Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября

• Название: Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
• Дата: 27.03.2022
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Лекции 1-4.pdf
• Тип: Лекции; #419622
• страница: 10 из 10

12. Какие вы знаете свойства математического ожидания?
13. Найдите математическое ожидание случайных величин P и M из примера «Два кубика».

14. Что такое дисперсия случайной величины? Как вычислить дис- персию дискретной величины? Непрерывной величины?
Случайные величины

114 15. Какие вы знаете свойства дисперсии?
16. Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайных вели- чин P и M из примера «Два кубика».
17. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной вели- чины X из задачи 4.
18. Найдите математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a; b].
Методические замечания
Как уже сказано в начале этой лекции, ее материал напрямую не связан с необходимым минимумом содержания, заложенным в стандарте. Тем не менее на понятие случайной величины опирается практически весь статис- тический материал, к изучению которого мы приступим в следующей лек- ции, здесь же только приведем соответствующие цитаты из стандарта.
Основная школа. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. По- нятие о статистическом выводе на основе выборки.
Старшая школа. Табличное и графическое представление данных.
Числовые характеристики рядов данных.
К разделу 1
Случайные величины играют в теории вероятностей и ее приложени- ях не менее важную роль, чем случайные события. Напомним, что поня- тие случайного события мы формировали постепенно:
– событие, которое при одних и тех же условиях может как произой- ти, так и не произойти;
– любое событие, связанное со случайным экспериментом;
– любое подмножество в ? — множестве всех элементарных исхо- дов опыта.
Совершенно аналогичные стадии можно выделить при формирова- нии понятия случайной величины:
– величина, значения которой зависят от случая;
– любая величина, связанная со случайным экспериментом;
– любая числовая функция
1
, определенная на элементарных исходах опыта, т.е. на элементах ??? .
Лекция 4 1
На самом деле все обстоит несколько сложнее – в математике от этой функции требуется еще измеримость. Но обсуждать здесь это понятие мы не будем.

115
Важно осознать, что для каждого исхода опыта случайная величина имеет вполне конкретное (неслучайное) значение. Но поскольку исход опыта заранее непредсказуем, то непредсказуемо и значение случайной величины. Таким образом, чтобы полностью определить случайную ве- личину, нужно задать ее значения на каждом из элементарных исходов опыта. Для этого существует несколько возможностей, которые мы ил- люстрируем в приведенных примерах: таблица, формула, словесное опи- сание.
Поскольку понятия случайной величины нет в стандарте, то говорить о пользе его изучения мы можем только в сослагательном наклонении.
Знакомство с понятием случайной величины было бы полезно не только в практическом отношении (после него легче изучать статистический материал), но и для формирования математической культуры школьника в целом. Оно расширяет и углубляет представление учащихся о функ- ции, позволяет рассмотреть большое количество содержательных при- меров, в которых рассматриваются функции, заданные на множествах самой разной природы. Если знакомство со случайными событиями раз- вивает и углубляет понятие о множестве, то случайные величины делают то же самое с понятием функции.
К разделу 2
Чаще всего функция действительного аргумента задается формулой.
Именно такой способ наиболее излюблен в школьной математике. Иног- да (к сожалению, редко) функцию задают графически. Но для случай- ных величин эти способы, как правило, не годятся, т.к. их область опре- деления может быть не числовой. Именно поэтому на первый план выхо- дит проблема описания такой функции.
Удобным способом представления информации о случайной величи- не X является закон ее распределения. Он показывает, какие значения и с какими вероятностями может принимать эта величина. Отметим, что часть информации о функции X при таком представлении теряется: в законе не указывается не только чему равно X(?)для каждого ??? , но и само множество ?. Тем не менее этой информации оказывается вполне дос- таточно для решения очень многих практических задач, связанных с исследованием случайных величин.
В теории вероятностей есть универсальные способы представления законов распределения — например, функция распределения. Однако для всех этих способов требуется вводить новое определение интегра-
Случайные величины

