Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на черном сек- торе? Для ответа на этот вопрос можно либо вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, либо найти суммарную длину дуг, ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности. Второй способ лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в которой остановится острие стрелки. Напомним, что длина дуги нахо- дится по формуле L = ?R, где ? — центральный угол дуги, выраженный в радианах. Отсюда иско- мая вероятность будет 2 1 4 2 4 ? = = ? R P R Тот же результат для нашей вертушки можно получить и без привле- чения геометрической вероятности. Ведь она поделена на 8 равных (а значит, равновозможных!) секторов, из которых два выкрашены в черный цвет. Отсюда Лекция 1 27 2 1 8 4 P = = . Если же секторы, на которые поделена вертушка, сделать неравны- ми, без геометрического определения уже не обойтись. Опыт 10. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова веро- ятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны квадрата меньше, чем на 1 см: Площадь закрашенной части квадрата составляет 16 см 2 – 4 см 2 = = 12 см 2 . Отсюда искомая вероятность будет 12 3 0,75 16 4 P = = = В заключение рассмотрим опыт, который на первый взгляд не имеет отношения к геометрической вероятности. Опыт 11. Задача о встрече. Коля и Оля договорились встретиться в Центральном парке с 12.00 до 13.00. Пришедший первым ждет дру- гого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течение заданного часа? Обозначим время прихода в парк Коли через x, а Оли — через y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 12 ча- сов). Тогда точка с координатами (x, y) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy, изображенном на рисунке: Случайные события и вероятность 28 Каждая точка этого квадрата — это один из возможных исходов на- шего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполня- ется условие |x – y| < 30. Множество таких точек закрашено на следую- щем рисунке: Площадь закрашенной части можно найти, вычитая из площади квад- рата площади двух равных треугольников: S = 60 2 – 2 · 1 2 · 30 · 30 = 3600 – 900 = 2700. Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприят- ной» площади ко всей площади квадрата: 2700 3 3600 4 P = = . Надо отметить, что равновозможность исходов в геометрической ве- роятности — дело совсем непростое. Достаточно познакомиться с клас- сическим парадоксом Бертрана, описание которого вы можете найти в литературе (см. например [27]). Лекция 1 29 Вопросы и задачи К разделу 1 1. Какие события называются случайными? Приведите примеры. 2. Какие события называются невозможными? достоверными? При- ведите примеры. 3. Что такое случайный опыт? Назовите два обязательных условия, которым он должен удовлетворять. Придумайте свой пример случайно- го опыта. 4. Три сестры — Ольга, Маша и Ирина — тянут жребий, кому из них мыть посуду. Для этого они кладут в шапку три бумажки, на одной из которых нарисован крестик, и по очереди их вытаскивают: Ольга — пер- вой, Маша — второй, Ирина — третьей. Выпишите все возможные ис- ходы этого опыта и найдите их количество. 5. В опыте из задачи 4 запишите множества исходов, из которых со- стоят случайные события: A = {посуду будет мыть Ольга}; B = {посуду будет мыть Маша}; C = {посуду будет мыть Ирина}. К разделу 2 6. Что такое абсолютная частота? относительная частота? 7. Как частота связана с вероятностью? 8. После 100 опытов частота события A оказалась равна 0, а частота события B – 1. Можно ли сказать, что событие A невозможное, а собы- тие B — достоверное? 9. После 1000 испытаний по подбрасыванию монеты разность абсо- лютных частот «орлов» и «решек» оказалась равна 80. Найдите разность их относительных частот. 10. За последние 100 тиражей лотереи «Спортлото 5 из 36» в 48 тира- жах угадывались все 5 номеров. Можно ли утверждать, что вероятность угадать 5 номеров из 36 приблизительно равна 1 2 ? К разделу 3 11. Пусть вам требуется оценить вероятность каждого из возможных исходов в опытах по подбрасыванию: а) монеты; б) кнопки; в) кубика; г) двух монет; д) двух кнопок; е) двух кубиков. В каких из этих ситуа- ций вы готовы дать ответ, не проводя эксперимента? Случайные события и вероятность 30 12. Ученик хочет определить, с какой вероятностью при бросании двух кубиков можно получить сумму в 12 очков. Он рассуждает так: сумма очков на двух кубиках может равняться любому числу от 2 до 12; поскольку кубики симметричные, то все 11 значений суммы рав- новозможны, следовательно, искомая вероятность будет 1 11 . Прав ли ученик? 13. Какова вероятность, что у случайно выбранного жителя Земли день рождения приходится на а) 1 января; б) 28 февраля; в) 29 февраля? 14. Задача Эйлера. Три господина пришли в ресторан в одинаковых шляпах и сдали их в гардероб. С какой вероятностью каждый из них уйдет в своей шляпе, если они будут выбирать их наугад? С какой веро- ятностью каждый уйдет в чужой шляпе? 15. В шкафу находится 4 пары ботинок с 42-го по 45-й размеры. Из них случайно выбирают два ботинка. С какой вероятностью они окажут- ся парными? К разделу 4 16. В квадрате со стороной 10 см наугад выбирается точка. С какой вероятностью расстояние от этой точки до центра квадрата будет: а) мень- ше 5 см? б) равно 5 см? в) больше 5 см? 17. Пятирублевую монету, диаметр которой 25 мм, бросают наугад на тетрадный лист в линейку (расстояние между линейками 8 мм). Какое число линий может пересечь монета? С какими вероятностями? 