Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
2 15 . Сколько в урне белых шаров? 23. Из коробки с 3 белыми и 3 черными шарами вынимают, не глядя, 2 шара. Какова вероятность того, что они оба белые? Найдите ответ для каждой из трех схем выбора: а) с возвращением; б) без возвращения; в) одновременный. 24. Три друга делят поровну 30 конфет, 3 из которых с сюрпризом. С какой вероятностью каждому из троих друзей достанется по сюрпризу? Методические замечания Основная школа. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Старшая школа. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, со- четаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Решение практи- ческих задач с применением вероятностных методов. К разделу 1 Уже признано, что главная причина неудач комбинаторики в школе — стремление с первых шагов сделать акцент не на составлении, а на под- счете комбинаций. Перечислительные задачи, безусловно, должны пред- шествовать задачам подсчета или идти параллельно с ними. Именно такой Комбинаторика и вероятность 60 подход принят в [1], где изучение комбинаторики начинается с перечисле- ния комбинаций различного вида. Для этих целей используются деревья, обсуждается логика перебора, рассматриваются различные виды комби- наций (без специальных терминов и формул для их подсчета). Перебором простейших комбинаций мы уже занимались в предыду- щей лекции, когда выписывали все возможные исходы опытов, в кото- рых участвовало несколько объектов (шаров, кубиков, монет, перчаток и т.д.). Здесь мы возвращаемся к этому вопросу снова. Чтобы перечис- ление не было стихийным (а в этом случае мы рискуем упустить какие- то комбинации), предлагается ввести на комбинациях отношение по- рядка. Наиболее естественным здесь является лексикографический по- рядок, хорошо знакомый школьникам по работе с обычным словарем. В качестве рабочего инструмента, аналогичного рассмотренной ра- нее схеме решения задач на классическую вероятность, можем предло- жить следующую общую схему решения переборных задач: 1. Придумать обозначения элементов, участвующих в комбинациях (если это не числа или буквы). 2. Выписать первую комбинацию и несколько следующих за ней. 3. Выписать последнюю комбинацию и несколько предшествующих ей. 4. Выписать произвольную комбинацию. Найти непосредственно ей предшествующую и следующую за ней. 5. Сформулировать правило, по которому ищется следующая комби- нация в общем случае. Третий шаг в этой схеме интересно организовать в форме коллектив- ного соревнования: кто быстрее найдет следующую комбинацию. Отве- ты, которые предлагают ученики, либо сразу отбрасываются (комбина- ция оказывается меньше заданной), либо остаются в качестве претен- дента на ответ (кто найдет комбинацию между заданной и предложен- ной?) — пока не будет найден правильный ответ. Четвертый шаг наибо- лее сложный и требует от учащихся достаточно высокой математичес- кой и алгоритмической культуры. Как уже упоминалось выше, можно использовать для перечисления комбинаций деревья, хотя, откровенно говоря, наша практика занятий со школьниками не показала их особой продуктивности. Дело в том, что при малом числе элементов легко перечислить все комбинации и без деревьев, а при большом — дерево слишком быстро ветвится и стано- вится необозримым. Лекция 2 61 В данном разделе вводятся главные правила для подсчета комбина- ций: правило умножения и правило сложения. Собственно, правилом как таковым можно считать только правило умножения. Правило сло- жения — это скорее один из методов решения комбинаторных задач. Если для подсчета комбинаций не идет правило умножения (не понятно, на что умножать на следующем шаге) — попытайтесь использовать пра- вило сложения: поделить комбинации на непересекающиеся классы, посчитать число комбинаций внутри каждого класса, а потом сложить эти числа. Умение перебирать комбинации и находить их число с помощью правил умножения и сложения — основа комбинаторной культуры школьника и залог успешного решения большинства комбинаторных задач. Эти умения должны быть сформированы в основной школе. Стар- шая школа предусматривает знакомство ученика с основными типами комбинаций, о которых и идет речь в следующих разделах лекции. К разделу 2 С перестановок, как правило, начинается знакомство с основными типами комбинаций. Подсчет числа перестановок не