Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября

• Название: Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
• Дата: 27.03.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Лекции 1-4.pdf
• Тип: Лекции; #419622
• страница: 2 из 10

Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?
К сожалению, такое определение приводит к одному неудобству — значе- ние частоты зависит от конкретной серии опытов и от их количества.
Пример 1. Перед вами относительная частота орлов, полученная в двадцати различных сериях по 100-кратному бросанию монеты:
0,49 0,49 0,53 0,41 0,51 0,51 0,51 0,57 0,46 0,43 0,51 0,58 0,51 0,47 0,47 0,51 0,51 0,48 0,56 0,48
Из этих результатов видно, что частота может значительно колебаться от серии к серии (в нашем примере — от 0,41 до 0,58). Но с другой стороны, совершенно очевидно, что эти колебания происходят около не- которого конкретного числа. Для вас вряд ли будет неожиданностью,
если мы объявим, что для нашего примера это число 0,5.
Фундаментальным свойством относительных частот (если хотите —
законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизи- руется и приближается к вполне определенному числу, которое и сле- дует считать его вероятностью.
Пример 2. Перед вами динамика изменения относительной частоты ор- лов в длинной серии из 2000 опытов по подбрасыванию монеты. Частота орлов пересчитывалась после каждых 100 опытов и наносилась на график:
0,440 0,450 0,460 0,470 0,480 0,490 0,500 0,510 0,520 0,530 0,540 100 400 700 1000 1300 1600 1900
Лекция 1

15
По графику видно, что с ростом числа опытов частота начинает по- степенно стабилизироваться. Правда, точно назвать то число, около ко- торого происходит эта стабилизация, по графику невозможно. Тем не менее видно, что оно лежит где-то в районе 0,5–0,52. Для более точной оценки следует увеличить количество опытов.
Все сказанное дает возможность дать следующее определение.
Определение 3. Вероятностью случайного события A называется число P(A), к которому приближается относительная частота этого со- бытия в длинной серии экспериментов
2
Данное определение (или какое-нибудь близкое к нему) называют во многих учебниках «статистическим определением вероятности». Честно говоря, с математической точки зрения это вообще не определение. Во- первых, где гарантия, что относительная частота вообще будет к чему-то
«приближаться»? Во-вторых, почему для каждой серии это будет одно и то же число? В-третьих, насколько длинной должна быть сама серия,
чтобы полученная в ней частота достаточно хорошо приближала вероят- ность? И так далее. Получается, что найти вероятность с помощью этого определения нельзя. Тем не менее оно дает возможность приближенно оценить значение вероятности по частоте — причем тем точнее, чем длин- нее серия проведенных экспериментов. Можно было бы сказать, что вероятность — это предельное значение частоты в бесконечной се- рии экспериментов, но, к сожалению, не так просто придать этому вы- сказыванию точный математический смысл. В конце нашего цикла лек- ций мы еще вернемся к этому утверждению, чтобы облечь его в форму настоящих теорем — закон больших чисел и центральную предельную теорему.
Вслед за статистическим определением вероятности возникает во- прос: существуют ли какие-либо теоретические, не связанные с прове- дением экспериментов, методы вычисления вероятностей? Да, суще- ствуют, и мы совсем скоро с ними познакомимся. Но, к сожалению,
применять эти методы можно далеко не ко всяким случайным опытам. А
вот приведенное выше статистическое определение в этом смысле уни- версально.
2
Обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite —
вероятность.
Случайные события и вероятность

