Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября

• Название: Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
• Дата: 27.03.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Лекции 1-4.pdf
• Тип: Лекции; #419622
• страница: 7 из 10

Пример 4. Из перетасованной колоды с 36 картами случайно выни- мают две карты. С какой вероятностью они будут одной масти?
1-е решение. Искомое событие можно представить как объединение четырех непересекающихся событий:
1 2
3 4
A A
A
A
A
= ?
?
?
, где
A
1
= {обе карты пиковой масти};
A
2
= {обе карты трефовой масти};
A
3
= {обе карты бубновой масти};
A
4
= {обе карты червовой масти}.
Найдем вероятность A
1
, используя полученные ранее знания из ком- бинаторики:
2 9
1 2
36 9! 2! 34!
8 9 2
( )
2! 7! 36!
35 36 35
C
P A
C
?
?
=
=
?
=
=
?
?
В силу очевидной симметрии вероятности событий
2 3
4
, ,
A A A
будут такими же. По формуле сложения вероятностей для несовместных со- бытий получаем
2 2
2 2
8
( )
35 35 35 35 35
P A =
+
+
+
=
2-е решение. Пусть мы уже вытащили одну карту. Теперь в колоде осталось 35 карт, из которых ровно 8 карт имеют ту же масть. Значит,
вероятность искомого события
8 35 .
Конечно, 2-е решение намного оригинальнее и привлекательнее. Но все-таки оно не совсем честное. Что значит «пусть мы уже вытащили»?
Имеем ли мы право проводить такие рассуждения? Об этом мы погово- рим в следующем разделе.
Лекция 3

77 4. Независимые события. Условная вероятность.
Формула умножения вероятностей
Понятие независимости является центральным во всей теории веро- ятностей. Математики считают, что именно оно выделяет ее из общей теории меры и делает самостоятельной отраслью математической науки с необъятным полем для приложений.
Рассмотрим два случайных события A и B, связанные с одним и тем же случайным экспериментом. Предположим, что в результате экспери- мента произошло событие A. Можно ли в этом случае сказать что-либо о событии B? Изменились ли его шансы? Разумеется, ответ на этот во- прос будет зависеть от того, о каких событиях идет речь, и может быть как положительным, так и отрицательным. Бывают ситуации, когда, по- лучив информацию о событии A, мы можем однозначно сказать, что событие B произошло, или, наоборот, точно сказать, что не произошло.
Пример 1. Пусть A и B несовместны, и в результате эксперимента событие A произошло. Что можно сказать о B? Посмотрим на диаграм- му Эйлера:
Событие B точно не произошло!
Пример 2. Пусть A п B, и в результате эксперимента событие A
произошло. Что можно сказать о B? Посмотрим на диаграмму Эйлера:
B
?
A
B
?
A
Свойства вероятностей

78
Событие B точно произошло!
В этих двух примерах события A и B связаны между собой очень сильно, можно сказать, что они сильно зависимы. А вот пример совсем другого рода.
Пример 3. Бросают два кубика. Рассмотрим события
A = {на первом кубике выпадет шестерка};
B = {на втором кубике выпадет шестерка}.
Пусть известно, что событие A произошло. Что можно сказать о собы- тии B? Его шансы вообще никак не изменились. Результат эксперимента с первым кубиком не может повлиять на результат эксперимента со вто- рым. В этом случае разумно считать события A и B независимыми.
Пример 4. Из натуральных чисел от 1 до 10 наудачу выбирают одно число. Рассмотрим события
A = {выбранное число будет делиться на 2};
B = {выбранное число будет делиться на 3}.
Что можно сказать о зависимости этих событий? Казалось бы, дели- мость на 2 никак не связана с делимостью на 3. Вот если бы речь шла о делимости на 2 и на 4 — тогда другое дело. И тем не менее, они зави- симы. Точнее было бы сказать, они статистически зависимы.
Чтобы разобраться с этой странной зависимостью, найдем для начала вероятность события B. Из рассматриваемых чисел на 3 делятся три чис- ла — 3, 6 и 9. Отсюда
3
( )
10
P B =
Теперь представим себе, что мы получили информацию о том, что выбранное число делится на 2 (т.е. событие A произошло), но само это число осталось неизвестным. Какова теперь вероятность, что оно делит- ся на 3? Поскольку мы точно знаем, что выбранное число делится на 2,
то это одно из пяти чисел 2, 4, 6, 8, 10. Среди этих чисел на 3 делится только число 6. Следовательно, в этих условиях разумно считать веро- ятностью события B дробь
1 5 .
Мы видим, что 1 3 5 10
<
, значит, шансы события B уменьшились (прав- да, очень незначительно — всего на
1 10 ). Следовательно, события A и B
нельзя считать абсолютно независимыми.
Лекция 3