116
ла — интеграла по Лебегу. Поэтому при элементарном изложении при- ходится рассматривать только наиболее важные частные разновидности случайных величин: дискретные и непрерывные
2
Дискретные величины принимают конечное или счетное множество значений, поэтому для них закон распределения можно представить, пе- речислив все возможные значения и соответствующие им вероятности.
Это делают с помощью таблицы или общей формулы, выражающей ве- роятность каждого значения.
Непрерывные величины принимают значения из некоторого проме- жутка, которые уже нельзя перечислить. Для них закон распределения задается плотностью вероятности — специальной функцией, интеграл от которой по любому множеству дает вероятность попадания случайной величины в это множество.
Целью раздела является не только дать общее понятие о законе рас- пределения и способах его задания, но и научиться находить законы рас- пределения конкретных величин в простейших случайных опытах.
К разделу 3
Числовые характеристики случайных величин содержат в «концентри- рованном» виде наиболее важную информацию об их поведении. При этом все они вычисляются на основе закона распределения, т.е. являются харак- теристиками скорее не случайной величины, а ее закона распределения.
Как уже говорилось выше, при элементарном изложении невозмож- но ввести общее понятие закона распределения, поэтому и все числовые характеристики приходится определять отдельно для дискретных и от- дельно для непрерывных величин.
Наиболее важная из характеристик — математическое ожидание —
содержит информацию о поведении величины в среднем. Математиче- ское ожидание можно рассматривать как средневзвешенное значение случайной величины, где весом каждого значения является его вероят- ность. Статистическим аналогом математического ожидания будет вы- борочное среднее, т.е. среднее арифметическое всех значений, получен- ных в выборке. Об этом пойдет речь в последующих лекциях. Там же мы познакомимся с одним из фундаментальных законов всей теории вероятностей — законом больших чисел, в котором обнаруживается связь
2
Этими видами не исчерпываются все разновидности случайных величин, но именно они чаще всего встречаются в практических применениях.
Лекция 4

117
между выборочным средним и математическим ожиданием случайной величины. Большинство других числовых характеристик (в том числе и дисперсия) определяются через математическое ожидание.
В заключение отметим, что отсутствие в стандартах самого понятия случайной величины, при всем понимании объективных причин и не- возможности объять необъятное, представляется странным. Без него остается ущербным как изучение фундаментальных вероятностных за- конов, так и получение практических навыков в обработке статистиче- ских данных. Надеемся, что изучение материала этой лекции будет не напрасным и принесет свои плоды в будущем.
Случайные величины

118
Литература
Учебники и учебные пособия для общеобразовательной школы
1. Математика. Учебники для 5—6 классов общеобразовательных учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. — М.: Просве- щение, 2004.
2. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебники для 7—
9 классов общеобразовательных учреждений / Под ред. Г.В. Дорофее- ва. — М.: Просвещение, 2004.
3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Учебное пособие для 5—9 классов общеобразовательных учреждений. — М.:
Дрофа, 2002.
4. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность.
Учебное пособие для 5—9 классов общеобразовательных учреждений. —
М.: Дрофа, 2004.
5. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5—9.
Электронное учебное пособие на CD-ROM. — М.: Дрофа, 2003 год.
6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для 7—9 классов общеобразо- вательных учреждений / Под ред С.А. Теляковского. — М.: Просвеще- ние, 2003.
7. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистиче- ская обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры
7—9 классов общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2003.
8. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность.
Учебное пособие для 7—9 классов общеобразовательных учреждений. —
М.: Просвещение, 2004.
9. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО, 2004.
Дополнительная литература для школьников
10.Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию ве- роятностей. — М.: Наука, 1964.
11. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория веро- ятностей. — М.: Просвещение, 1990.
12.Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. — М.: Наука, 1975.
13.Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. — М.: Мир, 1969.

119 14.Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. — М.: Про- свещение, 1975.
15.Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников. — М.: Просве- щение, 1996.
Книги и статьи методической и методологической направленности
16.Борель Э. Вероятность и достоверность. — М.: Наука, 1969.
17.Булычев В.А. Вероятность вокруг нас и в школьном учебнике ма- тематики // Газета «Математика», № 48, 1997.
18.Булычев В.А., Бунимович Е.А. Изучение вероятностно-статисти- ческого материала в школьном курсе математики. Программа для кур- сов повышения квалификации учителей // Математика в школе, № 4,
2003, с. 59—63.
19.Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе, № 4, 2002, с. 52—58.
20.Бунимович Е.А. Методическая система изучения вероятностно- статистического материала в основной школе. Автореферат и диссерта- ция на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. —
Москва, 2004 г.
21.Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. — М.:
Просвещение, 1979.
22.Дайменд С. Мир вероятностей. — М.: Статистика, 1970.
23.Майстров Д.Е. Теория вероятностей (исторический очерк). — М.:
Наука, 1967.
24.Реньи А. Трилогия о математике. — М.: Мир, 1980.
25.Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической ста- тистике. — М.: Мир, 1990.
26.Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятно- стей. 7—9 классы // Автор-составитель В.Н. Студенецкая. — Волгоград:
Учитель, 2005.
Вузовские учебники, доступные для самостоятельного изучения
27.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1969.
28.Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Основы теории вероятностей. — М.:
Просвещение, 1967.
29.Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.:
Наука, 1974.