16
* * *
Отметим теперь несколько замечательных свойств относительных частот, из которых немедленно вытекают и соответствующие свойства вероятностей (как их предельных значений).
Свойство 1. Сумма относительных частот всех возможных исходов опыта равна 1 для любой серии экспериментов.
Действительно, каждый эксперимент всегда заканчивается только одним из возможных исходов, поэтому сумма их абсолютных частот будет равна числу проведенных экспериментов. Отсюда сумма относи- тельных частот всегда равна 1.
Так как при увеличении числа опытов относительные частоты не- ограниченно приближаются к вероятностям, то найденное свойство пе- реносится и на вероятности элементарных исходов (при условии, что этих исходов конечное число):
Свойство 1’. Сумма вероятностей всех элементарных исходов опыта равна 1.
Случайное событие происходит всякий раз, когда опыт завершается одним из благоприятных для него исходов. Это означает, что частота случайного события складывается из частот входящих в него исходов.
Отсюда получаем второе свойство частот.
Свойство 2. Относительная частота случайного события равна сумме относительных частот входящих в него исходов.
В применении к вероятностям это будет звучать так:
Свойство 2’. Вероятность случайного события равна сумме вероят- ностей входящих в него исходов.
Проиллюстрируем эти свойства на примере.
Пример 3. В таблице приведены частоты всех исходов опыта с под- брасыванием кубика, зафиксированные после 100, 1000 и 10000 опы- тов:
Исходы
Частота после 100
после 1000
после 1000 1
0,22 0,171 0,1660 2
0,17 0,175 0,1652 3
0,13 0,173 0,1664 4
0,13 0,151 0,1658 5
0,18 0,165 0,1662 6
0,17 0,165 0,1704
Сумма
1 000 1
000 1
00000
Лекция 1

17
Сложив в любой момент частоты всех шести исходов, можно убе- диться, что их сумма равна 1. Интересно изобразить полученные часто- ты исходов на диаграмме:
Мы видим здесь три ломаных (они называются «полигонами час- тот»), показывающих соотношение частот шести исходов нашего опыта после 100, 1000 и 10000 опытов. Хорошо видно, как при увеличении числа опытов происходит выравнивание ломаной (она вытягивается в горизонтальный отрезок), и приближение всех шести частот к
1 6 — это и есть вероятность каждого из шести исходов
Теперь, пользуясь свойством 2, найдем частоты случайных событий,
о которых шла речь ранее:
A = {выпадет четное число} = {2, 4, 6};
B = {выпадет число меньше 3} = {1, 2};
C = {выпадет простое число} = {2, 3, 5}.
Случайные события и вероятность
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 1
2 3
4 5
6 100 1000 10000

18
Частота каждого из событий колеблется около некоторого числа —
соответствующей вероятности. Уже в следующем пункте мы выясним
(хотя нетрудно догадаться об этом и сейчас), что
1 1
1
( )
; ( )
; ( )
2 3
2
=
=
=
P A
P B
P C
* * *
В заключение этого раздела скажем еще вот что. У неравнодушного читателя, возможно, уже возник вопрос: а кто же это не поленился 10 000
раз бросить кубик для того, чтобы получить приведенные в последнем примере результаты? Признаемся честно, что «натурный» эксперимент мы не проводили — слишком много нужно затратить на это времени и сил. История вообще знает не так много достаточно длинных реальных серий случайных испытаний. Один из наиболее известных в этом отно- шении примеров — известный опыт Пирсона, в котором он провел се- рию из 24 000 подбрасываний монеты. Сколько времени на это было потрачено, сказать трудно. Известно лишь, что во время проведения эк- сперимента Пирсон находился в долговой тюрьме и располагал неогра- ниченным запасом свободного времени…
В нашем примере данные об испытаниях с кубиком были взяты, разуме- ется, не из головы — это, во-первых, нечестно, во-вторых, слишком риско- ванно — можно не учесть всех непредвиденных закономерностей случая!
На самом деле, мы смоделировали эти 10 000 испытаний с помощью ком- пьютера (конкретно в этом примере — с помощью электронной таблицы
Excel, в более сложных ситуациях — с привлечением языка программиро- вания Паскаль). К моделированию случайных экспериментов с помощью компьютера и к практической пользе, которую можно извлечь из такого моделирования, мы еще вернемся в конце нашего цикла лекций.
Событие
Частота после 100
после 1000
после 10 000
A
0,47 0,491 0,5014
B
0,39 0,346 0,3312
C
0,48 0,513 0,4978
Лекция 1