79
Попробуем разобраться, откуда взялась в наших рассуждениях дробь
1 5 . Нарисуем события A и B на диаграмме Эйлера:
Фраза «событие A произошло» означает сужение множества всех возможных исходов ? до множества A. Посмотрим на пересечение со- бытий A и B:
1) если оно пусто (как в примере 1), то B произойти уже не может,
т.к. не осталось благоприятных для него исходов;
2) если оно совпадает со всем A (как в примере 2), то B обязательно произойдет, т.к. все оставшиеся исходы благоприятны для B;
3) наконец, если оно не пусто и не совпадает со всем A (как в приме- ре 4), то новую вероятность события B разумно определить как отноше- ние числа исходов из
B
A ? к числу исходов из A; эту вероятность на- зывают условной вероятностью события B при условии, что событие
A произошло.
В общем случае, когда исходы опыта не обязательно равновозмож- ны, поступают точно так же: условной вероятностью события * при условии ) называют отношение
(
)
( | )
( )
P A B
P B A
P A
?
=
Можно сказать, что это вероятность события B в новых условиях:
когда известно, что событие A произошло.
Пример 5. Из коробки с 2 белыми и 2 черными шарами вынимают друг за другом без возвращения 2 шара. Рассмотрим события
A
1
= {первый шар белый};
A
2
= {второй шар белый};
1 2
A A
A
= ? = {оба шара белые}.
B
A
?
Свойства вероятностей

80
Найдем сначала их вероятности. Вычисление вероятности A
1
не со- ставляет труда: из четырех возможных исходов два благоприятных, по- этому
1 2 1
( )
4 2
P A = = . С вероятностью A
2
дело обстоит несколько слож- нее, хотя почти очевидно, что она тоже равна
1 2 (а чему еще она может равняться, если ситуация абсолютно симметрична относительно черных и белых шаров?). Чтобы получить этот результат по всем правилам, вы- пишем исходы всего эксперимента в целом, считая вынутыми уже оба шара:
ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ
(Б — белый шар, Ч — черный шар). Если вам кажется, что они равно- возможны, обязательно вернитесь к опыту 8 из лекции 1! На самом деле равновозможными исходами опыта будут следующие 12 исходов:
12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
(мы перенумеровали все шары числами от 1 до 4). Будем считать, что шары № 1 и № 2 — белые, а № 3 и № 4 — черные. Тогда
A
1
= {12, 13, 14, 21, 23, 24},
1 6
1
( )
12 2
P A =
= ;
A
2
= {12, 21, 31, 32, 41, 42},
2 6
1
( )
12 2
P A =
= ;
2 1
A
A
A
?
=
= {12, 21},
1 2
2 1
(
)
12 6
P A
A
?
=
= .
А теперь найдем условные вероятности событий A
1
и A
2
друг относи- тельно друга.
а)
2 1
2 1
1
(
) 1 2 1
( | )
( )
6 1 3
P A
A
P A A
P A
?
=
= ? = .
Найденное значение можно было получить гораздо быстрее: ведь
2 1
( | )
P A A
это вероятность события A
2
при условии, что A
1
произошло.
Если A
1
произошло, то в коробке осталось 3 шара, из которых 1 белый и
2 черных. Вероятность вынуть из такой коробки белый шар будет, разу-
Лекция 3

81
меется,
1 3
. Получается, что
2 1
( | )
P A A
находится в этой ситуации даже проще, чем
2
( )
P A
!
б)
1 2
1 2
2
(
) 1 2 1
( | )
( )
6 1 3
P A
A
P A A
P A
?
=
= ? =
Во-первых, сразу отметим, что тот же ответ в пункте б) получился только потому, что
1 2
( )
( )
P A
P A
=
; в общем случае такого равенства уже не будет. Во-вторых, посчитать
1 2
( | )
P A A
как вероятность A
1
в новых условиях, когда A
2
уже произошло, здесь не удается — ведь A
1
во вре- мени предшествует A
2
! Тем не менее говорить об условной вероятно- сти
1 2
( | )
P A A
все равно можно — только считать ее придется по опреде- лению, то есть именно так, как это сделано выше.
* * *
Итак, для любых событий A и B мы ввели понятие условной вероят- ности B относительно A следующим образом:
(
)
( | )
( )
P A B
P B A
P A
?
=
,
предполагая при этом, что P(A) - 0. Вполне естественно считать, что событие B не зависит от события A, если его вероятность не изменяется после наступления A, т.е. его условная вероятность равна безусловной:
( | )
( )
P B A
P B
=
Перепишем последнее равенство, подставив в него
)
|
(
A
B
P
из пре- дыдущей формулы:
(
)
( );
( )
(
)
( ) ( ).
P A B
P B
P A
P A B
P A P B
?
=
?
=
?
К тому же результату мы придем, если предположим, что A не зави- сит от B:
Свойства вероятностей

