Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября

• Название: Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
• Дата: 27.03.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Лекции 1-4.pdf
• Тип: Лекции; #419622
• страница: 9 из 10

?? ? ??
?
? ? =
=
??
(естественно, в предположении, что 0 50
a b
? ? ?
). Остается найти такую функцию, чтобы
2 2
2
( )
50
b a
b a
p x dx
?
=
?
Те кто хорошо учил математический анализ, вспомнят, что можно продифференцировать это тождество по параметру b и получить выра- жение для p(x):
2 2
( )
50
x p x =
при
[0; 50]
x ?
Вне отрезка [0; 50] плотность, естественно, равна 0. Вот так будет выглядеть график p(x):
Случайные величины p(x)
x

104
Площадь под графиком, как и положено, равна 1. Из графика видно,
что большие значения R более вероятны, чем меньшие. На первый взгляд результат неожиданный — ведь попадание во все точки мишени по на- шему предположению равновозможно. Но на самом деле никакого про- тиворечия здесь нет, поскольку геометрическая вероятность пропорцио- нальна площади, а площади колец одинаковой толщины уменьшаются с уменьшением радиуса. Так что даже для получения равномерной плот- ности для величины R нужно стрелять прицельно. А плотность вероятно- сти на следующем рисунке говорит уже об очень высоком классе стрелка:
Закон распределения величины P из этого примера вы найдете в за- даче 8.
Что касается законов распределения случайных величин из приме- ра 4, то лучше всего получить их экспериментально, проделав серию
Лекция 4
p(x)
x

105
опытов и заполнив по их результатам соответствующие таблицы. Мы еще вернемся к такому способу, когда будем изучать методы математи- ческой статистики. Интересно, что при самых общих предположениях об условиях эксперимента распределение таких величин, как рост, вес и многих других, будет подчиняться одному и тому же закону распре- деления — нормальному закону. К этому замечательному факту мы вернемся в самом конце нашего курса.
3. Числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание. Дисперсия
Итак, мы выяснили, что для того, чтобы охарактеризовать поведение случайной величины, не обязательно знать ее значение для каждого из возможных исходов опыта — можно вполне обойтись информацией,
которую мы назвали законом распределения случайной величины. Для дискретных величин эту информацию удобно представлять в виде табли- цы, для непрерывных — в виде функции p(x), называемой плотностью распределения.
Можно пойти еще дальше и сократить количество информации до минимума, заменив закон распределения всего одним или несколькими числами. Конечно, много полезной информации будет при этом потеря- но. Но если числовые характеристики выбраны удачно, то они могут стать «квинтэссенцией», содержащей наиболее важную информацию о поведении случайной величины.
Обратившись к повседневному опыту, нетрудно догадаться, что наи- более важной числовой характеристикой случайной величины является ее среднее значение, или, как говорят в теории вероятностей, математи- ческое ожидание случайной величины. Посмотрим, каким образом мож- но было бы его определить. Начнем с дискретных величин. Пусть вели- чина X имеет следующий закон распределения:
Значение x
1
x
2
x n
Вероятность p
1
p
2
p n
Что можно считать ее средним значением? Казалось бы, наиболее естественный способ — взять среднее арифметическое всех возможных значений x i
. Но тогда не будут учтены их вероятности, а ведь какие-то из
Случайные величины

106
i x
более вероятны и, значит, должны внести больший вес в формирова- ние среднего значения. В теории вероятностей средним значением или математическим ожиданием дискретной случайной величины X н а- зывают число
1 1 2 2 3 3
( )
n n
E X
x p x p x p x p
=
+
+
+ +
Как видите, каждое из возможных значений входит в это выражение со своим весом, равным соответствующей вероятности. Обозначение
E(X) происходит от английского слова expectation — ожидание.
Если возможных значений x i
i x
счетное число, то сумма становится бесконечной, то есть превращается в числовой ряд. Ряды, как вы, навер- ное, помните, сходятся уже далеко не всегда, поэтому не всякая случай- ная величина имеет конечное математическое ожидание.
Для непрерывных величин ситуация еще сложнее — здесь для вы- числения математического ожидания приходится снова привлекать по- нятие интеграла:
( )
( ) .
E X
x p x dx
?
??
=
?
?
Сравнивая данное выражение с его дискретным аналогом, нетрудно увидеть в этом интеграле все ту же «сумму» всех возможных значений случайной величины, взвешенную их вероятностями.
Найдем математические ожидания случайных величин, рассмотрен- ных в предыдущих разделах.
Пример 1. «Два кубика». Поскольку X и Y имеют одинаковый закон распределения, то их математические ожидания совпадают:
1 1
1 1
1 1
( )
( ) 1 2
3 4
5 6
3,5.
6 6
6 6
6 6
E X
E Y
=
= ? + ? + ? + ? + ? + ? =
Получается, что в среднем на каждом из кубиков выпадает по три с половиной очка? Как ни странно, это именно так. Среднее значение может не совпадать ни с одним из возможных значений случайной ве- личины. О том, как можно интерпретировать значение 3, 5 на практике,
мы поговорим в заключительном разделе этой лекции.
Лекция 4