вызывает затрудне- ний у школьников и является прекрасной иллюстрацией правила умно- жения. Гораздо сложнее оказывается задача перебора всех перестановок. В лекции приведен пример, в котором предлагается выписать для данной перестановки непосредственно следующую за ней. Замечательно, если учащиеся смогут самостоятельно сформулировать общее правило пере- бора перестановок. Ну, а если в классе есть ученики, увлекающиеся программированием, то им можно предложить составление программы перебора перестановок. Размещения обобщают понятие перестановки. Для решения веро- ятностных задач они играют еще большую роль, чем перестановки, поскольку именно на них строится схема выбора без возвращения: из M объектов друг за другом вынимают без возвращения N объектов. Каждый исход такого опыта — это и есть размещение из M по N. Как и для перестановок, число размещений легко находится по правилу умножения. При подсчете числа перестановок и размещений школьники впервые сталкиваются с факториалом. Самое время уделить ему здесь немного внимания, поговорить о его замечательных свойствах. Обязательно нужно Комбинаторика и вероятность 62 показать учащимся, как быстро растут значения N!, вычислив несколько первых значений и оценив их величину при больших N. Хорошая задача для программистов — написать программу, которая выписывает все цифры числа 100! (для математиков — найти количество нулей в конце этого числа). К разделу 3 В этом разделе мы предлагаем наряду с традиционными правилами умножения и сложения ввести в рассмотрение незаслуженно «обижен- ные» два других комбинаторных правила — вычитания и деления. Как и правило сложения, это скорее общие методы решения задач: правило вычитания следует применять, когда легче посчитать комбинации, кото- рые НЕ обладают заданным свойством, а правило деления — когда при умножении одна и та же комбинация считается многократно (но при этом каждая комбинация — одно и то же число раз). Далее в разделе вводятся сочетания — пожалуй, самый важный для вероятностных задач тип комбинаций. Если без формул для числа пере- становок и размещений, вообще говоря, можно обойтись — достаточно знать правило умножения, — то без формулы для числа сочетаний ре- шить многие вероятностные задачи будет весьма затруднительно. На со- четаниях строится схема с одновременным выбором предметов: из M объектов одновременно вынимают наугад N объектов. Каждый исход такого опыта — сочетание из M по N. При переборе сочетаний нужно учитывать, что сочетания отличаются друг от друга только составом предметов — значит, порядок элементов внутри сочетания не важен. Для этого при выписывании сочетания сле- дует всегда располагать все его элементы по возрастанию. К разделу 4 Материал этого раздела служит своеобразным «оправданием» тех трудностей, которые приходится преодолевать при изучении комбинато- рики. Именно здесь содержится наибольшее количество интересных ве- роятностных задач с нетривиальным решением и интересным практичес- ким содержанием. На материале этого раздела школьники должны почувствовать, на- сколько мощный инструмент для вычисления вероятности они получили в виде только что изученных комбинаторных правил и формул. В приведенных примерах разбираются случайные опыты, исходы ко- торых представляют собой рассмотренные перед этим типы комбинаций: Лекция 2 63 перестановки, размещения, сочетания. Ключевым шагом в решении та- ких задач является, как правило, определение типа комбинации, после чего подсчет вероятности становится делом техники. К разделу 5 В этом разделе обобщаются те модели случайных опытов, которые разбирались в этой и предыдущей лекциях. Выясняется, что большин- ство из них может быть сведено к одной из трех классических моделей с выбором элементов из конечного множества. Понимание этого требует от школьника довольно высокого уровня абстрактного мышления. Мож- но сказать, что здесь закладывается (или развивается) одна из важней- ших сторон математической культуры: умение видеть одинаковое в раз- ном и разное в одинаковом. Теория вероятностей, как никакая другая область математики, дает для этого богатейший материал. Кроме того, она предоставляет реаль- ную возможность проверить адекватность выбранных моделей на прак- тике: для этого достаточно провести серию соответствующих экспери- ментов и сверить найденную вероятность с частотой. Здесь неоценимую помощь может оказать компьютер, снабженный соответствующим про- граммным обеспечением (см., например, [5]). Комбинаторика и вероятность 64 Лекция 3 Свойства вероятностей В этой лекции мы узнаем, что с событиями можно работать как с множествами: объединять, пересекать, находить дополнение. А глав- ное, мы выясним, что происходит при этом с их вероятностями. 