82
( | )
( );
(
)
( );
( )
(
)
( ) ( ).
P A B
P A
P A B
P A
P B
P A B
P A P B
=
?
=
?
=
?
Последнее равенство удобно тем, что оно симметрично относительно событий A и B. В теории вероятностей его и принимают за определение независимости: случайные события A и B называются независимыми,
если вероятность их произведения равна произведению вероятностей:
(
)
( ) ( )
P A B
P A P B
?
=
?
Аналогично можно определить независимость трех, четырех и более событий. Для этого требуют, чтобы вероятность пересечения любого на- бора этих событий равнялась произведению соответствующих вероят- ностей.
Последнее равенство называют еще формулой умножения вероят- ностей для независимых событий. Его часто используют в задачах,
где требуется найти вероятность пересечения независимых событий.
Пример 6. Каждый из двух охотников попадает в цель с вероятно- стью 0, 4. Они одновременно выстрелили в одного и того же вальдшне- па. С какой вероятностью вальдшнеп уцелеет? Чтобы вальдшнеп уцелел,
должны одновременно произойти два события:
1
A
= {первый охотник промахнулся} и
2
A
= {второй охотник про- махнулся}.
Поскольку охотники стреляют по вальдшнепу независимо друг от друга, воспользуемся формулой умножения вероятностей для незави- симых событий:
1 2
1 2
(
)
( ) ( ) 0,6 0,6 0,36
P A
A
P A P A
?
=
?
=
?
=
Внимательный читатель наверняка заметил в решении задачи своеоб- разный порочный круг: с одной стороны, мы определили независимость событий через выполнение равенства
1 2
1 2
(
)
( ) ( )
P A
A
P A P A
?
=
?
,
а с другой, говорим: поскольку охотники стреляют независимо, то вос- пользуемся этим равенством!
Лекция 3

83
Ответ здесь простой: если независимость следует из самого меха- низма проведения опыта (как в приведенном примере), то формулой умножения можно пользоваться, чтобы найти вероятность пересечения событий; если независимость не следует из самого механизма, то ее можно доказать только проверив, выполняется ли соответствующее ра- венство.
Пример 7. Из натуральных чисел от 1 до 10 наудачу выбирают одно число. Будут ли события A = {выбранное число будет делиться на 2} и

B = {выбранное число будет делиться на 5} независимыми?
Для ответа на вопрос представим все события как множества благо- приятных исходов:
A = {2, 4, 6, 8, 10};
B = {5, 10};
A B
? = {10}.
Отсюда
5 1
( )
10 2
P A =
= ;
2 1
( )
10 5
P B =
= ;
1
(
)
10
P A B
?
=
Поскольку
1 1 1
2 5 10
? =
, то события A и B независимы, хотя утверждать это без проверки приведенного равенства было бы рискованно — доста- точно вспомнить пример 4.
* * *
В предыдущем разделе мы рассмотрели формулу сложения вероят- ностей в двух ее видах — для несовместных событий и для произволь- ных. Такая же ситуация с формулой умножения вероятностей. Она так- же имеет две разновидности — для независимых событий и для произ- вольных.
Формула умножения вероятностей для произвольных событий выг- лядит так:
(
)
( ) ( | )
P A B
P A P B A
?
=
?
,
и получается непосредственно из определения условной вероятности.
Отметим, что пользоваться ею можно только в том случае, если событие A
Свойства вероятностей

84
имеет ненулевую вероятность (иначе будет не определена условная веро- ятность).
В этой формуле тоже есть некий порочный круг: выше мы ввели оп- ределение условной вероятности как отношения
(
)
( )
P A B
P A
?
, а теперь пред- лагаем вычислять вероятность пересечения через условную вероятность.
Но, как и с независимостью событий, здесь есть простое объяснение:
формулой умножения можно пользоваться, если условную вероятность
( | )
P B A
можно посчитать, минуя ее формальное определение: как веро- ятность события B в новых условиях, возникших после наступления A.
Пример 8. Коля подготовил к экзамену 15 вопросов из 20. С какой вероятностью в билете, который содержит два вопроса, он будет знать оба вопроса? Рассмотрим два события:
A
1
= {Коля знает первый вопрос};
A
2
= {Коля знает второй вопрос}.
Очевидно, что в задаче требуется найти вероятность их пересечения.
Воспользуемся для этого формулой произведения вероятностей:
1 2
1 2
1 15 14
(
)
( ) ( | )
0,55 20 19
P A
A
P A P A A
?
=
?
=
?
?
Дробь
14 19 возникает здесь как вероятность события A
2
в новых усло- виях: событие A
1
произошло, значит, осталось 19 вопросов, из которых
Коля выучил 14.
Отметим, что если бы в этой задаче мы считали события A
1
и A
2
неза- висимыми, то ошибка была бы не такой уж большой:
1 2
1 2
15 15
(
)
( ) ( )
0,56 20 20
P A
A
P A P A
?
=
?
=
?
?
Это можно объяснить тем, что события A
1
и A
2
«слабо зависимы».
* * *
В заключение, выведем еще одну замечательную формулу, которая позволит нам находить вероятность объединения независимых собы- тий. Пусть события A и B независимы.
Лекция 3

