Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
разыгрывают по жребию 3 билета в цирк. С какой вероятностью в цирк пойдут Ира, Маша и Оля? Фраза «разыгрывают по жребию 3 билета» говорит о том, что любые три человека из класса могут попасть в цирк с равной вероятностью (т.е. жребий справедливый). Каждый вариант жеребьевки — это сочета- ние из 25 по 3; всего таких вариантов 3 25 25 24 23 2300 3 2 1 n C ? ? = = = ? ? Комбинаторика и вероятность 50 Благоприятный исход всего один — это единственное сочетание Ира- Маша-Оля. Отсюда искомая вероятность будет 1 ( ) 0,0004 2300 P A = ? Пример 3. (см. примеры 3.4 и 3.5) Из колоды, в которой 36 карт, случайно выбирают 6 карт. С какой вероятностью среди них нет ни одно- го туза? один туз? два туза? три туза? четыре туза? Фраза «случайно выбирают» говорит о том, что все 6 36 C исходов этого опыта равновозможны. Благоприятные исходы для каждого из перечисленных в условии задачи событий мы уже считали. Остается подставить эти данные в формулу для вычисления вероятности: 0 6 4 32 0 6 36 4! 32! 30! 6! 32! 30! 27 28 29 30 ( ) 0,465 4! 0! 26! 6! 36! 26! 36! 33 34 35 36 C C P A C ? ? ? ? ? ? = = ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ; 1 5 4 32 1 6 36 ( ) 0,414 C C P A C ? = ? ; 2 4 4 32 2 6 36 ( ) 0,111 C C P A C ? = ? ; 3 3 4 32 3 6 36 ( ) 0,010 C C P A C ? = ? ; 4 2 4 32 4 6 36 ( ) 0,00026 C C P A C ? = = Мы подробно выписали процесс вычисления 0 ( ) P A , чтобы показать, что не нужно торопиться сразу вычислять все значения k n C — многие факториалы могут сократиться (хотя бы частично) еще до их вычисле- ния. Отметим еще, что сумма найденных вероятностей должна равнять- Лекция 2 51 ся единице, поскольку события 0 1 4 , , ..., A A A не пересекаются и исчерпы- вают все возможные варианты данного опыта (о таких событиях мы под- робнее поговорим в следующей лекции). У нас ровно 1 не получится — это связано с округлением найденных вероятностей. Пример 4 (см. пример 3.6). 3 белых и 4 черных шара случайным образом раскладывают в ряд. С какой вероятностью цвета шаров будут чередоваться? Мы уже считали общее количество способов, которыми можно рас- положить в один ряд 3 белых и 4 черных шара — их получилось 3 7 7! 35 4! 3! C = = ? . При этом цвета будут чередоваться только в одном из этих способов, а именно: ЧБЧБЧБЧ. Значит, искомая вероятность равна 1 35 . Вообще говоря, следуя советам, изложенным в лекции 1, следовало бы решать эту задачу несколько иначе. При раскладывании шаров не имеют никакого значения их цвета; важно только, что этих шаров 7 штук, поэтому равновозможными исходами опыта будут 7! перестановок, ко- торые можно составить из 7 шаров. Чтобы найти количество благоприятных исходов, нужно посчитать, для скольких перестановок цвета чередуются в следующем порядке: ЧБЧБЧБЧ. Четыре черных шара можно разместить на отмеченных для них местах 4! способами, после чего разместить на трех оставшихся местах три белых шара можно 3! способами. Таким образом, всего бла- гоприятных исходов по правилу умножения будет 4! · 3! Искомая веро- ятность будет 4! 3! 3 2 1 1 ( ) 7! 5 6 7 35 m P A n ? ? ? = = = = ? ? Получили тот же ответ. Пример 5. Какова вероятность, что при подбрасывании 10 монет «орлов» выпадет больше, чем «решек»? Помня о том, что при рассмот- рении возможных исходов этого опыта нужно различать все 10 монет (см. лекцию 1), найдем общее количество исходов: для первой монеты Комбинаторика и вероятность 52 возможны два варианта («орел» и «решка»), для второй — тоже два и т.д. Всего исходов по правилу умножения будет 10 2 2 ... 2 2 ? ? ? = Для определения благоприятных исходов отметим прежде всего оче- видную симметрию нашего опыта относительно выбора «орла» и «реш- ки». Значит, исходов, в которых число «орлов» больше числа «решек» будет столько же, сколько исходов, где число «решек» больше числа «орлов». Остаются еще исходы, где «орлов» и «решек» поровну. Вот с них и начнем: каждый такой исход определяется выбором 5 монет, на которых выпадут «орлы» (на других 5 монетах выпадут «решки»). Та- кой выбор можно сделать 5 10 C способами. По правилу вычитания число исходов, в которых число «орлов» НЕ равно числу «решек», будет 10 5 10 2 C ? , а число искомых благоприятных исходов — в два раза мень- ше: 10 5 10 1 (2 ) 2 C ? . Окончательно получаем: 10 5 5 10 10 10 10 (2 ) 1 1 ( ) (1 ) 0,377 2 2 2 2 C C P A ? = ? = ? ? ? Пример 6. Какова вероятность, что при подбрасывании N кубиков на каких-то кубиках выпадут совпадающие числа? Прежде всего заметим, что задача имеет смысл только при N > 1. Далее, по принципу Дирихле при N > 6 искомая вероятность равна 1 (всегда найдутся по крайней мере два кубика с одинаковым числом оч- ков). Остается решить задачу для 2 6 N ? ? . Как и в предыдущем при- мере, легко найти общее количество исходов опыта по правилу умноже- ния: 6 6 ... 