18. На окружности радиуса R случайно выбирают две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R? 19. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10 см; б) 5 см. 20. В решетку из предыдущей задачи 100 раз бросали наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку, не задев ее. Оцени- те приближенно радиус мяча. 21. Стержень случайным образом ломают на три части. С какой ве- роятностью из них можно составить треугольник? Лекция 1 31 Методические замечания Методические замечания к этой и последующим лекциям мы будем начинать с напоминания об обязательном минимуме содержания образо- вания по соответствующей теме, записанном в новых стандартах школь- ного математического образования. Основная школа. Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятно- сти. Представление о геометрической вероятности. Старшая школа. Элементарные и сложные события. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических за- дач с применением вероятностных методов. Поочередный и одновре- менный выбор нескольких элементов из конечного множества. К разделу 1 Знакомство с вероятностно-статистическим материалом начинается с трех важнейших понятий, предваряющих определение вероятности: слу- чайный опыт, случайное событие, элементарный исход. Авторы [1], [2] начинают знакомство со случайными событиями уже в 5-м классе, справедливо полагая, что в этом возрасте закладываются основы вероятностной интуиции, позволяющие впоследствии усвоить формальные методы вычисления вероятностей. В этот период ученик должен получить общее представление о случайном событии, научиться выделять невозможные и достоверные события. На более позднем этапе, в 6–7-х классах, появляется понятие случай- ного эксперимента, в контексте которого рассматривается любое слу- чайное событие. Одновременно с этим возникает представление о его возможных исходах. Первоначальное знакомство с этими понятиями про- исходит на нематематическом языке, поэтому главной задачей учителя является разъяснение их существенных признаков, о которых в основ- ном и идет речь в первом разделе нашей лекции. В результате знаком- ства с этими понятиями ученик должен научиться различать случайные и неслучайные опыты; отличать элементарные события (исходы) от не- элементарных. Особое внимание следует уделить обсуждению «элементарности» исходов, поскольку непонимание этого признака повлечет дальше неиз- бежные ошибки при вычислении вероятностей. Принципиальным моментом этого раздела является переход от сло- весного описания событий и экспериментов к теоретико-множествен- Случайные события и вероятность 32 ному. Включение элементарных понятий из теории множеств в обяза- тельный минимум школьного образования делает такой переход не толь- ко возможным, но и крайне полезным как для самой теории вероятно- стей, так и для дальнейшего закрепления основных теоретико-множе- ственных понятий и операций. На этом этапе ученики должны уметь: • перечислять все возможные (в случае их большого количества — некоторые) исходы опыта, используя для этого их естественные обозна- чения; • строить по словесному описанию события соответствующее мно- жество благоприятных исходов; • переходить от события, представленного в виде множества исхо- дов, к его словесному описанию (понимая, что такой переход неодно- значен). При рассмотрении примеров случайных опытов полезно рассматри- вать различные способы кодирования элементарных исходов; обсуж- дать, какие из них наиболее удобны и экономичны. К разделу 2 Принципиальным новшеством, отличающим методическую систему авторов [1], [2] от предшествующих попыток ввести элементы теории вероятностей в общеобразовательной школе, было главенство частот- ного (а не аксиоматического или классического) подхода к определе- нию вероятности. Сегодня с таким подходом согласно большинство ав- торов, пишущих для школы. Таким образом, универсальное определе- ние вероятности как числа, к которому приближается относительная ча- стота случайного события в длинной серии опытов, представляется, не- смотря на все свои недостатки, единственно правильным. При этом классический и геометрический подход к определению ве- роятности должны рассматриваться как частные случаи вероятностных моделей, в которых это число удается вычислить (предсказать) без про- ведения опыта. Таким образом, вероятность появляется как универ- сальная количественная мера возможности осуществления случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для вы- числения этой меры в определенном круге ситуаций. Такое введение вероятности требует предварительного (и достаточно подробного) знакомства учащихся с понятиями абсолютной и относи- тельной частоты, изучения статистического материала, полученного как самостоятельно (бросание монеты, кубика, кнопки, опыты с шара- Лекция 1 33 ми, вертушками и т.