1. Противоположное событие и его вероятность. Диаграммы Эйлера В наших первых лекциях мы неоднократно обращались к понятию случайного события. Сначала мы назвали случайным любое событие, которое может произойти или не произойти в результате случайного эк- сперимента. Затем мы выяснили, что событие можно рассматривать как некоторое подмножество исходов данного эксперимента, — а именно тех исходов, при которых это событие наступает. Обозначая множество всех возможных исходов эксперимента через ?, мы рассматривали каждый элементарный исход как элемент этого множества: ??? , а каждое случайное событие — как его подмножество: A ? ? В соответствии с таким взглядом на события естественно перенести на них те операции, которые хорошо известны в теории множеств: объе- динение, пересечение, дополнение. Каждая из них допускает естествен- ную интерпретацию в терминах случайных событий. Начнем с дополнения. Напомним еще раз, что все множества, о которых будет идти речь, являются подмножествами некоторого объемлющего множества ?, содержащего все возможные исходы эксперимента. Определение 1 (для множеств). Множество A называется допол- нением к множеству A, если оно состоит из тех и только тех элементов ?, которые не входят в A. Как вы уже поняли, черта над множеством как раз и обозначает операцию дополнения. 65 Определение 1 (для событий). Событие A называется противопо- ложным к событию A, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит A. Другими словами, противоположное событие состоит из тех элементарных исходов множества ?, при которых событие A не происходит. Последнее замечание показывает, что мы имеем по существу два одинаковых определения, выраженных разным языком. Поэтому проти- воположное событие часто также называют дополнением. Интересно, что свойство «дополнять» или «быть противоположным» для двух событий является взаимным: если B противоположно A, то и A противоположно B: B A = , A B = Этот факт можно записать еще и таким необычным образом: A A = . Приведем примеры противоположных событий. Пример 1. Рассмотрим следующие случайные события, связанные с подбрасыванием кубика: A = {выпадет четное число очков}, B = {выпадет шестерка}, C = {выпадет число меньше трех}. Каждое из них можно записать в виде множества благоприятных исходов: A = {2, 4, 6}, B = {6}, C = {1, 2}. Противоположными событиями будут: A = {выпадет нечетное число очков}, B = {выпадет не шестерка}, C = {выпадет число больше или равное трех}, а дополнительными множествами — A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5, 6}. Свойства вероятностей 66 Отметим, что «словесная» формулировка события может быть раз- ной, а вот представление его в виде подмножества исходов всегда одно- значно. Например, событие C можно описать и так: C = {выпадет число больше двух}, однако его запись в виде подмножества от этого не изменится. * * * Почти очевидным является тот факт, что вероятность противополож- ного события можно вычислить по формуле: ( ) 1 ( ) P A P A = ? В самом деле, каждый раз, когда событие Aпроисходит, событие A не происходит и наоборот. Значит, после любых N случайных опытов выполняется равенство A A N N N + = , в котором через N A обозначена абсолютная частота A, а через A N — абсолютная частота A . Поделив обе части этого равенства на N, полу- чим, что сумма относительных частот для событий A и A всегда равна 1. Поскольку при увеличении числа испытаний равенство сохраняется, а частоты приближаются к вероятностям, то сумма вероятностей для A и A также равна 1, откуда и следует наша формула. В случае с равновозможными исходами эту формулу можно полу- чить и по-другому. Пусть наш опыт может закончиться одним из n рав- новозможных исходов, m из которых благоприятствуют наступлению события A. Тогда остальные n – m исходов благоприятствуют наступле- нию A . Поэтому ( ) 1 1 ( ) n m m P A P A n n ? = = ? = ? Полученная формула оказывается особенно полезной в задачах, где найти вероятность