6 6 N ? ? ? = . Для благоприятных исходов снова воспользуемся правилом вычитания — найдем число исходов, где все числа на куби- ках различны. При таком исходе на первом кубике может выпасть лю- бое из 6 чисел, на втором — любое из 5 оставшихся, на втором — любое из 4 и т.д. Всего таких исходов по правилу умножения будет 6 5 ... (6 1) N ? ? ? ? + . Значит, благоприятных исходов по правилу вычитания будет 6 6 5 ... (6 1) N N ? ? ? ? ? + . Искомая вероятность будет 6 6 5 ... (6 1) 6 5 ... (6 1) ( ) 1 6 6 N N N N N P A ? ? ? ? ? + ? ? ? ? + = = ? Лекция 2 53 Вот таблица, в которой эта вероятность посчитана для всех возмож- ных значений N: N 2 3 4 5 6 > 6 P(A) 0,167 0,444 0,722 0,907 0,985 1 Пример 7. Класс, в котором учится 12 девочек и 12 мальчиков, слу- чайным образом делят на две равные группы для занятий на компьюте- рах. Какова вероятность того, что мальчиков и девочек в них окажется поровну? Переформулируем задачу: из 24 учеников этого класса случайно от- бирают 12. Какова вероятность, что среди них ровно 6 мальчиков? (Убе- дитесь, что это действительно та же задача!) Всего способов выбора 12 человек из 24 будет 12 24 24! 2 704 000 12! 12! C = = ? , причем все эти способы равновозможны. Благоприятными будут исходы, в которых среди выбранных 12 человек ровно 6 мальчиков. Как сформи- ровать любой такой исход? Сначала нужно выбрать любые 6 из 12 мальчи- ков, а потом добавить к ним любые 6 из 12 девочек. Общее количество таких вариантов выбора можно найти по правилу умножения: 6 6 12 12 12! 12! 853800 6! 6! 6! 6! C C ? = ? = ? ? Искомая вероятность будет равна 6 6 12 12 18 24 ( ) 0,316 C C P A C ? = ? Пример 8. В классе учится 12 мальчиков и 12 девочек. Их случайно рассадили за 12 парт. Какова вероятность того, что за каждой партой оказались мальчик и девочка? 24 человека можно посадить на 24 места 24! способами — именно столько равновозможных исходов у нашего эксперимента. Теперь найдем количество благоприятных исходов. При благоприятном исходе за каждой Комбинаторика и вероятность 54 из 12 парт сидит ровно один мальчик. Эти 12 мест для мальчиков (по одно- му месту на каждой парте) можно выбрать 2 12 способами (два варианта для каждой из 12 парт). После выбора этих мест мальчиков можно рассадить по ним 12! способами, после чего девочек могут сесть на оставшиеся места также 12! способами. Получаем, что искомая вероятность равна 12 2 12! 12! ( ) 0,0015 24! m P A n ? ? = = = 5. Классические модели с выбором элементов из конечного множества Большинство приведенных выше примеров на вычисление вероятно- стей могут рассматриваться в рамках классической вероятностной мо- дели, называемой еще «урновой схемой». Речь идет о задаче, в которой из урны (коробки, мешка), содержащей M одинаковых на ощупь ша- ров, не глядя, вынимают N шаров. В зависимости от механизма этого выбора различают несколько таких схем, о которых уже шла речь в на- шей первой лекции. Будем считать, что все шары пронумерованы числами от 1 до M. I. Последовательный выбор с возвращением. Так называют экс- перимент, в котором на каждом шаге извлеченный шар возвращается обратно. Понятно, что при этом один и тот же шар может появляться в нашем эксперименте неоднократно. Исходами такого опыта являются все возможные последовательнос- ти из N чисел вида 1 2 ( , , ..., ) N a a a , где a i — номер шара, извлеченного на i-ом шаге. По правилу умножения легко посчитать количество таких исходов: для первого шара — M вариантов, для второго — снова M вариантов и т.