Тексты лекции_Оптика. Лекция электромагнитные волны свойства электромагнитных волн
 Скачать 0.84 Mb.
|
332 ЧАСТЬ 1. ОПТИКА ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1.1. Свойства электромагнитных волн Электромагнитные волны являются одним из наиболее важных типов волн, которые широко распространены на практике. Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием уравнений Максвелла: переменное электрическое поле порождает магнитное поле, а изменяющееся магнитное поле, в свою очередь, ответственно за возникновение изменяющегося вихревого электрического поля. В результате этого возникает бесконечный процесс взаимного превращения полей, которые распространяются в пространстве. Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля и все их проекции на оси декартовых координат удовлетворяют в однородной, изотропной, непроводящей среде волновому уравнению 2 2 2 1 t E E ∂ ∂ υ = ∆ ; 2 2 2 1 t H H ∂ ∂ υ = ∆ , (1.1) где 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ − оператор Лапласа, а υ − скорость распространения волны. Таким образом, переменное электромагнитное поле действительно распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых зависит от параметров среды (диэлектрической и магнитной проницаемости) и определяется выражением: εµ = εµ ⋅ µ ε = υ с 1 1 0 0 , (1.2) где 0 ε и 0 µ − электрическая и магнитная постоянные, с − скорость света в вакууме. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света 8 0 0 10 3 1 ⋅ = = µ ε c м/с (для вакуума 1 = ε и 1 = µ ), а во всех других средах – с меньшей скоростью: c < υ ( поскольку для среды 1 > εµ ). Поперечность электромагнитных волн. В электромагнитной волне колебания векторов напряженности E переменного электрического поля и 333 напряженности H переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору υ скорости распространения волны. Иначе говоря, электромагнитные волны – поперечные волны. Векторы Е , H и υ образуют правовинтовую систему. На рис. 1.1 изображена моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны. Рис.1.1 В электромагнитной волне векторы E и H колеблются в одной фазе − они одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль. Модули E и H связаны соотношением H E 0 0 µµ = εε , которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны, независимо от формы ее волновых поверхностей. Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты ν. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов E и H на оси координат инерциальной системы отсчета совершают гармонические колебания одинаковой частоты, равной частоте волны ν. Например, в случае монохроматической плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, ( ) ϕ + − ω = kx t E E y cos 0 ; ( ) ϕ + − ω = kx t H H z cos 0 , где 0 E и 0 H − соответственно, амплитуды E у и H z ; ω = 2πν – циклическая ( круговая) частота волны; υ ω = k − волновое число; ϕ − начальные фазы колебаний (они одинаковы, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят синфазно). Энергия электромагнитной волны. Возможность обнаружения волн вдали от источника указывают на то, что они переносят энергию. Для характеристики переноса энергии вводится понятие интенсивности волны. y z x H E υ 334 Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина I , численно равная энергии ΔW, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны: t S W I ∆ ⋅ ∆ = . (1.3) Найдем плотность энергии ω электромагнитной волны. Очевидно, что в линейной изотропной среде она складывается из объемных плотностей эл ω электрического и м ω магнитного полей 2 2 2 0 2 0 м эл H E µ µ + ε ε = ω + ω = ω . (1.4) Из соотношения между модулями векторов E и H поля электромагнитной волны H E 0 0 µµ = εε c ледует, что объемная плотность энергии ω электромагнитных волн: ⇒ µµ εε = εε = ω = ω + ω = ω EH E 0 0 2 0 эл м эл 2 υ = ω EH . (1.5) Скорость переноса энергии бегущей монохроматической волны равна фазовой скорости этой волны εµ = εµ ⋅ µ ε = υ с 1 1 0 0 Умножив плотность энергии ω на скорость υ , получим плотность потока энергии EH U = ωυ = Введем вектор плотности потока электромагнитной энергии − вектор Умова-Пойнтинга, количественно характеризующий перенос энергии волнами: ] [ H E U = . (1.6) Направление вектора Умова-Пойнтинга совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH . Другими словами, вектор Умова-Пойнтинга U направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Следовательно, интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения 335 вектора Умова-Пойнтинга за период его полного колебания: I = > < U Интенсивность бегущей монохроматической волны: I = <ω>υ, где υ – фазовая скорость волны, <ω> − среднее значение объемной плотности энергии поля волны. Интенсивность плоской монохроматической волны пропорциональна квадрату амплитуды А колебаний вектора E поля волны: 2 0 0 2 1 A I µµ εε = . (1.7) Примечание: Под интенсивностью света, т.е. рассматриваемых в оптике электромагнитных волн, обычно понимают просто квадрат амплитуды колебаний вектора напряженности E поля световой волны. Виды электромагнитных волн. Видимый свет, радиоволны, рентгеновские лучи, γ-лучи имеют одну и ту же природу – это электромагнитные волны, различающиеся только длиной волны. Весь диапазон длин волн можно приближенно разделить на ряд областей, каждая из которых связана с определенным видом излучения и способом генерации волн. Классификация электромагнитных волн по длинам волн или частотам называется спектром электромагнитных волн. В таблице 1.1 приведены приближенные значения частот и длин волн различных видов электромагнитных волн. Диапазоны электромагнитных волн Таблица 1.1 Частота, Гц Диапазон волн Длина волн, м 10 3 − 10 12 Радиоволны 3 ⋅ 10 5 − 3 ⋅ 10 -4 10 12 − 10 14 Инфракрасное излучение 3 ⋅ 10 -4 − 7,5 ⋅ 10 -7 4 ⋅ 10 14 − 7,5 ⋅ 10 14 Видимый свет 7,5 ⋅ 10 -7 – 4 ⋅ 10 -7 7,5 ⋅ 10 14 − 10 17 Ультрафиолетовое излучение 4 ⋅ 10 -7 – 10 -9 10 17 – 10 20 Рентгеновское излучение 10 -9 – 10 -12 10 20 – 10 23 γ-излучение 10 -12 − 10 -15 Электромагнитные волны с низкими частотами (ν < 10 3 Гц) генерируются переменными электрическими токами соответствующей частоты и не имеют практического значения. Радиоволны, используемые для радио и телевидения, генерируются при колебательных движениях зарядов в 336 колебательном контуре, присоединенном к антенне. Инфракрасные (ИК) волны, диапазон которых приникает к радиоволнам, возникает вследствие колебаний ионов кристаллических решеток, к которым подводится тепловая энергия. Очень узкий диапазон занимает видимый свет (от 400 до 750 нм). Видимый свет и ультрафиолетовое излучение генерируются возбужденными валентными электронами атомов за счет энергии, подводимой извне (свечение газонаполненной трубки под действием электрического тока). Рентгеновское излучение возникает при резком торможении потока электронов препятствиями. γ-излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также при распаде частиц. 1.2. Световые волны Одним из важных разделов физики является оптика − учение о свете, то есть об электромагнитных волнах, воспринимаемых нашим глазом. Такие волны, распространяющиеся в вакууме (в воздухе), занимают узкий диапазон с длинами волн 400 – 750 нм. Установлено, что цветовое воздействие на глаз человека обусловлено частотой света. Монохроматическим называется свет одной определенной частоты. Так, световые волны с частотой 0,4 ∙ 10 15 Гц (с длиной волны в вакууме 750 нм) воспринимаются как красный свет, а с частотой 0,75 ∙ 10 15 Гц (с длиной волны в вакууме 400 нм) − как фиолетовый. Установлено, что световые волны, отличающиеся по длине волны менее чем на 2 нм, воспринимаются как одноцветные. Основные законы оптики. Основные законы распространения света, законы отражения и преломления были сформулированы до того, как была выяснена волновая природа света. Кратко остановимся на них. Закон прямолинейного распространения света: Свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. Закон независимости световых пучков.Эффект производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно другие пучки или они устранены. Отражение и преломление света. Допустим, что луч света 1 падает на границу раздела двух оптических (прозрачных) сред под некоторым углом i 1 к нормали к границе раздела (углом падения). В этом случае часть светового луча отражается (луч 2), а часть его (луч 3), изменив направление, проходит в другую среду (рис. 1.2). Описанное явление подчиняется трем законам: 337 1) Отраженный и преломленный лучи лежат в одной плоскости, проведенной через падающий луч и нормаль к границе раздела оптических сред. Эту плоскость называют плоскостью падения. 