Главная страница
Навигация по странице:

  • Лекция 3. Изучение законов логики. Равносильные преобразования.

    		•

    Дискретная математика (1). Лекция Составные высказывания


    Скачать 2.15 Mb.
    НазваниеЛекция Составные высказывания
    Дата05.09.2022
    Размер2.15 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДискретная математика (1).doc
    ТипЛекция
    #662788
    страница3 из 16
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

    Формулы логики высказываний


    Основная задача логики высказываний состоит в изучении логических форм составных высказываний с помощью логичес­ких операций.

    Понятие логической формы составного высказывания уточня­ется с помощью вводимого понятия формулы логики высказываний.

    Понятие формул логики высказываний определяется следующим образом:

          1. Элементарные формулы – атомы – являются формулами логики высказываний.

          2. Если A, B – формулы, то , (A B), (A B), (A→B), (AВ) также являются формулами логики высказываний.

          3. только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1, 2.

    Согласно определения, всякая формула либо атом, ли­бо образуется из атомов в результате применения 2.

    Число скобок в формулах можно уменьшить, если опустить внешнюю пару скобок и упорядочить знаки логических опера­ций по старшинству: , →, , , .

    Знак  имеет самую большую область действия, знак самую маленькую.

    Определение. Формулы логики, принимающие значение "истина" при любых значениях атомов, входящих в формулу, называется тождественно истинными (или законами логики, или тавтологиями).

    Например, формула всегда тождественно истинна.

    Определение. Формулы логики, принимающие всегда ложное значение, называются тождественно ложными (или противоречиями).

    Например, формула - противоречие.

    Определение. Формулы алгебры логики, принимающие значение «ложь» хотя бы на одном наборе значений атомов, входящих в формулу называются опровержимыми.

    Определение. Формулы алгебры логики, принимающие значение «истина» хотя бы на одном наборе значений атомов, входящих в формулу называются выполнимыми.

    Определение. Формулы Р и Q называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любом выборе истинностных значений атомов, входящих в эти формулы.

    Запись Р Q означает, что формулы Р и Q равносильны.
    Лекция 3. Изучение законов логики. Равносильные преобразования.

    Законы логики (свойства логических операций)


    Следующие формулы являются законами логики.

      1. - закон двойного отрицания.

      2. - закон коммутативности конъюнкции.

      3. - закон коммутативности дизъюнкции.

      4. - закон ассоциативности конъюнкции.

      5. - закон ассоциативности дизъюнкции.

      6. - закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции.

      7. - закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции.

      8. - закон отрицания дизъюнкции.

      9. - закон отрицания конъюнкции.

      10. - закон отрицания импликации.

      11. - закон выражения эквивалентности через конъюнкцию и импликацию.

      12. - закон контрапозиции.

      13. - закон силлогизма.

    Для доказательства любого из приведенных выше законов можно использовать следующие способы:

    1. Построить таблицы истинности для левых и правых частей эквивалентности и убедиться, что получены одинаковые значения для всех значений атомов.

    2. Построить значение всей формулы и убедится, что формула является тавтологией.

    Пример. Докажем закон отрицания конъюнкции ( ) этими способами:

    1. Найдем значения для и и сравним их.

    A
    B










    И
    И
    И
    Л
    Л
    Л
    Л

    И
    Л
    Л
    И
    Л
    И
    И

    Л
    И
    Л
    И
    И
    Л
    И

    Л
    Л
    Л
    И
    И
    И
    И

    2. Найдем значение и убедимся, что при всех значениях A и B - это истинное значение.

    A
    B












    И
    И
    И
    Л
    Л
    Л
    Л
    И

    И
    Л
    Л
    И
    Л
    И
    И
    И

    Л
    И
    Л
    И
    И
    Л
    И
    И

    Л
    Л
    Л
    И
    И
    И
    И
    И
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

    написать администратору сайта