противоположного события проще, чем вероятность заданного события. Лекция 3 67 Пример 2. С какой вероятностью при бросании двух кубиков на них выпадет разное число очков? Пусть A = {на кубиках выпало разное число очков}. Тогда A = {на кубиках выпало одинаковое число очков}, или A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}. Отсюда 6 1 ( ) 36 6 P A = = и 1 5 ( ) 1 6 6 P A = ? = . Рассмотренные в этом и последующих разделах данной лекции соот- ношения между событиями удобно изображать в виде специальных ри- сунков, получивших название диаграмм Эйлера. Каждое событие на таком рисунке изображается в виде круга или какой-нибудь другой фи- гуры. Взаимное расположение фигур должно соответствовать соотно- шению событий. При этом все такие фигуры размещаются внутри одно- го и того же прямоугольника, изображающего множество всех возмож- ных исходов опыта ?. В частности, событие A и противоположное к нему A будут изображаться на диаграмме Эйлера так: ? A A 2. Объединение и пересечение событий Наиболее важными теоретико-множественными операциями являют- ся объединение и пересечение. Напомним, как они определяются, и вве- дем соответствующие понятия для событий. Определение 1 (для множеств). Объединением множеств A и B называется множество C, которое содержит те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из двух множеств A или B. Определение 1 (для событий). Объединением событий A и B на- зывается событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда про- исходит хотя бы одно из двух событий A или B. Поясним, что слова Свойства вероятностей 68 «хотя бы одно из двух» означают, что может наступить: только собы- тие A, только событие B, а также оба эти события одновременно. Объединение событий (как и объединение множеств) обозначается так: C A B = ? . Иногда вместо термина «объединение» используется термин «сумма событий». В этом случае используют и другую символическую запись этой операции: C A B = + . На диаграмме Эйлера объединение событий можно изобразить так: Пример 1. Рассмотрим эксперимент с кубиком. Найдем объедине- ние событий A и B в каждом из перечисленных случаев: а) A = {выпадет тройка}, B = {выпадет пятерка}; б) A = {выпадет простое число}, B = {выпадет нечетное число}; в) A = {выпадет четное число}, B = {выпадет нечетное число}; г) A = {выпадет четное число}, B = {выпадет шестерка}. Для ответа на вопрос представим каждое событие в виде множества благоприятных исходов и найдем соответствующие объединения: а) A = {3}, B = {5}, A B ? = {3, 5}; б) A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, A B ? = {1, 2, 3, 5}; в) A = {2, 4, 6} и B = {1, 3, 5}, A B ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; г) A = {2, 4, 6} и B = {6}, A B ? = {2, 4, 6}. Словами результат объединения можно описать по-разному — на- пример, так: B A ? Лекция 3 69 B A B A A B Свойства вероятностей а) A B ? = {выпадет тройка или пятерка}; б) A B ? = {выпадет любое число, кроме 4 и 6}; в) A B ? = {выпадет любое число}; г) A B ? = {выпадет четное число}. Интересно показать каждый из перечисленных случаев на диаграмме Эйлера, — все эти диаграммы будут иметь некоторые принципиальные отличия друг от друга. Попробуйте сформулировать эти отличия само- стоятельно: а) б) в) г) Важно понимать, что при нахождении объединения не нужно включать в него общие исходы событий A и B дважды — ведь один и тот же эле- мент вообще не может входить дважды в какое бы то ни было множество. Именно поэтому в случае г) результат объединения совпадает с одним из исходных множеств. Рассмотрим еще один пример на эту тему. Пример 2. Рассмотрим эксперимент, в котором из колоды в 36 карт случайно вытягивается одна карта. Сколько элементарных исхо- дов содержит объединение событий A = {вытянут даму} и B = {вытя- нут пику}? B A ? ? ? ? 