120 30.Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. — М.: Наука, 1986.
31.Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. Краткий курс и научно-ме- тодические замечания. — М.: Изд-во МГУ, 1972.
32.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т.1. — М.: Мир, 1984.
33.Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.
Учебники [1], [2] — первый и, по-видимому, наиболее продуманный опыт введения вероятностно-статистической линии в курсе математики основной школы. Новый для школьной математики материал органично вписан в общую авторскую концепцию. Учебные пособия [3], [4] про- должают методическую линию [1], [2], расширяя круг рассматривае- мых вопросов и дополняя их необходимыми теоретическими сведения- ми. Содержат большое количество задач разного уровня сложности.
Учебные пособия [5]—[7] изданы как дополнения к известным учебни- кам алгебры: [5] — под редакцией С.А. Теляковского, [6] — А.Г. Мор- дковича, [7] — Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова,
Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
Из дополнительной литературы можно порекомендовать классическую книгу [10], выдержавшую рекордное количество отечественных и зару- бежных изданий, известный факультативный курс [11], замечательный сборник задач [12], а также учебник для американских школьников [13].
Научные основы рекомендуемого нами подхода к преподаванию ве- роятностно-статистической линии в основной школе систематически из- ложены в [20]. Совершенно уникальной по содержанию является книга
[21], в которой авторы делятся собственным опытом преподавания эле- ментов вероятности и статистики в начальной школе. В книге [26] вы найдете решение всех задач из учебных пособий [5]—[7].
Из вузовских пособий отметим [29] — единственный учебник, снаб- женный пространными научно-методическими комментариями, а также классическую книгу [32], содержащую огромное количество интерес- ных задач.

121
Ответы и решения
Лекция 1 4. Пронумеруем бумажки: 1, 2, 3. Пусть с крестиком будет бумажка
№ 3. Возможные исходы опыта: {123, 132, 213, 231, 312, 321} — всего
6 исходов.
5. A = {312, 321}; B = {132, 231}; C = {123, 213}.
8. Нет, нельзя.
9. 0, 08.
10. Конечно, нельзя. В каждом тираже участвовало огромное коли- чество карточек.
11. В ситуациях а), в), г), е).
12. Нет, не прав. Значения суммы не равновозможны.
13. а)
4 4
365 3 366 1461
=
? +
; б)
4 1461 ; в)
1 1461 .
14. Каждый в своей —
1 6 , каждый в чужой —
1 3 . Возможные исхо- ды — см. задачу 4.
15.
1 7 .
16. а)
25 100 4
? ?
= ; б) 0; в)
3 4
?
17. 4 линейки — с вероятностью
1 8 , 3 линейки — с вероятностью
7 8 .
18.
120 1 360 3
= .
19. а) 0; б)
2 2
10 1
4 20
= .
20. Около 3 см. Если обозначить неизвестный радиус мяча через R,
то получим следующее приближенное равенство:
2 2
(20 2 )
1 2
20
R
?
? , из ко- торого и можно оценить R.
21.
1 4

122
Лекция 2 1. По правилу умножения 12 10 10 10 12 12 1728000
? ? ? ? ? =
2. Первым — А000АА, последним — Х999ХХ. За номером У899ХХ
следует У900АА, предшествует ему У899ХУ.
3. По правилу умножения 3 4 3 2 1 72
? ? ? ? =
способами.
4. Если обозначить число игроков в одной команде x, а в другой y, то по правилу умножения будет совершено y
x ?
рукопожатий, поэтому
323
x y
? =
. Разложим 323 на простые множители:
323 17 19
= ?
. Всего игроков было 17 19 36
+ =
5. а) Если поставить на шахматную поле ладью, то в какой бы клетке она ни стояла, будет ровно 14 клеток, куда она может пойти. Поэтому по правилу умножения — 64 14 910
? =
. б) Если поставить на доску слона,
то число клеток, куда он может пойти, зависит от того, в какую часть доски мы его поставили. Поэтому приходится применять правило сло- жения: 28 7 20 9 12 11 4 13 560
? +
? + ? + ? =
6. 5! = 120 — это перестановки.
7. 16 15 14 3360
? ? =
— это размещения из 16 по 3.
9. 24 нуля.
10. а)
4! 24
=
; б)
4! 12 2
=
; в)
4!
6 2 2
=
?
11.
2 25 25!
300 2! 23!
C =
=
?
— это сочетания из 25 по 2.
12.
5 36 36!
376992 5! 31!
C =
=
?
— это сочетания из 36 по 5.
14. За 2 минуты.
15. По правилу умножения
8 7
5 20 12 5
125970 792 1 99768240
C C C
?
?
=
?
? =
способами.
16. Наташа —
2 25 24 2
0,08 25
C
=
=
, Наташа и Света —
2 25 1
1 0,0033 300
C
=
=
17. а)
3 6
1 36 6
=
; б)
3 6 5 4 5 9
6
? ? = ; в) 1 5 5 1
36 9 12
?
? =

