайной величины Y, очевидно, будет точно таким же. Случайные величины 98 На этом примере мы видим, что у разных случайных величин законы распределения могут совпадать. Закон распределения случайной величины S: Значение 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Вероятность 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 Здесь значения имеют разную вероятность. Такой закон уже интерес- но изобразить с помощью графика: По оси x отложены возможные значения случайной величины S, по оси y — их вероятности. Поскольку возможных значений всего 11, гра- фик представляет собой множество из 11 точек, которые для наглядно- сти соединены отрезками. Законы распределения случайных величин P и M вы найдете в задаче 7. Пример 2. «До первого орла». Закон распределения случайной ве- личины X, как мы уже видели, будет содержать бесконечное количество значений. Соответствующая таблица тоже будет бесконечной, поэтому мы сможем заполнить только ее начало: Значение 1 2 3 4 5 Вероятность 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Лекция 4 99 Однако при заполнении первых столбцов можно заметить закономер- ность и доказать общую формулу: 1 { } 2 k P X k = = . Словами эту формулу можно прочитать так: «вероятность того, что случайная величина X при- мет значение k равна 1 2 k ». Интересно, что для бесконечной таблицы со- храняется уже знакомое нам равенство 1 2 3 ... 1 p p p + + + = Только сумма теперь бесконечная. В математике такие бесконечные суммы называются рядами. Разумеется, в школе они не изучаются. Однако частный случай такого бесконечного ряда, а именно, бесконеч- ная геометрическая прогрессия, есть даже в школьной программе. Имен- но такая прогрессия получится в нашем случае: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 8 16 32 2 2 1 2 + + + + + = ? = ? = ? На графике этот закон будет выглядеть так (ось x является для него горизонтальной асимптотой): 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Случайные величины 100 * * * Рассмотренные в примерах 1 и 2 случайные величины и законы рас- пределения принято называть дискретными. Дискретные величины мо- гут принимать лишь конечное (пример 1) или счетное (пример 2) мно- жество значений. Для таких величин закон распределения задается либо таблицей, либо общей формулой, выражающей вероятность произволь- ного значения данной величины. Кроме того, дискретный закон распре- деления, как мы видели, может быть представлен графически. Теперь перейдем к рассмотрению случайных величин из примера 3. Величины X, Y и R, в отличие от рассмотренных, могут принимать про- извольные значения из некоторого интервала. Множество таких значе- ний уже не просто бесконечно — оно несчетно. Такие случайные вели- чины называются непрерывными (на самом деле, в математике они называются абсолютно непрерывными, но мы не будем усложнять и так непростую терминологию). Задать закон распределения для непрерывной величины с помощью таблицы уже невозможно — ведь ее значения нельзя даже перечислить. Указать формулу, которая задает вероятность каждого из возможных значений этой величины, тоже не удастся — каждое свое значение она принимает с вероятностью 0. С ненулевой вероятностью такая величина может попасть только в некоторый интервал, а не в фиксированную точ- ку. На самом деле это не должно вас сильно удивлять — вспомните геометрическую вероятность. Ведь там тоже вероятность попадания в любую точку области была равна нулю, а вероятность попадания в об- ласть — ненулевая. Как же все-таки задать закон распределения в этом случае? Оказы- вается, наиболее удобным способом в этом случае будет использование такого понятия, как плотность вероятности. В некотором смысле это понятие аналогично понятию плотности вещества в физике, только в ка- честве «вещества» берется вероятность. Плотностью вероятности (или плотностью распределения вероятности) непрерывной случайной вели- чины X называется такая функция p(x), для которой при любых a и b выполняется равенство ( ) ( ) . b a P a X b p x dx ? ? = ? Лекция 4 101 Не удивляйтесь, это самый обыкновенный (а точнее, определенный) интеграл — к сожалению, без него здесь не обойтись. Значит, чтобы узнать вероятность попадания случайной величины X в любой промежу- ток (а на самом деле — в любое множество) достаточно проинтегриро- вать плотность вероятности по этому промежутку (множеству): Чем больше плотность вероятности в окрестности какой-нибудь точ- ки, тем выше вероятность того, что случайная величина примет значение из этой окрестности. На роль плотности может претендовать далеко не любая функция p(x). От нее требуется выполнение двух требований: 1) ( ) 0; p x ? 2) ( ) 1. p x dx +? ?? = ? Первое нужно, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал была, по крайней мере, неотрицательной. Второе — чтобы вероятность того, что случайная величина хоть чему-нибудь будет равна, равнялась 1. Как видите, требования вполне обоснованные. Вернемся к величинам из примера 3 и попробуем найти для них зако- ны распределения. Пример 3. «Стрельба по мишени». В этом примере величины X, Y, R — очевидно, непрерывные; величина P — дискретная. Чтобы полу- чить плотность распределения для X, Y и R, нужно сделать хоть какие-то предположения о том, как ведется стрельба по мишени. Случайные величины x p(x) 102 Предположим, что попадание в любую точку самого большого круга мишени (его радиус 50 см) равновозможно. Другими словами, будем считать, что мы имеем дело с геометрической вероятностью — точка попадания выбирается наугад в круге радиуса 50 см. Конечно, для при- цельной стрельбы по мишени данная модель далека от реальности: если стрелок хороший, то попадание ближе к центру будет более вероятно; если стрелок плохой — он может не попасть и в самый большой круг (пуля уйдет «в молоко»). Тем не менее рассмотрим для начала хотя бы эту ситуацию. Чтобы не осложнять изложение техническими трудностями, покажем, как находится плотность распределения вероятности только для одной из названных величин — а именно, для R — расстояния до центра мишени. Очевидно, что при сделанных предположениях R может принять любое значение из промежутка от 0 до 50. На первый взгляд, все значения R из этого промежутка равновозможны, и плотность вероятности должна быть одинаковой на всем отрезке: 1 при [0;50], ( ) 50 0 при [0; 50]. x p x x ? ? ? = ? ? ? ? Такое распределение, как и в дискретном случае, называется равно- мерным. Его график представляет собой «ступеньку»: Лекция 4 p(x) x 103 Высота ступеньки зависит от величины интервала и выбирается так, что- бы площадь под ней равнялась 1. Однако распределение случайной величи- ны R в наших условиях не будет равномерным! Чтобы показать это, найдем вероятность того, что R лежит в некотором интервале от a до b. Это означа- ет, что пуля попала в кольцо с внутренним радиусом a и внешним радиусом b. По определению геометрической вероятности нужно найти отношение площади такого кольца к площади всего круга радиуса 50 см: 2 2 2 2 2 2 ( ) 50 50 b a b a P a R b |