70 Событие B A ? наступает, когда из колоды вытягивают пику (таких карт восемь) или даму (их четыре). При этом могут произойти и оба эти события одновременно (вытянут даму пик). Значит, для определения числа элементарных исходов, входящих в объединение, нужно сложить 8 и 4, а потом вычесть 1. Получится 11 исходов. Мы еще вернемся к такому подсчету в следующем разделе нашей лекции. * * * Последний пример вплотную подвел нас к рассмотрению второй важ- нейшей теоретико-множественной операции — пересечения множеств. Определение 2 (для множеств). Пересечением множеств A и B называется множество C, которое содержит те и только те элементы, которые входят в оба множества A и B. Определение 2 (для событий). Пересечением событий A и B на- зывается событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда про- исходят одновременно оба события A и B. Другими словами, экспери- мент заканчивается исходом, благоприятным как для A, так и для B. Пересечение событий (как и пересечение множеств) обозначается так: C A B = ? Иногда вместо термина «пересечение» используется термин «произ- ведение событий». В этом случае, как и для суммы событий, использу- ют другую символическую запись: C A B = ? . На диаграмме Эйлера пересечение изображается так: Из определения объединения и пересечения множеств немедленно следует, что пересечение любых множеств содержится в их объедине- нии (это хорошо видно на диаграмме Эйлера). B A ? Лекция 3 71 Пример 3. Вернемся к примеру 1 и найдем пересечения приведен- ных там событий (напомним, что рассматривается эксперимент с куби- ком): а) A = {выпадет тройка}, B = {выпадет пятерка}; б) A = {выпадет простое число}, B = {выпадет нечетное число}; в) A = {выпадет четное число}, B = {выпадет нечетное число}; г) A = {выпадет четное число}, B = {выпадет шестерка}. Как и при нахождении объединений удобнее всего представить каж- дое событие в виде множества благоприятных исходов и найти общие исходы A и B: а) A = {3}, B = {5}, A B ? = ? ; б) A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, A B ? = {3, 5}; в) A = {2, 4, 6} и B = {1, 3, 5}, A B ? = ? ; г) A = {2, 4, 6} и B = {6}, A B ? = {6}. Напомним, что знак «?» используется в математике для обозначения пустого множества, не содержащего ни одного элемента. Диаграммы Эйлера в этих четырех случаях будут следующими: а) б) в) г) B A A B A B Свойства вероятностей B A ? ? ? ? 72 В случаях а), в) пересечение событий пусто, поэтому на соответству- ющих диаграммах ничего не заштриховано. На языке событий правиль- нее было бы сказать, что пересечением событий A и B в этих случаях является невозможное событие, — другими словами, они не могут про- изойти одновременно, у них нет общих благоприятных исходов. Такие события играют в теории вероятностей настолько важную роль, что для них вводят специальное определение, которое мы рассмотрим в следующем разделе. 3. Несовместные события. Формула сложения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются несовместными, если их пересечение пусто, т.е. они не могут наступить одновременно в результате одного случайного эксперимента. Приведем несколько примеров несовместных событий. Пример 1. В следующих экспериментах пары событий A и B явля- ются несовместными: а) бросают монету: A = {«орел»}, B = {«решка»}; б) бросают 2 кубика: A = {сумма очков нечетна}, B = {на кубиках выпало одинаковое число очков}; в) из коробки, в которой 2 красных, 2 желтых и 2 зеленых шара вытаскивают 2 шара: A = {шары одного цвета}, B = {шары разных цветов}; г) из той же коробки снова вытаскивают 2 шара: A = {оба шара крас- ные}, B = {оба шара зеленые}. Заметим, что говорить о несовместности событий можно только в рамках одного эксперимента. Если в пункте а) указанные события A и B относятся к разным опытам, то говорить об их несовместности, разумеется, нельзя. Условия эксперимента тоже очень важны: стоит в пункте б) перейти от двух кубиков к трем, и события станут совмест- ными. В приведенном примере можно выделить в особую категорию слу- чаи а), в) — в них события A и B являются противоположными. Понят- но, что противоположные события A и A всегда несовместны — ведь у них не может быть общих исходов по определению противоположного события (в A входит все то, что не входит в A). С другой стороны, если Лекция 3 73 взять объединение противоположных событий, то в него войдут все воз- можные исходы опыта: A A ? = ? , A A ? = ? Можно сказать, что A и A образуют разбиение множества ? на два непересекающихся множества. * * * Если два события A и B несовместны, то событие A B ? происходит в одной из двух взаимоисключающих ситуаций: либо происходит собы- тие A, либо событие B. Это означает, что если обозначить через , , A B A B N N N ? абсолютные частоты событий A, B и A B ? , то после лю- бого числа экспериментов будет выполняться соотношение A B A B N N N ? = + Поделив обе части равенства на обще число