аптионш. Материалы для изучения темы 1.1. Лекции по теме 1 Понятие информации, кодирование, декодировании. Измерение информации. Системы счисления

• Название: Лекции по теме 1 Понятие информации, кодирование, декодировании. Измерение информации. Системы счисления
• Анкор: аптионш
• Дата: 28.05.2020
• Размер: 114.83 Kb.
• Имя файла: Материалы для изучения темы 1.1.docx
• Тип: Лекции; #126159
• страница: 4 из 10

Системы счисления.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Одно и то же число можно представить по-разному. Например, число четыре можно представить в виде слова “четыре”, изобразить его по-древнеримски – IV, или договориться, что число обозначается соответствующим количеством палочек – ||||.

Способ представления чисел называется системой счисления. Системы счисления бывают двух видов – позиционные, в которых числовое значение каждой цифры в число зависит от ее номера разряда (позиции) в записи числа, и непозиционные – все остальные. Примером позиционной системы является общепринятая десятичная система: число состоит из трёх троек (333), но каждая цифра имеет разное числовое значение 3,30,300.Непозиционной – римская: Х означает 10, запись ХХ означает 20, т.е. каждая цифра имеет одно и тоже числовое значение Х(10)+Х(10).

Представление целых неотрицательных чисел

В позиционных системах значение записи целого числа определяется по следующему правилу: пусть a_na_n-1a_n-2…a₁a₀ — запись числа A, а_i– цифры, тогда

A = an·pn+ an-1·pn-1 + an-2·pn-2 +...+ a1·p1 + a0·p0          (1)

где p — целое число большее 1, которое называется основанием системы счисления.

 Для того, чтобы при заданном p любое неотрицательное целое число можно было бы  записать по формуле (1) и притом единственным образом, числовые значения различных цифр должны быть различными целыми числами, принадлежащими отрезку от 0 до p-1.

Пример:

1) Десятичная система:p = 10 , цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Число 3635 = 3·10³ + 6·10² + 3·10¹ + 5·10⁰

2) Троичная система: p = 3, цифры: 0,1,2.

Число 121₃ = 1·3² + 2·3¹ + 1·3⁰

Замечание: нижним индексом в записи числа обозначается основание системы счисления, в которой записано число. Для десятичной системы счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел

Во всех позиционных системах для записи отрицательных чисел, так же как и в десятичной системе используется знак ‘–‘.  Для отделения целой части числа от дробной используется запятая. Значение записи числа A определяется по формуле, являющейся обобщением формулы (1):

A = an·pn+ an–1·pn–1 + …+ a1·p1 + a0·p0 + a–1·p–1 + a–2·p–2 +…+ am–1·p–(m–1) + amp–m   (2)

Пример:

36,7₁₀ = 3·10¹ + 6·10⁰ + 7·10^–1

 –3,214₅ = –(3·5⁰ + 2·5^–1 + 1·5^–2 + 4·5^–3)

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную с/с.

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную с/с.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему, для этого представим число 23,5 в виде суммы степеней числа 8.

Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8¹+7·8⁰+4·8^–1 =27,4₈.

В общем случае способ перевода отдельно  целой и дробной частей числа.  Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм, полученный на основании формулы (1):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток  будет очередной цифрой a_i(i=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе - пункт 1.

Замечание 1. Цифры a_iв записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10, обычно это латинские буквы.

Пример:

Перевести число 165₁₀ в семеричную систему счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a₀ = 4 (цифра 0 разряда)

23:7 = 3 (остаток 2) => a₁ = 2 (цифра 1 разряда)

3:7 = 0 (остаток 3) => a₂ = 3 (цифра 2 разряда)

Выпишем результат: a₂a₁a₀, т.е. 324₇.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

324₇=3·7²+2·7¹+4·7⁰=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165₁₀.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

 1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой a_m(m = –1,–2, –3 …) записи  числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

 Замечание 1.  Цифры a_mв записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2.  Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Пример 1 :Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

 0,625·2 = 1,25 (дробная часть 0,25; целая часть 1) => a_–1 =1

0,25·2  = 0,5 (дробная часть0,5; целая часть 0) => a_–2 = 0

0,5·2 = 1,00 (дробная часть 0,0 – перевод закончен; целая часть 1) => a_–3 = 1

Итак, число 0,625₁₀ = 0,a_–1 a_–2 a_–3 = 0,101₂

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,101₂=1·2^–1 + 0·2^–2 + 1·2^–3=1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.

 Пример 2:Перевести число 0,165 в четверичную систему счисления, ограничившись четырьмя четверичными разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a_–1=0

0,66·4  = 2,64 (целая часть 2) => a_–2= 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a_–3= 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a_–4= 2

 Итак, 0,165₁₀ ≈ 0,0222₄

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что абсолютная погрешность не более 4^–4:

0,0222₄ = 0·4^–1+2·4^–2+2·4^–3+2·4^–4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4^–4 = 0,00390625.