д., всего M N исходов. При этом все такие исходы равно- возможны. Пример 1. М = 4, N = 3. Возможные исходы: (1, 1, 1); (1, 1, 2); (1, 1, 3); …; (4, 4, 3); (4, 4, 4). Перечислить их все затруднительно, поскольку их 4 3 = 64 штуки. Интересно, что подбрасывание монеты или кубика тоже можно рас- сматривать как выбор с возвращением: Лекция 2 55 • N-кратное бросание монеты (или одновременное бросание N монет) равносильно выбору с возвращением N шаров из урны с двумя шарами — один из них соответствует «орлу», другой — «решке»; • N-кратное бросание кубика (или одновременное бросание N куби- ков) равносильно выбору с возвращением N шаров из урны с шестью шарами — это шары с цифрами 1, …, 6. II. Последовательный выбор без возвращения. Теперь вынутый шар обратно в урну не возвращается, и следовательно, повторно выну- тым быть не может. Исходами такого опыта являются все возможные размещения из M чисел по N, то есть последовательности вида 1 2 ( , , ..., ) N a a a , где все i a различны и являются числами от 1 до M. Мы уже выясняли, что общее количество таких исходов будет ! ( )! N M M A M N = ? . При этом все они рав- новозможны. Пример 2. М = 4, N = 3. Возможные исходы: (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); …; (4, 2, 3); (4, 3, 2). Исходов стало меньше, чем при выборе с возвращением, но все рав- но достаточно много — 4! 24 1! = Этой схеме соответствуют, например, задачи 1, 4, 8 из предыдущего раздела лекции. III. Одновременный выбор. Шары вынимаются из урны одновре- менно, поэтому порядок их появления уже не учитывается — имеет зна- чение только состав вынутой комбинации. Исходами опыта являются все возможные сочетания из M чисел по N, то есть последовательности вида 1 2 [ , , ..., ] N a a a , где все i a различны и являются числами от 1 до M, а квадратные скобки подчеркивают, что в комбинации не учитывается порядок следования элементов. Общее ко- личество таких исходов будет ! ( )! ! N M M C M N N = ? ? . При этом все они рав- новозможны. Комбинаторика и вероятность 56 Пример 3. М = 4, N = 3. Возможные исходы: [1, 2, 3]; [1, 2, 4]; [1, 3, 4]; [2, 3, 4]. Исходов теперь всего четыре. Этой схеме соответствуют, например, задачи 2, 3, 7 из предыдущего раздела. С точки зрения механизма выбора последние две модели являются по существу эквивалентными. Дело в том, что при одновременном вы- боре используется все тот же механизм выбора без возвращения: ведь одновременность выбора только кажущаяся — все равно какой-то эле- мент мы возьмем первым, какой-то вторым и т.д. Просто в этой модели мы отказываемся учитывать этот порядок при описании исходов. Полу- чается, что мы объединяем каждые N! размещений, отличающихся толь- ко порядком следования элементов, в одно сочетание. Общее количе- ство исходов сокращается при этом в N! раз (в приведенном примере — с 24 до 4, то есть в 3!). Важно, что такие «укрупненные» исходы все равно остаются равновозможными. При этом есть задачи, в которых из условия вообще не понятно, ка- кую из двух последних моделей выбрать. Возьмем, к примеру, извест- ную лотерею «Спортлото». Напомним, что участники лотереи должны зачеркнуть в своей карточке 5 номеров из 36, которые по их мнению выиграют в очередном тираже. При этом тираж проводится так: в бара- бан закладывается 36 шаров; они перемешиваются и начинают выкаты- ваться друг за другом с небольшим интервалом времени (чтобы соблю- сти интригу и дать время на рекламу). Как только выкатится 5 шаров, тираж заканчивается. Для тех кто не наблюдал его по телевизору, ре- зультаты печатаются на следующий день в газете. Интересно, что при этом уже не указывается последовательность, в которой выкатывались шары, а лишь состав выигрышной комбинации. Получается, что если мы наблюдаем за тиражом по телевизору, то должны выбрать модель «Последовательный выбор без возвращения», а если читаем о его результатах в газете, то «Одновременный выбор». Очевидно, что наши шансы получить выигрыш от этого никак зависеть не будут. Убедимся в этом, посчитав вероятность угадать все 5 номеров. Модель 1. Возможные исходы — размещения из 36 по 5. Всего таких исходов будет 5 36 36! 45 239 040 31! A = = . Благоприятным будет каж- дый исход, при котором зачеркнутые в нашей карточке 5 номеров «вы- Лекция 2 57 катываются» из барабана в любой последовательности. Таких исходов 5!, поэтому искомая вероятность: 5 5 36 5! 5!31! ( ) 0,00000265 36! P A A = = ? Модель 2. Возможные исходы — сочетания из 36 по 5. Всего таких исходов будет 5 36 36! 