19 3. Опыты с равновозможными исходами.
Классическое определение вероятности
Итак, мы установили, что вероятность случайного события склады- вается из вероятностей составляющих его элементарных исходов. Если этих исходов конечное число и вероятности их известны, то можно найти вероятность случайного события как сумму вероятностей входя- щих в него исходов:
если
1 2
{ ,
, ...,
}
k

A = ? ?
?
, то
1 2
( )
( )
( ) ...
( )
k
P A
P
P
P

= ? + ? + + ?
Применим эту формулу к вычислению вероятностей для случайных событий, связанных с подбрасыванием кубика (см. раздел 1, опыт 2):
A = {выпадет четное число} = {2, 4, 6},
( )
(2)
(4)
(6)
P A
P
P
P
=
+
+
;
B = {выпадет число меньше 3} = {1, 2},
( )
(1)
(2)
P B
P
P
=
+
;
C = {выпадет простое число} = {2, 3, 5},
( )
(2)
(3)
(5)
P C
P
P
P
=
+
+
Чтобы найти ответ, остается выяснить, как определить вероятность каждого из элементарных исходов. В общем случае это сделать не про- сто. Однако для кубика почти очевидно, что все исходы имеют одну и ту же вероятность 1 6
На чем основана такая убежденность? Прежде всего об этом говорят результаты проведенных нами испытаний. Мы видели, что с увеличени- ем числа опытов относительные частоты всех шести исходов начинают выравниваться и приближаться к одному и тому же числу 1 6
. Тем не менее сколько бы опытов мы ни провели, полной уверенности, что это и есть вероятность, у нас все равно не будет!
Эта уверенность возникает скорее по другой причине — из-за сим- метрии кубика. Каждая из шести граней ничем не лучше (и не хуже)
любой из пяти оставшихся. Это дает нам все основания утверждать,
что шесть исходов этого опыта имеют одинаковую вероятность, или,
как говорят, равновозможны. То же самое можно сказать про два исхода при подбрасывании монеты в опыте 1, про 15 исходов при вы- боре двух из шести перчаток в опыте 3 и даже про бесконечное число исходов в опыте 4. А вот считать равновозможными исходы опытов 5
Случайные события и вероятность

20
и 6 никаких оснований, разумеется, нет. Их вероятность можно оце- нить только по частоте, найденной по результатам имеющихся статис- тических наблюдений.
* * *
Итак, если все исходы эксперимента имеют равные шансы, то они называются равновозможными. Чаще всего равновозможность исхо- дов следует из условий проведения опыта и симметрии тех объектов,
которые в нем участвуют. Для опытов с конечным числом равновоз- можных исходов можно сформулировать простое правило подсчета ве- роятности любого случайного события, получившее название формулы классической вероятности или формулы Лапласа.
Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n равновозможных исходов. Пусть ровно m из этих исхо- дов благоприятствуют (т.е. приводят к наступлению) случайного со- бытия A. Тогда вероятность этого события может быть вычислена по формуле:
( ) m
P A
n
=
Формула немедленно следует из равновозможности всех исходов и из свойства, по которому вероятность случайного события равна сумме вероятностей входящих в него исходов.
Вернемся к рассмотренным ранее случайным опытам и найдем вероят- ности приведенных в них событий по формуле классической вероятности:
Опыт 2. У этого опыта
6
n = равновозможных исходов. Найдем ко- личество благоприятных исходов для каждого из описанных выше со- бытий (см. раздел 1):
3,
2,
3
A
B
C
m m
m
=
=
=
;
3 1 2 1 3 1
( )
, ( )
, ( )
6 2 6 3 6 2
= =
= =
= =
P A
P B
P C
Опыт 3. В этом опыте, как мы уже видели,
15
n =
равновозможных исходов. Найдем для каждого из событий количество благоприятных исходов (см. раздел 1):
Лекция 1