123 18.
16 2
32 4
18 36 32!
4! 18! 18! 153 0,397 16! 16! 2! 2!
36!
385
C C
C
?
?
=
?
?
=
=
?
?
. Переформулируем задачу: вы берете себе 18 карт из 36; какова вероятность, что среди них окажется ровно 2 туза? Всего исходов —
18 36
C . Для благоприятного ис- хода мы должны выбрать 2 карты из 4 тузов, а затем 16 карт из 32 нету- зов — по правилу умножения это можно сделать
16 2
32 4
C C
?
способами.
19. В задаче 15 мы уже считали общее количество равновозможных исходов у этого опыта. Посчитаем благоприятные по правилу сложения и умножения:
6 7
5 8
3 8
18 12 18 13 18 15
C C
C C
C C
?
+
?
+
?
. Отсюда находим вероятность:
6 7
5 8
3 8
18 12 18 13 18 15 8
7 20 12 59 0,31 190
C C
C C
C C
C C
?
+
?
+
?
=
=
?
20.
1 2 при любом количестве испытаний. Эту задачу можно ре- шить интересным методом, довольно часто используемым в матема- тике. При n-кратном бросании монеты имеется 2
n возможных исхо- дов. Все они делятся на благоприятные (где количество «орлов» не- четно) и неблагоприятные (количество «орлов» четно). Докажем, что их поровну. Заменим в каждом из исходов результат первого броса- ния на противоположный (например, исход ОРРО... превратится в
РРРО...). Докажите, что это отображение, во-первых, взаимно-одно- значно, а во-вторых, переводит любой благоприятный исход в небла- гоприятный и наоборот.
21. а) последовательный выбор 10 шаров из 2 с возвращением (два шара — «орел» и «решка») ; б) последовательный выбор 5 шаров из 6
с возвращением (шесть шаров — шесть граней кубика); в) последова- тельный выбор 18 шаров из 36 без возвращения.
22. Обозначим неизвестное количество шаров через k. Тогда
(
1)
2 10 9 15
k k
? ? =
?
, откуда k = 4.
23. а)
2 2
3 1
4 6
= ; б)
3 2 1 6 5 5
? =
?
; в)
2 3
2 6
3 1 15 5
C
C
=
= .

124 24. Способ 1-й (длинный): нужно распределить 30 конфет на трех человек. По правилу умножения это можно сделать
10 10 10 30 20 10 30045015 184756 1 5 550 996 791340
C C C
?
?
=
?
? =
способами.
Это и есть общее число равновозможных исходов опыта. Число бла- гоприятных исходов, при каждом из которых всем друзьям достается ровно по одному сюрпризу, будет
1 9
1 9
1 9
3 27 2
18 1
9
C C
C C C C
?
?
?
?
?
= 3 · 4686825 · 2 · 48620 · 1 · 1 =
= 1367240589000.
Отсюда, искомая вероятность — 1367240589000 0,246 5550996791340
=
Способ 2-й (более короткий): будем считать, что 30 конфет раскла- дываются на 30 мест, из которых первые 10 достаются первому человеку,
вторые 10 — второму, третьи 10 — третьему. Начнем с того, что разложим по этим местам конфеты с сюрпризом (потом положим и остальные — но от этого уже ничего не будет зависеть). Выбрать из 30 свободных мест 3
можно
3 30
C
способами. Благоприятными будут исходы, в которых в каж- дом из трех десятков выбрано по одному месту. По правилу умножения их будет
10 10 10 1000
? ? =
. Искомая вероятность —
3 30 1000 50 0,246 203
C
=
=
Лекция 3 2. Противоположными событиями будут B и C.
2 4
2 6
2
( )
5
C
P B
C
=
= .
3
( ) 1
( )
5
P C
P B
= ?
=
3. Опыт имеет 2 6
= 64 равновозможных исхода. Событие A содержит
2 исхода, значит, A — 62 исхода. Отсюда
62 31
( )
64 32
P A =
=
4. Пусть A = {в N бросаниях кубика выпала хотя бы одна шестерка}.
Тогда A = {в N бросаниях кубика не выпало ни одной шестерки}.
5 5
( )
6 6
N
N
N
P A
? ?
=
= ? ?
? ?
5 1
( ) 1 6
2
N
P A
? ?
= ?
>
? ?
? ?
. Отсюда N = 4.