376 992 31! 5! C = = ? . Благоприятным теперь будет всего один (!) исход. Искомая вероятность — та же самая: 5 5 36 1 31!5! ( ) 0,00000265 36! P A C = = ? Таким образом, обе модели одинаково успешно могут применяться в решении одних и тех же задач. Важно только не путать их в процессе решения: например, нельзя перечислять все возможные исходы, следуя модели 1, как размещения, а благоприятные исходы, следуя модели 2, как сочетания. В этом случае рассчитывать на правильный ответ уже не приходится. Вопросы и задачи К разделу 1 1. В номере автомобиля записываются подряд буква, три цифры и еще две буквы. Сколько таких номеров можно составить, если исполь- зовать только буквы А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (эти буквы исполь- зуются в реальных номерах российских автомобилей, поскольку совпа- дают по начертанию с буквами латинского алфавита)? 2. Какой номер автомобиля из предыдущей задачи будет первым, если выписывать все номера в лексикографическом порядке? Какой номер будет последним? Какой номер следует за номером «У 899 ХХ»? Какой номер ему предшествует? 3. В автомобиле 5 мест. Сколькими способами пять человек могут за- нять места для путешествия, если водить машину могут только трое из них. 4. После хоккейного матча каждый игрок одной команды пожал руку каждому игроку другой. Сколько всего игроков присутствовало на пло- щадке, если было совершено 323 рукопожатия? Комбинаторика и вероятность 58 5. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске две различные клетки так, чтобы из одной в другую можно было попасть ходом а) ладьи; б) слона? К разделу 2 6. Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь к билет- ной кассе? Как называется каждая такая комбинация в комбинаторике? 7. В чемпионате России по футболу участвует 16 команд. Сколькими способами могут распределиться 3 призовых места? Как называется каждая такая комбинация в комбинаторике? 8. Объясните, почему перестановку можно считать частным случаем размещения. 9. Найдите количество нулей, на которые заканчивается число 100! 10. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из четырех карточек, на которых написаны цифры: а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 3; в) 1, 1, 2, 2. К разделу 3 11. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из класса, в котором 25 учеников? Как называется каждая такая комбинация в ком- бинаторике? 12. Сколькими способами в карточке лотереи «Спортлото» можно зачеркнуть 5 номеров из 36? Как называется каждая такая комбинация в комбинаторике? 13. Объясните, чем отличаются сочетания от размещений. Чего и во сколько раз больше? 14. Замок на подъезде имеет 10 кнопок и открывается одновремен- ным нажатием на определенные 3 кнопки. За сколько минут (в худшем случае) можно открыть такой замок, если перебирать все возможные комбинации со скоростью 1 комбинация в секунду? 15. Группу из 20 туристов нужно распределить по 3 маршрутам так, чтобы по первому маршруту шли 8 человек, по второму — 7, по третье- му — 5. Сколькими способами это можно сделать? К разделу 4 16. Из Наташиного класса, в котором 25 учеников, по жребию выби- рают двух дежурных. Какова вероятность, что Наташа будет дежурить? Какова вероятность, что дежурить будет Наташа и ее подруга Света? 17. Одновременно бросают 3 кубика. Какова вероятность того, что: а) на всех кубиках выпадут одинаковые числа; б) все числа на кубиках разные; в) выпало ровно два одинаковых числа? Лекция 2 59 18. Колоду из 36 карт раздают на двоих. Какова вероятность, что тузов у них окажется поровну? 19. Группу из 20 школьников распределяют по жребию по трем авто- мобилям для поездки в соседний город. В первый автомобиль влезает 8 человек, во второй — 7, в третий — 5. С какой вероятностью два друга — Вадим и Сева — попадут в одну машину? 20. Монету бросают 100 раз подряд. Найдите вероятность того, что количество «орлов» нечетно. Изменится ли ответ, если монету бросают 101 раз? К разделу 5 21. Замените каждый из следующих экспериментов случайным вы- бором шаров и определите, к какой схеме выбора он относится: а) 10 раз подряд бросают монету; б) одновременно подбрасывают 5 кубиков; в) колоду из 36 карт раздают на двоих. 22. В урне 10 шаров. Вероятность вытащить из нее 2 белых шара равна |