2) Угол отражения равен углу падения, т.е. i′ 1 = i 1 3) Отношение синуса угла падения i 1 к синусу угла преломления i 2 – есть величина постоянная, называемая относительным показателем преломления n 21 (закон Снеллиуса): 21 2 1 sin sin n i i = . (1.8) Относительный показатель преломления равен показателю преломления второй среды относительно первой: n 21 = n 2 /n 1 , где n 1 = c/ υ 1 и n 2 = с/υ 2 . Из этих формул следует, что разные среды обладают разными показателями преломления n = c/ υ, так как скорость распространения света в разных средах различна. Показатель преломления среды всегда больше единицы, потому что c < υ . Отсюда следует интересный вывод: длина одной и той же световой волны зависит от среды, в которой она распространяется. Следует учесть опытный факт, что частота света ν = 1/Т и период колебания световой волны Т при переходе из одной среды в другую не меняются. Тогда, умножая и деля правую часть равенства n = c/ υ на период колебания волны Т, получаем n = c Т/υТ =λ 0 / λ или λ = λ 0 /n, (1.9) где сТ = λ 0 и υТ = λ – длина волны в вакууме и среде соответственно. Отсюда видно, что длина световой волны в среде меньше, чем в вакууме, так как n > 1. Рис. 1.2 i 1 1 i′ 1 2 3 2 i 338 Полное отражение. Если свет распространяется из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду, то угол преломления больше угла падения (согласно закона Снеллиуса). Угол падения, при котором угол преломления становится равным π/2, называется предельным углом i пр . Угол i пр = arcsin n 21 . Если i ≥ i пр , то интенсивности отраженной и падающей волны одинаковы, т.е. волна полностью отражается от поверхности раздела сред. Это явление называется полным внутренним отражением. Контрольные вопросы 1. Что такое электромагнитная волна. Какова скорость ее распространения в вакууме, в среде? 2. Какими свойствами обладает электромагнитная волна? 3. Как связаны вектора E , H и ϑ ? 4. Запишите волновое уравнение для векторов E и H переменного электромагнитного поля. Что является его решением? Объясните его физический смысл. 5. Определите объемную плотность энергии электромагнитного поля. В чем заключается физический смысл вектора Умова-Пойнтинга? Чему он равен? 6. Что такое интенсивность электромагнитной волны? В чем она измеряется? Запишите формулу интенсивности электромагнитной волны. 7. Каковы виды электромагнитных волн? Перечислите способы их возбуждения. 8. Что такое свет, какова его природа с точки зрения волновой теории? Что такое монохроматический свет? 9. C формулируйте законы отражения и преломления света. 10. Что такое полное внутреннее отражение? Задачи 1. Какова скорость света в воде, если при частоте 4,4 ⋅ 10 14 Гц длина волны в ней равна 0,51 мкм? 2. Вода освещена светом с частотой 6 ⋅ 10 14 Гц. Какова его частота и длина волны в воде? Показатель преломления воды – 1,33. 3. Сейсмическая упругая волна, падающая под углом 45 на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами испытывает преломление, причем угол преломления равен 30 . Во второй 339 среде волна распространяется со скоростью 4.0 км/с. В первой среде скорость волны должна быть равна… Варианты ответа: 1) 2,8 км/c; 2) 7,8 км/с; 3) 1,4 км/с; 4) 5,6 км/c. 340 ЛЕКЦИЯ 2. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 2. 1. Интерференция световых волн Все многообразие изученных свойств и законов распространения света, его взаимодействия с веществом показывает, что свет имеет сложную природу. Он представляет собой единство противоположных видов движения – корпускулярного (квантового) и волнового (электромагнитного). Т.