экспериментов N, полу- чим соотношение для относительных частот: A B A B N N N N N N ? = + Поскольку это соотношение остается верным после любого числа экспериментов, а с ростом N частоты приближаются к вероятностям, то аналогичное равенство будет выполнено и для вероятностей несовмест- ных событий: ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ? = + Это тождество называется формулой сложения вероятностей для несовместных событий. Она легко обобщается на любое количество случайных событий, несовместных попарно: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) k k P A A A P A P A P A ? ? ? = + + + Пример 2. Вернемся к рассмотренному ранее примеру 5 из преды- дущего раздела. Напомним, что там рассматривался опыт, в котором из коробки с 2 красными, 2 желтыми и 2 зелеными шарами извлекались наугад 2 шара. Найдем вероятности событий: A = {шары будут одного цвета}; B = {шары будут разных цветов}; С = {среди вынутых шаров будет хотя бы один красный}. Свойства вероятностей 74 Обратившись к событиям A 1 , …, A 6 , рассмотренным в примере 5, выразим через них перечисленные события: 1 2 3 A A A A = ? ? ; 4 5 6 B A A A = ? ? ; 1 5 6 C A A A = ? ? А теперь применим формулу сложения вероятностей для несовмест- ных событий: 1 1 1 3 1 ( ) 15 15 15 15 5 P A = + + = = ; 1 1 1 3 1 ( ) 15 15 15 15 5 P B = + + = = ; 1 4 4 9 3 ( ) 15 15 15 15 5 P C = + + = = . * * * А что будет с формулой сложения вероятностей, если события A и B пересекаются? Дело в том, что в этом случае равенство для частот A B A B N N N ? = + перестает выполняться, поскольку события A и B могут произойти одновременно. Вместо него можно записать более сложное соотношение, остающееся справедливым после любого числа экспери- ментов: A B A B A B N N N N ? ? = + ? Доказывается оно очень просто: сложив частоты событий A и B, мы дважды посчитаем те опыты, в которых эти события произошли одновре- менно. Значит, если вычесть количество таких опытов, то останется в точно- сти количество тех, в которых происходило хотя бы одно из событий A, B. Как и раньше, можно переписать эту формулу для относительных частот, а от нее перейти к вероятностям: ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B ? = + ? ? Лекция 3 75 Полученная формула называется формулой сложения вероятнос- тей и справедлива для любых случайных событий A и B. * * * Можно ли считать приведенные выше рассуждения строгим мате- матическим доказательством полученных формул? Скорее нет, чем да. Это вполне разумные, правдоподобные рассуждения, но для строгого доказательства в них есть одно слабое место. Переход на последнем шаге доказательства от относительных частот к вероятностям выглядит не совсем обоснованным. В математике такой прием называется пре- дельным переходом, однако здесь он не совсем обоснован, так как ве- роятность не определялась нами в строгом смысле как предел относи- тельной частоты (да ее так и невозможно определить). При аксиоматическом подходе к определению вероятности формула сложения вероятностей для несовместных событий принимается как ак- сиома, а общая формула легко выводится из нее через элементарные теоретико-множественные преобразования. Покажем теперь, как можно применять полученную формулу на практике. Пример 3. Бросают 2 кубика. С какой вероятностью будет выброше- на хотя бы одна шестерка? Рассмотрим случайные события: A = {шестерка выпадет на первом кубике}; B = {шестерка выпадет на втором кубике}; A B ? = {шестерка выпадет хотя бы на одном кубике}; A B ? = {выпадут две шестерки}. По формуле сложения вероятностей получаем ответ: 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 36 36 P A B P A P B P A B ? = + ? ? = + ? = Можно решить задачу и по-другому, воспользовавшись формулой для вероятности противоположного события. Рассмотрим C = {шестерка выпадет хотя бы на одном кубике}; C = {шестерка не выпадет ни на одном из кубиков}. Тогда 25 ( ) 36 P C = и 25 11 ( ) 1 ( ) 1 36 36 P C P C = ? = ? = — получаем тот же ответ. Свойства вероятностей 76 По поводу двух последних решений отметим следующее. Чем даль- ше мы будем изучать теорию вероятностей, тем больше у нас будет раз- личных понятий и формул, а значит, и подходов к решению одной и той же задачи. Как всегда особенно приятно в таких случаях получить один и тот же ответ, решив задачу разными способами. Вот еще один пример такого же рода. |