107
А теперь найдем математическое ожидание суммы очков на двух ку- биках:
1 2
3 4
5 6
5 4
( ) 2 3
4 5
6 7
8 9
36 36 36 36 36 36 36 36 3
2 1
10 11 12 7.
36 36 36

E S = ?
+ ?
+ ?
+ ?
+ ?
+ ?
+ ?
+ ?
+
+ ?
+ ?
+ ?
=
Полученный результат можно было угадать, глядя на график закона распределения случайной величины S: он абсолютно симметричен отно- сительно значения 7. Если закон распределения симметричен относи- тельно некоторого числа a, то оно и будет математическим ожиданием этой величины.
Пример 2. «До первого орла». Здесь случайная величина X хоть и дискретная, но имеет бесконечное число возможных значений, поэтому математическое ожидание будет равно бесконечной сумме
1 1
1 1
1
( ) 1 2
3 4
5 2
4 8
16 32

E X = ? + ? + ? + ?
+ ?
+
Для вычисления этой суммы нам придется использовать одно заме- чательное равенство, которое мы сейчас докажем:
2 3
2 1
1 2 3
4
(1
)
p p
p p
+
+
+
+ =
?
при | p | < 1.
Выражение напоминает сумму бесконечной геометрической прогрес- сии, но перед каждым членом прогрессии стоит свой коэффициент. Пе- регруппируем слагаемые в этой бесконечной сумме (обоснование этого шага можно найти в курсе математического анализа):
2 3
2 3
3 2
2
(
...) (
...) (
...) ...
1 1
1 1
1
(1
)
p p p
p p
p p
p p
p p
p
+
+
+
+
+
+
+
+
+ =
=
+
+
+ =
?
?
?
?
Равенство доказано. Вернемся к подсчету математического ожидания:
2 1
1 1
1 1
1 1
( )
(1 2 3
4 5
...)
2.
1 2
2 4
8 16 2 (1 )
2

E X = ? + ? + ? + ? + ?
= ?
=
?
Случайные величины

108
Как видите, даже величина, способная принимать неограниченно боль- шие значения, вполне может иметь конечное (и очень небольшое!) мате- матическое ожидание. Понятно, по какой причине это происходит в на- шем примере: вероятности больших значений очень быстро убывают.
И наконец, пример 3, в котором величины имеют непрерывные рас- пределения.
Пример 3. «Стрельба по мишени». Найдем математическое ожида- ние случайной величины R:
50 50 3
3 2
2 2
0 0
2 2
2 50 100
( )
33,33.
3 50 3 50 3 50
x x
E X
x dx
?
=
?
=
=
=
?
?
?
?
Заметьте, что математическое ожидание получилось значительно боль- ше 25 см. Попробуйте угадать, каким бы оно было при равномерном распределении R на отрезке [0; 50] (см. задание 18).
* * *
Главным недостатком приведенного определения математического ожидания является его зависимость от типа случайной величины: для дискретных величин это сумма, для непрерывных — интеграл. Борьба с этим «изъяном» привела в свое время к появлению нового определения интеграла, предложенного А.Лебегом. С точки зрения интеграла Лебега и конечная сумма, и интеграл в привычном понимании являются част- ными случаями общего понятия интеграла. Но обсуждение этого вопро- са оказывается далеко за рамками нашего курса.
В заключение отметим некоторые свойства математического ожида- ния, которые можно вывести из его определения (вывод придется про- водить отдельно для дискретных и отдельно для непрерывных величин):
1) математическое ожидание константы k равно ей самой: E(k) = k;
2) если k — произвольное число, то E(k · X) = k · E(X);
3) для любых случайных величин X и Y выполняется равенство
(
)
( )
( ).
E X Y
E X
E Y
+
=
+
Два последних свойства делают математическое ожидание линейной функцией на множестве случайных величин, имеющих конечное мате- матическое ожидание. Кроме этого имеет место еще одно замечательное свойство, которое выполняется уже не для всех, а лишь для независи- мых случайных величин:
E(X · Y) = E(X) · E(Y).
Лекция 4