е. в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна (интерференция, дифракция, поляризация), в других как поток особых частиц – фотонов (излучение и поглощение света, взаимодействие света с веществом). Световые волны, согласно теории Максвелла, излучаются при колебаниях электрических зарядов, происходящих по закону синуса или косинуса. В природе и технике часто приходится сталкиваться с излучением волн, создаваемых независимыми зарядами, колеблющимися в разных фазах. В результате мы сталкиваемся со сложением многих волн, явлением, которое называют интерференцией. В основе этого явления лежит установленный опытным путем принцип суперпозиции (наложения) волн, вследствие которого результирующее колебание в любой точке пространства равно векторной сумме колебаний, обусловленных каждой из волн в отдельности в этой же точке. Это означает, что волны не искажают друг друга, а просто складываются. Например, мы слышим без искажений звучание музыкальных инструментов в оркестре. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность – согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты, разность фаз колебаний которых не зависит от времени. Рассмотрим процесс наложения двух когерентных волн любой природы (механические, электромагнитные). Накладываясь друг на друга, две когерентные волны возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления. Векторы напряженностей электрического поля волн 1 Е и 2 Е совершают колебания вдоль одной прямой. ( ) 1 01 1 cos ϕ + ω = t E E ; ( ) 2 02 2 cos ϕ + ω = t E E . (2.1) Амплитуду результирующего колебания найдем, используя метод вращающегося вектора амплитуды (рис. 2.1). Пусть А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний. 341 Рис. 2.1 По теореме косинусов ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 ϕ − ϕ − π − + = A A A A A ; так как ( ) ϕ − = ϕ − π cos cos , то ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 ϕ − ϕ + + = A A A A A Следовательно, для векторов 1 Е и 2 Е амплитуда результирующего колебания в рассматриваемой точке зависит от ( ) 1 2 cos ϕ − ϕ : ( ) 1 2 02 01 2 02 2 01 2 cos 2 ϕ − ϕ + + = E E E E E . (2.2) Так как волны когерентны, то ( ) 1 2 cos ϕ − ϕ имеет постоянное во времени, но свое для каждой точки пространства, значение. Запишем последнее выражение через интенсивности волн. Установлено, что интенсивности I прямо пропорциональны квадрату амплитуды, т.е. 2 A I ∝ Тогда интенсивность результирующей волны ( ) 1 2 2 1 2 1 cos 2 ϕ − ϕ + + = I I I I I . (2.3) Из этой формулы следует, что интенсивность результирующей волны в какой либо точке зависит от разности фаз налагающихся волн. Интенсивность в случае синфазных колебаний. Если фазы 1 ϕ и 2 ϕ одинаковы или отличаются на четное число π и ( ) 0 cos 1 2 > ϕ − ϕ , то интенсивность результирующей волны больше суммы интенсивностей налагающихся волн: ( ) 2 1 2 2 1 max I I Ι I I I + > + = . (2.4) Интенсивность в случае противофазных колебаний. Если фазы 1 ϕ и 2 ϕ отличаются на нечетное число π и ( ) 0 cos 1 2 < ϕ − ϕ , то ( ) 2 1 2 2 1 min I I I I I I + < − = . (2.5) A 2 A 1 A x O 2 ϕ 1 ϕ ( ) 1 2 ϕ − ϕ 342 В пространстве будет наблюдаться периодическое распределение интенсивностей: в одних местах волны усиливают друг друга, в других ослабляют. Геометрическое место точек, в которых происходит усиление или ослабление волн, соответственно называют интерференционным максимумом и интерференционным минимумом, а их совокупность носит название интерференционной картины. Итак, интерференцией волн называют явление усиления и ослабления когерентных волн в определенных точках пространства при их наложении. Для некогерентных волн разность начальных фаз ( ) 1 2 ϕ − ϕ непрерывно изменяется, поэтому среднее значение ( ) 0 cos 1 2 = ϕ − ϕ , интенсивность результирующей волны всюду одинакова, равна I I 2 = и интерференция не наблюдается. Для когерентных волн 1 max 4I I = ; 0 min = I Особенности интерференции световых волн. Для возникновения интерференции световых волн необходимо создать определенные условия. Действительно, при наложении световых волн, испускаемых двумя независимыми источниками, интерференция не происходит. В этом случае наблюдается суммирование интенсивностей световых волн. Причина этого заключается в том, что налагающиеся волны в данном случае некогерентны. Физическая природа световых волн, испускаемых двумя независимыми источниками, состоит в том, что атомы излучают световые волны независимо друг от друга. В каждом таком атоме процесс излучения конечен и длится короткое время 8 10 − ≈ τ с. Разность фаз между излучениями двух независимых атомов изменяется при любом новом акте испускания света. Следовательно, волны, спонтанно излучаемые атомами любого источника, не когерентны и не являются монохроматическими. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов длительностью 8 10 − ≤ τ с, называется волновым цугом. Когерентность существует только в пределах одного цуга. Назовем временем когерентности – ког τ − среднюю продолжительность одного цуга. Очевидно, что время когерентности не может превышать времени излучения атома: τ < τ ког Максимальная геометрическая разность хода, при которой еще возможна интерференция, определяется соотношением ког ког τ = c l и называется длиной когерентности. Для обычных источников света время когерентности 8 ког 10 − τ с, а длина когерентности l ког 3 м. В действительности за счет ослабления волн длина когерентности составляет несколько см. Для сравнения, у лазеров 2 ког 10 τ с, l ког 6 10 м. 343 На четкость интерференционной картины влияют также размеры источников света. При достаточно больших размерах интерференционная картина даже исчезает. Это объясняется тем, что каждая точка источника дает свою интерференционную картину, не совпадающую с картинами интереференции от других его точек. Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют наблюдать интерференцию, называются пространственно когерентными. Условия интерференционных максимумов и минимумов. Определим условия интерференционных максимумов и минимумов для когерентных световых волн распространяющихся в разных средах до момента их встречи. Когерентные световые волны получают методом разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга и интерферируют. Оптическая длина пути L − это произведение геометрической длины S пути световой волны в данной среде на показатель преломления n этой среды. Разность оптических длин проходимых волнами путей называется оптической разностью хода: 1 2 L L − = ∆ Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке O . До точки M , в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления 1 n прошла путь 1 S , вторая – в среде с показателем преломления 2 n прошла путь 2 S (рис. 2.2). Рис. 2.2 Если в точке O фаза колебаний равна t ω , то в точке M первая и вторая волна возбудят колебания − = 1 1 1 1 cos ϑ ω S t A x и − = 2 2 2 2 cos ϑ ω S t A x , (2.6) где 1 1 n c = υ и 2 2 n c = υ − фазовая скорость соответственно первой и второй волн. Разность фаз колебаний возбуждаемых волнами в точке M : 2 S О M 2 n 1 n 1 S 344 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 L L n S n S n S n S c S S S t S t − λ π = − λ π = − πν = = υ − υ ω = υ − ω − υ − ω = δ (2.7) Таким образом, связь между разностью фаз δ и оптической разностью хода 1 2 L L − = ∆ , определяется выражением: ( ) ∆ λ π = − λ π = δ 0 1 2 0 2 2 L L . (2.8) Из этой формулы следует, что интенсивность будет максимальной во всех точках пространства, для которых cos(δ) = 1. Это возможно, если π ± = δ m 2 , где m = 0, 1, 2… Отсюда находим условие интерференционного максимума: 0 0 0 2 2 2 2 λ ± = λ ⋅ ± = π λ ⋅ π ± = ∆ m m m . (2.9) Вывод: Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме (четному числу полуволн), то колебания, возбуждаемые в точке M , совершаются в одинаковой фазе и будут усиливать друг друга, т.е. будет наблюдаться максимум интенсивности. Очевидно, что интенсивность результирующей волны будет наименьшей во всех точках, для которых ( ) 1 cos − = δ , т.е. когда ( ) π + ± = δ 1 2m . Отсюда находим условие интерференционного минимума: ( ) 2 1 2 0 λ + ± = ∆ m . (2.10) Вывод: Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме (нечетному числу полуволн), то колебания, возбуждаемые в точке M , будут происходить в противофазе, будут гасить друг друга и будет наблюдаться минимум интенсивности. Представим полученные результаты в таблице 2.1. 345 Условия интерференционных максимумов и минимумовТаблица 2.1 ∆ δ Результат ( ) 2 , 1 , 0 2 2 0 0 = λ = λ ± = ∆ m m m π ± = δ m 2 максимум (колебания совершают- ся синфазно) ( ) ( ) 2 , 1 , 0 2 1 2 0 = λ + ± = ∆ m m ( ) π + ± = δ 1 2m минимум (колебания совершают- ся в противофазе) |