21 3,
3,
6,
9
=
=
=
=
A
B
C
D
m m
m m
;
3 1 3 1 6
2 9
3
( )
, ( )
, ( )
, ( )
15 5 15 5 15 5 15 5
P A
P B
P C
P D
=
=
=
=
=
=
=
=
Опыт 4. В этом опыте все исходы равновозможны, но количество их бесконечно, поэтому формула Лапласа здесь неприменима. Тем не ме- нее вычисление вероятности без проведения эксперимента возможно и здесь, но на основе другой формулы — формулы геометрической веро- ятности, о которой пойдет речь в следующем разделе.
* * *
Формула классической вероятности дает очень простой, не требую- щий проведения экспериментов, способ вычисления вероятностей. Од- нако простота этой формулы очень обманчива. Дело в том, что при ее использовании возникают, как правило, два очень непростых вопроса:

1. Как выбрать систему исходов опыта так, чтобы они были равно- возможны, и можно ли это сделать вообще?
2. Как найти числа m и n?
Если в опыте участвуют несколько предметов, равновозможные ис- ходы увидеть не всегда просто (мы уже могли в этом убедиться на при- мере с перчатками). Великий французский философ и математик Да- ламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошиб- кой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Опыт 7 (ошибка Даламбера). Подбрасываем две одинаковые моне- ты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?
Решение Даламбера. Опыт имеет три равновозможных исхода:
1. обе монеты упадут на «орла»;
2. обе монеты упадут на «решку»;
3. одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэто- му искомая вероятность равна
2 3 .
Правильное решение. Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1. первая монета упадет на «орла», вторая тоже на «орла»;
2. первая монета упадет на «решку», вторая тоже на «решку»;
Случайные события и вероятность

22 3. первая монета упадет на «орла», а вторая — на «решку»;
4. первая монета упадет на «решку», а вторая — на «орла».
Из них благоприятными для нашего события будут два исхода, поэто- му искомая вероятность равна
2 1 4 2
= .
Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, до- пускаемую при вычислении вероятности: он объединил два элементар- ных исхода в один, тем самым сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам опыта. Чтобы не повторить эту ошибку, помните,
что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы. Рассмотрим применение этого правила еще на одном инте- ресном примере.

Опыт 8. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскива- ют 2 шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?
Для этой задачи мы приведем целых четыре разных решения (с раз- ными ответами!).
Решение 1. В коробке четыре шара:
Возможные исходы опыта:
1. — вынули 2 белых шара;
2. — вынули 1 белый и 1 черный шар;
3. — вынули 2 черных шара.
Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 3. Отсюда:
2 3,
2, ( )
3
n m
P A
=
=
=
В этом решении мы считали, что шары вынимались одновременно,
поэтому не различали, какой из них вынут первым, а какой — вторым.
Попробуем считать, что шары вынимаются друг за другом (без возвра- щения).
Решение 2. В коробке четыре шара:
Возможные исходы:
1. — и в первый, и во второй раз вынули белые шары;
2. — вынули сначала белый шар, потом черный;
3. — вынули сначала черный шар, потом белый;
4. — и в первый, и во второй раз вынули черные шары.
Лекция 1

23
Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 4. Отсюда:
2 1 4,
2, ( )
4 2
n m
P A
=
=
= =
Получили другой ответ! А теперь пронумеруем (хотя бы мысленно)
шары, которые находятся в коробке.
Решение 3. В коробке четыре шара:
¬ ­ ё №
Будем снова считать, что шары вынимаются одновременно. Возмож- ные исходы:
1.
¬ ­
2.
¬ ё
3.
¬ № 4.
­ ё
5.
­ № 6.
ё №
Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 6. Отсюда:
2 1 6,
2, ( )
6 3
n m
P A
=
=
= =
Третье решение — третий ответ! А можно привести еще и четвертое,
в котором пронумерованные шары будут выниматься не одновременно,
а друг за другом (запишите его самостоятельно).
Каждое из приведенных решений кажется убедительным. Однако понятно, что, как и в задаче Даламбера, какие-то из них ошибочны —
ответы-то получились разные! Причем ошибку надо искать не в вычис- лениях (они очень простые), а в выбранных моделях. Вслед за Даламбе- ром, мы забыли о том, что при определении равновозможных исходов нужно различать все предметы, участвующие в эксперименте, а не толь- ко их цвета. Значит, правильными следует считать только решения 3 и 4
(убедитесь, что четвертое решение даст тот же самый ответ:
1
( )
3
P A =
).
Если приведенные здесь рассуждения вас все-таки не убедили, со- ветуем воспользоваться самым испытанным способом: взять четыре шара и провести описанный в задаче эксперимент. Повторив его многократно,
Случайные события и вероятность