109
Независимость величин имеет тот же смысл, что и независимость случайных событий (см. предыдущую лекцию), но останавливаться на этом понятии более подробно мы не будем.
Приведенные свойства математического ожидания могут значитель- но облегчить его подсчет. Вернемся к примеру «Два кубика». Математи- ческое ожидание случайной величины S можно найти, не обращаясь к ее закону распределения:
( )
(
)
( )
( ) 3,5 3,5 7.
E S
E X Y
E X
E Y
=
+
=
+
=
+
=
Как видите, этот способ намного короче, чем вычисление
)
(S
E
по определению. Помните об этом при решении задач.
* * *
Итак, мы рассмотрели число, которое характеризует поведение слу- чайной величины в среднем. Но среднее значение далеко не всегда дает даже общее представление о поведении случайной величины. Есть еще одна характеристика, которая зачастую несет не менее важную инфор- мацию, — это разброс (или рассеивание) случайной величины вокруг ее среднего значения. Вспомним известную шутку о том, что средняя температура по больнице, 36,6°. Ведь это вполне может быть так, если часть больных имеет повышенную температуру, а часть пониженную.
Тогда чем же будет отличаться поведение случайной величины, равной температуре больного человека, от поведения величины, равной темпе- ратуре здорового? И та, и другая величины подвержены колебаниям вок- руг некоторого среднего значения (возможно, даже одинакового), но очевидно, что у больных величина этих колебаний будет больше.
Попробуем выяснить, какое выражение может претендовать на роль средней меры рассеивания случайной величины вокруг ее среднего зна- чения. Очевидно, проще всего взять в качестве такой меры среднее от- клонение от среднего, то есть
(
( )).
E X E X
?
К сожалению, в силу свойств математического ожидания эта вели- чина всегда равна нулю:
(
( ))
( )
( ( ))
( )
( ) 0
E X E X
E X
E E X
E X
E X
?
=
?
=
?
=
Случайные величины

110
(мы воспользовались здесь тем, что среднее значение константы равно ей самой). Этот факт имеет простое объяснение: случайная величина
X – E(X) принимает как положительные, так и отрицательные значения,
которые компенсируют друг друга и дают в среднем 0. Для получения объективной характеристики разброса необходимо брать все эти от- клонения с одним и тем же знаком. Здесь возможны разные вариан- ты — например, взять в качестве меры разброса математическое ожи- дание модуля отклонения |X – E(X)| или квадрата отклонения (X – E(X))
2
В теории вероятностей предпочли остановиться на втором варианте и считать основной мерой рассеивания случайной величины дисперсию,
равную
2
( )
(
( )) .
D X
E X E X
=
?
Это определение относится ко всем случайным величинам, но для каждого из типов подсчет дисперсии приводит к своей формуле. Обо- значим для простоты математическое ожидание случайной величины X
через a = E(X). Тогда в соответствии с определением математического ожидания получаем:
• для дискретных величин —
2 2
2 2
1 1
2 2
3 3
( ) (
)
(
)
(
)
... (
)
;
n n
D X
x a p
x a
p x a p
x a
p
=
?
? +
?
?
+
?
?
+ +
?
?
• для непрерывных величин —
2
( )
(
)
( ) .
D X
x a p x dx
+?
??
=
?
?
?
Из определения дисперсии видно, что она действительно является числовой мерой разброса случайной величины вокруг ее математиче- ского ожидания. Однако у дисперсии, в отличие от математического ожи- дания, есть один существенный недостаток: она измеряется в «квадрат- ных» по отношению к самой случайной величине X единицах. Напри- мер, если X измеряется в метрах, то D(X) — в квадратных метрах; если
X измеряется в рублях, то D(X) — в «квадратных рублях»… Чтобы из- бежать такого несоответствия, часто используют другую меру рассеива- ния, равную квадратному корню из дисперсии:
( )
( ).
X
D X
?
=
Лекция 4