д.), так и предоставленного учителем. Наблюдение за реальной стабилизацией относительных частот играет, на наш взгляд, не менее важную роль в развитии вероятностного мышления и интуи- ции, чем получение комбинаторных навыков. При изучении этого раздела полезным может оказаться урок в форме лабораторной работы, связанной с проведением случайных экспери- ментов и обработкой полученных результатов (в идеале — компьютер- ной). На диске [5], уже получившем распространение в школьной прак- тике, имеется специализированное программное обеспечение, позволя- ющее в считанные секунды смоделировать тысячи случайных экспери- ментов, наблюдая при этом за динамикой изменения частот и их прибли- жением к вероятностям случайных исходов и событий. Заканчивается раздел рассмотрением двух важнейших для дальней- шего свойств частот и вероятностей: • сумма относительных частот (вероятностей) всех элементарных исходов опыта равна 1; • относительная частота (вероятность) любого события равна сумме частот (вероятностей) благоприятных для него исходов. При этом для частот эти свойства выполняются с очевидностью, а на вероятность они переносятся в результате «предельного перехода». К разделу 3 То что вероятность любого события может быть найдена как сумма вероятностей благоприятных исходов, автоматически подводит нас к вопросу — а как вычислить вероятности самих исходов? Можно ли сде- лать это, минуя опыт? Несколько хорошо знакомых примеров — монета, кубик — наведут учеников на идею опыта с равновозможными исходами. После этого они вполне способны самостоятельно открыть формулу Лапласа: ( ) m P A n = . Именно с этой формулы начинается решение по-настоящему интересных задач. К сожалению, авторы многих учебников, приводя формулу Лапласа, забывают лишний раз напомнить об условиях ее применимости: опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов. Именно с этого следует начинать решение любой задачи, связанной с использова- нием данной формулы. Чрезвычайно полезными здесь оказываются при- Случайные события и вероятность 34 меры, в которых исходы опыта либо неравновозможны по свой сути (кнопка, пуговица, кубик со смещенным центром тяжести и т.д.), либо в качестве исходов ошибочно рассматриваются неравновозможные со- бытия (опыты 7 и 8 из этого раздела). В качестве испытанного на практике рабочего «инструмента» можем предложить следующую общую схему решения задач на классическую вероятность: 1. Описание возможных исходов опыта, их кодирование и перечис- ление (полное или частичное). 2. Обоснование равновозможности перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию самого объекта, участвующего в опы- те; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и т.д.). 3. Подсчет общего числа исходов опыта n (на первом этапе — пря- мой подсчет; позже — использование комбинаторных правил и фор- мул). 4. Описание благоприятных для события A исходов, их перечисление (полное или частичное). Если все исходы уже выписаны, то можно про- сто отметить среди них благоприятные для A. 5. Подсчет числа благоприятных для события A исходов m. 6. Вычисление вероятности по формуле ( ) m P A n = . 7. Оценка и интерпретация полученного результата. Обратите внимание, что первые три пункта касаются только случай- ного эксперимента и никак не связаны со случайным событием A. Нуждается в комментариях последний, седьмой, пункт приведенной схемы. Получив ответ, необходимо обсудить с учениками его реальный смысл, привести частотную интерпретацию. Полезно выяснить, совпа- дает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности; удовлетворяет ли основным свойствам и т.д. Использова- ние на уроках электронного пособия [5] позволяет организовать само- стоятельную проверку полученных результатов через проведение вир- туального эксперимента и сравнение вычисленной вероятности с по- лученной в опыте частотой. Такая проверка важна как с содержатель- ной, так и с методической точки зрения: закрепляя понятие о вероятно- сти как предельном значении частоты с одной стороны, она создает до- полнительную мотивацию для изучения методов ее расчета с другой. Лекция 1 35 К разделу 4 Геометрическая модель вероятности, несмотря на кажущуюся про- стоту и естественность, вызывает неизменные трудности у учащихся. Их источник легко объяснить — переход от конечного множества возмож- ных исходов эксперимента к бесконечному (да еще несчетному!). При введении самого понятия геометрической вероятности мы неиз- менно оказываемся перед вопросом: каким образом из точек, имеющих нулевую вероятность, складывается область ненулевой вероятности. 3 Почему в этом случае не работает основное свойство вероятности, по- лученное в разделе 1 — аддитивность? «Научный» ответ на этот вопрос заключается в следующем: вероятность обладает свойством (не пугай- тесь) ?