24
вы сможете оценить неизвестную вероятность по полученной частоте.
Надеемся, что полученный результат будет близок к
1 3
4. Геометрическая вероятность
Итак, в предыдущем разделе мы научились вычислять вероятности событий в опытах, имеющих конечное число равновозможных исхо- дов. Для этого не требуется проводить никаких экспериментов — нужно всего лишь правильно посчитать количество всех возможных исходов опыта и количество исходов, благоприятных для данного события.
А как быть, если этих исходов бесконечно много? Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случай- ным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве, — вспом- ните, например, опыт 4 с тетрадным листом и монетой. Формула класси- ческой вероятности здесь уже неприменима. Посмотрим, как все же и в этом случае вычислить вероятность без обращения к опыту.
Выберем на географической карте мира случайную точку (например,
зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность. А какова вероятность попасть при этом в Грин- вичский меридиан? Как ни странно, придется положить ее равной нулю,
т.к. площадь меридиана равна нулю (это ведь линия, а не фигура: у нее есть только длина). На самом деле ничего странного в этом факте нет —
попасть указкой точно в меридиан невозможно.
Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой ограниченной области ? случайно выбирается точка:
Лекция 1

25
Если предположить, что попадание в любую точку области ? равно- возможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное мно- жество A будет равна отношению площадей
( )
( )
( )
S A
P A
S
=
?
(через P мы, как и раньше, обозначаем вероятность, а через S — пло- щадь). Если A имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в A
равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок L будет нуле- вой. Такое определение вероятности называется геометрическим.
Ситуация напоминает классическое определение вероятности: как и там, здесь важна равновозможность всех исходов, т.е. всех точек обла- сти. Но теперь число исходов эксперимента бесконечно, поэтому прихо- дится считать не их количество, а занимаемую ими площадь. Точно так же можно определить геометрическую вероятность в пространстве (вме- сто площадей здесь надо брать объемы тел) и на прямой (а здесь —
длины отрезков).
* * *
Теперь самое время вернуться к опыту с тетрадным листом и моне- той.
Опыт 4. Напомним, что в этом опыте мы договорились считать мно- жеством исходов
{ : 0 4}
x x
? =
? ?
. Если монета бросается на лист на- удачу, то все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными. Зна- чит, вероятности событий
A = {монета пересекла 2 линии} =
{ : 2 4}
x x
< ?
;
B = {монета пересекла 3 линии} =
{ :0 2}
x x
? ?
можно найти по формуле геометрической вероятности, поделив дли- ны отрезков [2; 4] и [0; 2] на длину всего отрезка [0; 4]:
2 1
( )
4 2
P A = = ;
2 1
( )
4 2
P B = = .
Вероятности событий A и B совершенно неожиданно получились оди- наковыми. Но предполагать это с самого начала не было никаких осно- ваний: стоит изменить параметры задачи (расстояние между линейками
Случайные события и вероятность

26
или размер монеты) — и равновозможность этих событий исчезнет (см.
задачу в конце лекции).
А вот в следующем опыте ответ можно найти как с помощью геомет- рической вероятности, так и по формуле Лапласа.
Опыт 9. Проводится опыт с вертушкой (рулеткой), изображенной на рисунке. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивает- ся и останавливается в случайном положении (такую вертушку легко изготовить самому с помощью куска картона, кнопки и английской бу- лавки с «ушком»).