111
Эта величина называется средним квадратичным или стандарт- ным отклонением случайной величины X. Стандартное отклонение,
как и математическое ожидание, измеряется в тех же единицах, что и исходная величина X.
* * *
Дисперсия обладает рядом свойств, которые легко получить из ее определения:
1) дисперсия константы равна нулю: D(k) = 0;
2) если k — произвольное число, то D(k · X) = k
2
· D(X).
А вот дисперсия суммы будет равна сумме дисперсий уже не для всех, а лишь для независимых случайных величин:
(
)
( )
( )
D X Y
D X
D Y
+
=
+
Для вычисления дисперсии часто используется еще одна замечатель- ная формула, которую совсем несложно доказать, используя известные нам свойства математического ожидания:
2 2
( )
(
) ( ( ))
D X
E X
E X
=
?
Докажем это равенство:
2 2
2 2
2 2
2
( )
(
( ))
(
2
( ) ( ( )) )
(
) 2 ( ) ( ) ( ( ))
(
) ( ( )) .
D X
E X E X
E X
X E X
E X
E X
E X E X
E X
E X
E X
=
?
=
? ? ?
+
=
=
? ?
?
+
=
?
А теперь вновь обратимся к примерам рассмотренных ранее случай- ных величин и вычислим их дисперсии.
Пример 1. «Два кубика». Вычислим дисперсию случайной величи- ны X двумя способами: по определению и по только что доказанной формуле. В обоих случаях нам понадобится уже вычисленное ранее ма- тематическое ожидание этой величины — E(X) = 3,5.
1-й способ (по определению дисперсии):
2 2
2 2
1 1
1 1
( ) (1 3,5)
(2 3,5)
(3 3,5)
(4 3,5)
6 6
6 6

D X = ?
? + ?
? + ?
? + ?
? +
2 2
1 1
1 1
1 1
(5 3,5)
(6 3,5)
6, 25 2, 25 0, 25 0, 25 6
6 6
6 6
6
+ ?
? + ?
? =
? +
? +
? +
? +
1 1
1 35 2, 25 6, 25 17,5 6
6 6 12
+
? +
? =
? =
Случайные величины

112 2-й способ (по формуле для подсчета дисперсии):
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
( )
(
) ( ( ))
1 2
3 4
5 6
3,5 6
6 6
6 6
6 1
35 91 3,5 6
12
D X
E X
E X
=
?

= ? + ? + ? + ? + ? + ? ?
=
= ? ?
=
Как видим, вычисление дисперсии вторым способом оказалось зна- чительно проще. Это заставляет некоторых авторов ошибочно принимать свойство дисперсии, выраженное формулой D(X) = E(X
2
) – (E(X))
2
, за ее определение.
Как и математическое ожидание, дисперсия полностью определяется законом распределения случайной величины, поэтому
35
( )
( )
12
D Y
D X
=
=
А вот для подсчета дисперсии случайной величины S можно восполь- зоваться одним из свойств дисперсии: нужно вспомнить, что S = X + Y,
причем величины X и Y очевидным образом независимы. Отсюда
35 35 35
( )
(
)
( )
( )
12 12 6
D S
D X Y
D X
D Y
=
+
=
+
=
+
=
Для вычисления дисперсии непрерывных величин приходится вы- числять значение интеграла.
Пример 3. «Стрельба по мишени».
50 50 2
2 4
2 2
2 0
0 2
2 4
2 2
2 100 2
100
( )
3 3
50 4 50 2 50 100 50 100 139;
3 2
3 4 50
x x
D R
x dx ?
?
?
?
=
?
?
=
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
( ) 11,8.
R
?
?
Интересно, что если бы распределение R на отрезке [0; 50] было рав- номерным, то дисперсия была бы больше:
50 50 3
2 2
2 2
2 0
0 1
50
( )
25 25 25 208;
50 3 50 3
x
D R
x dx
=
?
?
=
?
=
?
?
?
?
( ) 14,4.
R
?
?
Лекция 4

113
Вопросы и задачи
К разделу 1 1. Что такое случайная величина? Если рассматривать случайную величину как функцию, что будет ее областью определения и что — мно- жеством значений?
2. Составьте таблицы значений случайных величин P и M из примера
«Два кубика».
3. На координатной прямой в начале отсчета находится фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается на единицу вправо, если вы- пал «орел», или на единицу влево, если выпала «решка». Случайная величина X — координата фишки после пяти бросаний. Сколько воз- можных значений имеет случайная величина X? Какие это значения?
4. Приведите примеры случайных величин, имеющих конечное, счет- ное, несчетное множество возможных значений.

К разделу 2 5. Что такое закон распределения случайной величины? Как он зада- ется для дискретных величин? Для непрерывных?
6. Найдите законы распределения случайных величин P и M из при- мера «Два кубика».
7. Найдите закон распределения случайной величины P из примера
«Стрельба по мишени». Считайте равновозможным попадание пули в любую точку мишени.
8. Найдите закон распределения случайной величины X из задачи 4.
9. Найдите плотность вероятности случайной величины X, равномер- но распределенной на отрезке [a; b]. Нарисуйте график плотности.
10. Пусть случайная величина T — время, которое вы тратите на до- рогу от дома до работы. Нарисуйте, как примерно выглядит плотность вероятности этой величины.
К разделу 3 11. Что такое математическое ожидание случайной величины? Как вычислить математическое ожидание дискретной величины? Непрерыв- ной величины?