-аддитивности. Это означает, что вероятность случайного собы- тия будет равна сумме вероятностей благоприятных для него исходов лишь в том случае, если этих исходов конечное или счетное число. А отрезок или плоская область состоит, как известно, из несчетного мно- жества точек. Однако как при этом ответить на вполне правомерный вопрос учени- ка: «Если вероятность попасть в любую точку области равна 0, как же мы все-таки туда попадаем?». На самом деле, на это есть вполне понят- ный и обоснованный ответ. Мы знаем, что если событие A невозможно, то P(A) = 0. Но обратное утверждение неверно: из P(A) = 0 еще не следу- ет, что событие A невозможно. Ничто не мешает ему осуществиться в одном или нескольких опытах — его относительная частота при этом все равно будет стремиться к 0. Таким образом, события нулевой веро- ятности вполне могут происходить в единичных опытах. Выбравшись таким образом из затруднений философского плана, мы сталкиваемся с более приземленными, но не менее серьезными, возни- кающими при решении задач. Первая из них — описание множества возможных исходов. В задачах на геометрическую вероятность это мно- жество далеко не так очевидно, как в задачах на классическое определе- ние. Поэтому начинать следует с задач, в которых явно констатируется случайный выбор точки в некоторой области (опыт 10). Затем от точек переходить к реальным объектам (опыт 4). И, наконец, заканчивать зада- чами, где геометрия скрыта в некоторой реальной ситуации (опыт 11). 3 «– Сколько стоит одна капля сока? — Нисколько. — Ну, накапайте стакан- чик…» Случайные события и вероятность 36 Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероят- ность — несоответствие размерностей. Часто при вычислении гео- метрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятно- сти на «безразмерность». Перечисленные трудности рассматриваемой темы, как нам кажется, с лихвой окупаются интересными задачами и их связью со всеми разде- лами математики — геометрией, алгеброй, математическим анализом. Соответствующие примеры есть в тексте лекции и заданиях для само- стоятельного решения. Лекция 1 37 Лекция 2 Комбинаторика и вероятность В этой лекции мы займемся комбинаторикой — наукой о составлении и подсчете комбинаций — и выясним, как она связана с подсчетом ве- роятностей. 1. Правила сложения и умножения. Перечисление комбинаций. Лексикографический порядок Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino — со- единяю. Действительно, при получении любой комбинации мы состав- ляем ее из отдельных элементов, последовательно соединяя их друг с дру- гом. Чаще всего эти элементы выбираются из некоторого конечного мно- жества. Подсчитать общее число возможных комбинаций в этом случае по- могает одно из важнейших правил комбинаторики — правило умноже- ния. Сформулируем его для начала в простейшем случае: если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент — b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a · b Пример 1. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые мож- но составить из цифр 1, 2, 3. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место — тоже тремя способами. Значит, всего таких чисел по правилу умножения будет 3 · 3 = 9. Можно проверить ответ, выписав друг за другом все эти числа в по- рядке возрастания: 11, 12, 13; 21, 22, 23; 31, 32, 33. Видно, что они разбились на три группы по три числа в каждой — отсюда и правило умножения при подсчете таких комбинаций. В приведенном примере слова «после чего», которые используются в формулировке правила умножения, ничего не значат, поскольку вы- 38 бор второй цифры никак не связан с выбором первой. Но это далеко не всегда так. Пример 2. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые мож- но составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы все цифры были различны. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место — только двумя способами (ту цифру, которая на первом месте, использовать уже нельзя!). Значит, всего таких чисел по правилу умножения будет 3 · 2 = 6. Вот эти числа: 12, 13; 21, 23; 31, 32. Теперь в каждой из трех групп только по два элемента. * * * Но бывают задачи, в которых после выбора одного из a объектов в качестве первого элемента комбинации нельзя однозначно сказать, сколькими способами можно выбрать второй элемент — это зависит от того, какой именно объект был выбран первым. Рассмотрим такую ситуацию на примере. Пример 3. Подсчитаем количество двузначных чисел, которые мож- но составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы первая цифра была меньше вто- рой. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, а вот на второе место после этого: – двумя способами, если первой цифрой была выбрана 1; – одним способом, если 2; – нулем способов, если 3. Приходится применять комбинаторное правило сложения: разбить все комбинации на непересекающиеся классы, подсчитать количество комбинаций в каждом классе (например, по правилу умножения), а за- тем сложить эти количества. Правило кажется настолько простым и оче- видным, что его даже неудобно называть правилом. Однако использова- ние этой простой идеи — «разделяй (на классы) и властвуй» — оказы- вается чрезвычайно полезным при решении задач. * * * Вернемся теперь к правилу умножения и сформулируем его еще раз уже в более общем виде: если нам нужно сформировать комбинацию из Лекция 2 39 k элементов и при этом первый элемент в комбинации можно выбрать 1 n способами, после чего второй элемент — n 2 способами, после чего третий — n 3 способами и так далее, то всего таких комбинаций будет n 1 · n 2 · n 3 · … · n 3 А теперь применим это правило к решению задачи. Пример 4. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специаль- ный знак) кодируется последовательностью из восьми 0 и 1, например: – 01000110 — код буквы «F»; – 00110010 — код цифры «2» и т.д. |