Тексты лекции_Оптика. Лекция электромагнитные волны свойства электромагнитных волн
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
3. 2. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света Долгое время вопрос, почему в однородной среде свет от точечного источника распространяется прямолинейно, оставался без ответа. Френель решил эту задачу, рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием, получивший название метода зон Френеля. Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся из точечного источника S монохроматического света (рис. 3.3). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, действие источника S заменим действием воображаемых источников, расположенных на волновой поверхности Φ Рис. 3.3 Френель разбил волновую поверхность Φ на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на 2 λ , т.е. 2 1 2 0 1 λ = = − = − M P M P M P M P Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на 2 λ , то в точку М они S M 0 P 1 P 3 P b 2 P 2 3 λ + b 2 2 λ + b 2 λ + b Φ 356 приходят в противофазе, и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Амплитуда результирующего колебания в точке М : 4 3 2 1 А А А А А − + − = , (3.4) где 1 А , 2 А … − амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й… зонами. Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля (рис. 3.4). Рис. 3.4 Пусть внешняя граница m -й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высотой m h . Обозначим площадь этого сегмента m σ Площадь m - й зоны Френеля равна 1 − σ − σ = σ ∆ m m , где 1 − σ m − площадь сегмента, выделяемого внешней границей ( ) 1 − m - й зоны. Радиус m - й зоны найдем из рис. 3.4: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 m m m h b m b h a a r + − + = − − = λ . (3.5) Проведя элементарные преобразования и учитывая, что λ ≤ а и λ ≤ b, получим: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 m m m m h bh b m bm b h ah a a − − − λ + λ + = − + − m m bh bm ah 2 2 − λ = ; λ = + bm bh ah m m 2 2 ; ( ) λ = + bm b a h m 2 Высота сферического сегмента m h определяется выражением: ( ) b a bm h m + λ = 2 . (3.6) m r S m h M 2 λ + m b m ϕ b a n 357 Площадь сферического сегмента и площадь m -й зоны Френеля соответственно равны ( ) b a m ab b a abm ah m m + λ π = + λ π = π = σ 2 2 2 ( ) b a ab m b a ab b a m ab m m + λ π = − + λ π − + λ π = σ − σ = σ ∆ − 1 1 . (3.7) Выражение (3.7) не зависит от m , следовательно, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равновеликие зоны. Френель предположил, что действие отдельных зон в точке M тем меньше, чем больше угол m ϕ (рис. 3.4) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на точку M , т.е. действие зон постепенно убывает от центральной к периферической. Интенсивность излучения в направлении точки M уменьшается с ростом m вследствие увеличения расстояния от зоны до точки M . Следовательно, 3 2 1 > > > A A A Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико. Например, при = = b a 10 см и = λ 0,5 мкм (500 нм) ( ) 5 2 10 8 2 ⋅ = + λ π π = b a ab a N Принято приближенно считать, что амплитуда колебания m A от некоторой m - й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е. 2 1 1 + − + = m m m A A A . (3.8) Тогда выражение (3.4) можно записать в виде 2 2 2 2 2 2 1 5 4 3 3 2 1 1 A A A A A A A A A = + + − + + − + = (3.9) так как выражения, стоящие в скобках, согласно (3.9) равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны пренебрежимо мала. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке M определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку M сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны. 358 Найдем радиус внешней границы m -й зоны Френеля. Обратимся к формуле (3.5) и учтем, что a h m << , тогда m m ah r 2 2 = Подставим сюда значение высоты сферического сегмента m h (3.6) и получим выражение для радиуса внешней границы m -й зоны Френеля: ( ) λ + = + λ = m b a ab b a abm r m 2 2 2 и λ + = m b a ab r m . (3.10) Пример: Рассчитаем радиус внешней границы 1-ой (центральной) зоны при 10 = = b a см и 500 = λ нм. 158 , 0 10 5 1 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 9 = ⋅ ⋅ + ⋅ = − m r мм. Следовательно, распространение света от S к M происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM , т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде. Зонные пластинки. Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждается экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – стеклянные пластинки, на поверхности которых нанесены по принципу расположения зон Френеля прозрачные и непрозрачные кольца радиусами λ + = m b a ab r m Если поместить зонную пластинку в строго определенном месте на расстоянии a от источника и расстоянии b от точки наблюдения, то для света с длиной волны λ она перекроет четные зоны и оставит свободными нечетные, начиная с центральной. В результате, результирующая амплитуда 5 3 1 + + + = A A A A должна быть больше, чем при полностью открытом волновом фронте. Опыт показывает, что зонная пластинка увеличивает освещенность в точке М, действуя подобно собирающей линзе. 3.3. Дифракция Френеля 359 Дифракцию разделяют на два типа: дифракция Френеля (или дифракция в сходящихся лучах) и дифракция Фраунгофера (или дифракция в параллельных лучах). Дифракция Френеля наблюдается, когда на препятствие падает сферическая волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием на конечном расстоянии от него. Пример 1: Дифракция на круглом отверстии (рис. 3.5). Рис.3.5 На пути сферической волны от источника S расположен экран с круглым отверстием, радиусом 0 r . Дифракционная картина наблюдается на экране Э в точке В . Экран параллелен отверстию и находится на расстоянии от него. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся, на открытой части волновой поверхности в плоскости отверстия. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке B всеми зонами, 2 2 1 m A A A ± = , (3.11) где «+» соответствует нечетным m, а «−» соответствует четным m. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке B наблюдается минимум интенсивности, а в центре будет темное пятно (рис. 3.6а). Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то в точке B наблюдается максимум интенсивности, а в центре будет наблюдаться светлое пятно (рис. 3.6б). a b b B 2 2 λ + b 2 λ + b Э S 360 а) б) Рис. 3.6 Наименьшая интенсивность наблюдается, если открыты две зоны Френеля: их действия в точке В уничтожат друг друга из-за интерференции. Максимальная интенсивность наблюдается, если открыта одна зона Френеля. В точке В амплитуда будет вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием: 1 A A = (см. (3.4)). Интенсивность света будет больше соответственно в четыре раза. Если диаметр отверстия велик, то амплитуда света от m -й зоны 2 1 A A m << и результирующая амплитуда 2 1 A A = , т.е. такая же, как при полностью открытом волновом фронте. В данном случае дифракция не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно. Пример 2: Дифракция на диске (рис. 3.7) Рис. 3.7 На пути сферической волны от точечного источника S расположен непрозрачный диск. Дифракционная картина наблюдается в точке B экрана. Экран параллелен диску. Закрытый диском участок волнового фронта исключают из рассмотрения и зоны Френеля строят, начиная с краев диска. Если диском закрывается m зон Френеля, то амплитуда результирующего колебания в точке B равна 2 2 2 3 2 1 1 3 2 1 + + − + = − + − = + + + + + + + m m m m m m m A A A A A A A A или 2 1 + = m A A , (3.12) b B 2 2 λ + b 2 λ + b Э S 2 3 λ + b m ϕ 361 так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, амплитуда результирующего колебания в точке B равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной Френеля. В точке B всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно) – пятно Пуассона. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины. С увеличением размеров диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки B и увеличивается угол m ϕ между нормалью n к поверхности и направлением на точку B . В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размера диска уменьшается. Если диск велик, то за ним наблюдается тень, а на границе – слабая дифракционная картина. 3.4. Дифракция Фраунгофера Второй тип дифракции − дифракция Фраунгофера (или дифракция в параллельных лучах) наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Практически, для этого нужно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием. Пример 1. Дифракция Фраунгофера на щели. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на щель шириной a ( рис. 3.8). Параллельные пучки лучей, выходящие из щели в произвольном направлении ϕ ( ϕ − угол дифракции), собираются линзой в точке B Открытую часть волновой поверхности MN в плоскости щели разбивают на зоны Френеля, которые имеют вид полос, параллельных ребру M щели и проведены так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна 2 λ Таким образом, всего на ширине щели уместится N = 2 λ ∆ зон. Оптическая разность хода между крайними лучами MC и ND , идущими от щели в произвольном направлении ϕ , 0 В ϕ = = ∆ sin a NF . (3.13) Тогда число зон Френеля, умещающихся на ширине щели N= 2 sin 2 λ ϕ = λ ∆ a . (3.14) 362 Из выражения (3.13) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла ϕ . От числа зон Френеля зависит результат наложения вторичных волн. При интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон находятся в противофазе и взаимно гасят друг друга. Таким образом, если число зон Френеля четное, то ( ) 3 , 2 , 1 2 2 sin = λ ± = ϕ m m a (3.15) и в точке B наблюдается дифракционный минимум (полная темнота). Рис. 3.8 Если число зон Френеля нечетное, то ( ) ( ) 3 , 2 , 1 2 1 2 sin = λ + ± = ϕ m m a (3.16) и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной некомпенсированной зоны Френеля. 