85
Тогда
(
) 1
( ) ( )
P A B
P A P B
?
= ?
?
Доказательство основано на следующем замечательном равенстве
A B A B A B
? = ? = ? ,
которое несложно получить с помощью элементарных рассуждений или диаграммы Эйлера. Используя формулу вероятности противоположно- го события и независимость A и B , получаем:
(
)
(
)
(
) 1
(
) 1
( ) ( )
P A B
P A B
P A B
P A B
P A P B
?
=
?
=
?
= ?
?
= ?
?
Формула легко обобщается на случай произвольного числа незави- симых событий:
1 2
1 2
(
) 1
( ) ( ) ... ( )
k k
P A
A
A
P A P A
P A
?
? ?
= ?
?
? ?
Пример 9. Билет лотереи «Спринт» выигрывает с вероятностью 0, 3.

Коля купил сразу три таких билета. Какова вероятность, что хотя бы один из них выиграет?
Обозначим через
1 2
3
, ,
A A A
события «выиграет 1-й билет», «выиграет
2-й билет» и «выиграет 3-й билет». В задаче нужно найти вероятность их объединения. События можно считать независимыми, поэтому
1 2
3 1
2 3
(
) 1
( ) ( ) ( )
1 0,3 0,3 0,3 1 0,343 0,657.
P A
A
A
P A P A P A
?
?
= ?
?
?
=
= ?
?
?
= ?
=
Вопросы и задачи
К разделу 1 1. Какое событие называется противоположным? Как связаны веро- ятности событий A и A ? Какое событие будет противоположным к A ?
2. Из коробки, в которой лежат 2 красных, 2 желтых и 2 зеленых шара, извлекают 2 шара. Рассмотрим следующие четыре события:
A = {оба шара красные};
B = {среди вынутых шаров нет красных};
C = {по крайней мере один из шаров красный};
D = {ровно один из вынутых шаров красный}.
Найдите среди них взаимно противоположные и вычислите их веро- ятности.
Свойства вероятностей

86 3. Монету подбрасывают 6 раз. Событие A записано как подмноже- ство исходов:
A = {ОРОРОР, РОРОРО}.
Найдите
( )
P A
4. Сколько раз надо бросить кубик, чтобы вероятность появления хотя бы одной шестерки была больше
1 2
?
Совет: рассмотрите событие, противоположное к событию A = {в N
бросаниях кубика выпала хотя бы одна шестерка}.

К разделу 2 5. Что такое объединение событий? Что такое пересечение событий?
6. Бросают кубик. Найдите все возможные попарные объединения и пересечения следующих событий:
A = {выпадет простое число};
B = {выпадет четное число};
C = {выпадет 1 или 6}.
7. Случайный эксперимент представляет собой очередной футболь- ный матч «Спартак» — «Динамо». Изобразите на диаграмме Эйлера,
как соотносятся между собой следующие события:
A = {«Спартак» не проиграет};
B = {«Динамо» не проиграет};
C = {в игре будет забито не более одного мяча}.
Покажите на этой диаграмме, куда попадают следующие исходы матча:
0 : 0, 1 : 0, 0 : 1, 1 : 1, 2 : 0, 0 : 2, 2 : 2.
8. Из колоды с 36 картами случайно вынимают одну карту. Рассмот- рим события:
A = {вытянут короля};
B = {вытянут даму};
C = {вытянут пику};
D = {вытянут красную масть}.
Лекция 3

87
Найдите количество элементарных исходов в каждом из следующих событий:
а)
(
)
A C
B
?
?
; б)
(
)
A
C B
?
7
; в)
(
) (
)
A B
C D
?
?
?
; г) A B C D
? ? ? .
К разделу 3 9. Какие события называются несовместными? Как вычислить веро- ятность объединения несовместных событий? А в общем случае?
10. У случайного прохожего узнают дату его рождения. Какие из следующих событий попарно несовместны:
A = {он родился летом};
B = {он родился в феврале};
C = {он родился 29 февраля};
D = {он родился в 2005 году}.

11. Бросают 5 монет. Какова вероятность, что число «орлов» будет нечетно? Изменится ли ответ, если бросают 6 монет?
12. Известно, что P(A) = 0,6 и P(B) = 0,6. В каких границах может лежать
(
)
P A B
?
?
К разделу 4 13. Какие события называются независимыми? Как вычислить веро- ятность пересечения независимых событий? А в общем случае?