125 6.
A B
? =
{2, 3, 4, 5, 6}; A C
? = {1, 2, 3, 5, 6}; B C
? = {1, 2, 4, 6};
A B
? = {2};
?
=
? C
A
;
B C
? =
{6}.
8. а)
(
)
A C
B
?
?
— 5 исходов; б)
(
)
A
C B
?
7
— 1 исход;
в)
(
) (
)
A B
C D
?
?
?
— 6 исходов; г) A B C D
? ? ? — 29 исходов.
10. A и B, A и C.
11. Для 5 монет:
5 5
5 5 10 1
16 1 32 2 2
2 2
P =
+
+
=
=
Для 6 монет:
6 6
6 6
20 6
32 1 64 2 2
2 2
P =
+
+
=
=
Решение в общем случае — см. задачу 20 к лекции 2.
12. От 0, 6 до 1.
14. Могут, если хотя бы одно из них имеет нулевую вероятность.
16. N = 10, 11 — зависимы; N = 12 — независимы.
17.
0,6 0,6 0,4 0,4 0,52
P =
?
+
?
=
18.
1 28 .
19. Задача напоминает задачу 4. Пусть A = {среди N билетов будет хотя бы один счастливый}. Тогда A = {среди N билетов все без выиг- рыша}.
80 4
( )
100 5
N
N
P A
?
?
? ?
=
=
?
?
? ?
?
?
? ?
4 1
( ) 1 5
2
N
P A
? ?
= ?
>
? ?
? ?
. Отсюда N = 4.
Лекция 4 2. Случайная величина M:
2-й
1-й кубик кубик
1 2
3 4
5 6
1 1
2 3
4 5
6 2
2 2
3 4
5 6
3 3
3 3
4 5
6 4
4 4
4 4
5 6
5 5
5 5
5 5
6 6
6 6
6 6
6 6

126 3. 6 значений: –5, –3, –1, 1, 3, 5.
6. Закон распределения M :
Значение
1 2
3 4
5 6
Вероятность
1 36 3
36 5
36 7
36 9
36 11 36 7. По определению геометрической вероятности, чтобы найти вероят- ность каждого значения, нужно поделить площадь соответствующего кольца на площадь всего круга:
2 2
2 5
0 1
(
0)
100 50
P S

?? ? ??
= =
=
??
;
2 2
2 10 5
3
(
1)
100 50
P S
??
? ??
= =
=
??
; … ;
2 2
2 50 45 19
(
10)
100 50
P S
??
? ??
=
=
=
??
Закон распределения случайной величины P :
Значение
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
Вероятность
1 100 3
100 5
100 7
100 9
100 11 100 13 100 15 100 17 100 19 100 8. Закон распределения случайной величины X :
Значение
–5
–3
–1 1
3 5
Вероятность
1 32 5
32 10 32 10 32 5
32 1
32 9.
1 ; [ , ]
( )
0;
[ , ]
x a b p x b a x a b
?
?
?
=
?
?
?
?
?
13.
161
( )
4,47 36
E M =
=

127 16.
2 2
2 791 161
( )
(
) ( ( ))
1,97 36 36
D M
E M
E M
?
?
=
?
=
?
=
?
?
?
?
;
( ) 1,4
M
?
=
17. E(X) = 0 — это следует из симметрии распределения.
2 2
( )
(
) ( ( ))
5 0 5
D X
E X
E X
=
?
= ? =
18.
2
a b
E
+
=
;
2
(
)
12
b a
D
?
=

128
Содержание
Лекция 1. Случайные события и вероятность ......................................... 3
Лекция 2. Комбинаторика и вероятность ............................................... 37
Лекция 3. Свойства вероятностей ........................................................... 64
Лекция 4. Случайные величины .............................................................. 92
Литература .................................................................................................118
Ответы и решения .................................................................................... 121