363 В направлении 0 = ϕ щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т.е. в точке 0 B наблюдается центральный дифракционный максимум. Из условий (3.15) и (3.16) можно найти направления на точки экрана, в которых интенсивность света равна нулю ( a m λ ± = ϕ sin ) или максимальна ( ( ) a m 2 1 2 sin λ + = ϕ ). Можно также рассчитать зависимость распределения интенсивности на экране от угла дифракции - дифракционный спектр. Расчеты показывают, что интенсивности в центральном и последующих максимумах относятся как 1:0,047:0,017:0,0083…, т.е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны λ, поэтому рассмотренная дифракционная картина имеет место для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски (он общий для всех длин волн). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых m различно для разных λ. Справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и других порядков, обращенных фиолетовым краем к центру дифракционной картины. С уменьшением ширины щели центральный максимум расширяется, а с увеличением ширины щели дифракционные полосы становятся уже и ярче. Пример 2. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке. Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку. Дифракционной решеткой называется совокупность параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Постоянной (периодом) дифракционной решетки d называется суммарная ширина щели a и непрозрачного промежутка между щелями: b a d + = . (3.17) Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей. Рассмотрим дифракцию от двух щелей дифракционной решетки. Плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки 364 (рис. 3.9). Так как щели находятся на одинаковых расстояниях друг от друга, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут одинаковы для данного направления ϕ в пределах всей решетки: ( ) ϕ = ϕ + = = ∆ sin sin d b a CF . (3.18) Рис. 3.9 В таблице 3.1 приведены условия наблюдения дифракции на двух щелях. Таблица 3.1 Условия Формула Обоснование Главные (прежние) минимумы 3 , 2 , 1 sin = λ ± = ϕ m m a В тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух и более щелях. Дополнительные минимумы ( ) 2 , 1 , 0 2 1 2 sin = λ + ± = ϕ m m d Возникают вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями в направлениях, определяемых условием 2 5 ; 2 3 ; 2 sin λ λ λ ± = ϕ d Световые лучи гасят друг друга, т.е. возникают дополнительные минимумы Главные максимумы 2 , 1 , 0 sin = λ ± = ϕ m m d В данных направлениях действие одной щели усиливает действие другой. 3 ; 2 ; ; 0 sin λ λ λ ϕ ± = d Таким образом, полная дифракционная картина на двух щелях определяется из условий: 365 λ λ λ = ϕ 3 , 2 , sin a … ( главные минимумы) (3.19) 2 5 , 2 3 , 2 sin λ λ λ = ϕ d … ( дополнительные минимумы) (3.20) λ λ λ = ϕ 3 , 2 , , 0 sin d … ( главные максимумы). (3.21) Между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. В случае N щелей между двумя главными максимумами располагается 1 − N дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый фон. Условием главных минимумов является условие (3.19), условием главных максимумов – условие (3.21), а условием дополнительных минимумов N m d λ ϕ ′ ± = sin , (3.22) ,... 2 , , 0 N N m ≠ ′ , где m′ может принимать все целочисленные значения, кроме тех, при которых условие (3.22) переходит в условие главных максимумов (3.21). Чем больше щелей в дифракционной решетке, тем больше световой энергии пройдет сквозь решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем интенсивнее и острее будут максимумы. Так как модуль sinφ не может быть больше единицы, то из (3.21) следует, что число главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны. Максимальный порядок спектра, даваемый дифракционной решеткой: λ ≤ d m . (3.23) Дифракционная решетка как спектральный прибор. Положение главных максимумов в дифракционной решетке зависит от длины волны λ: 2 , 1 , 0 sin = λ ± = ϕ m m d Поэтому при пропускании белого света через решетку все максимумы кроме центрального ( ) 0 = m окрасятся в цвета спектра: фиолетовая область будет обращена к центру дифракционной картины, а красная – наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. |