Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример.


  • Лекция 5. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ)

  • Решение

  • Дискретная математика (1). Лекция Составные высказывания


    Скачать 2.15 Mb.
    НазваниеЛекция Составные высказывания
    Дата05.09.2022
    Размер2.15 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДискретная математика (1).doc
    ТипЛекция
    #662788
    страница5 из 16
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

    Пример. С помощью основных равносильностей доказать, что в булевой функции F = переменная является фиктивной.

    Решение. Применяя закон поглощения и закон склеивания, получим

    F = .

    Так как существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует , то эта переменная является фиктивной.

    Пример. С помощью таблицы истинности убедиться в справедливости законов де Моргана .

    Решение. Построим таблицу истинности для и .
















    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0


    Так как в таблице истинности булевым функциям и соответствуют одинаковые столбцы, то формулы и равносильны.

    Пример. С помощью основных равносильностей доказать закон обобщенного склеивания .

    Решение. Применяя закон склеивания (в обратном порядке, то есть ) и дистрибутивность (то есть вынесем за скобки и ), получим

    .

    Пример. С помощью основных равносильностей доказать, что .

    Решение. Применяя основные равносильности, получим

    .
    Лекция 5. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (СДНФ и СКНФ)

    Дизъюнктивные нормальные формы
    Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция литералов (переменных или их отрицаний), взятых не более чем по одному разу.

    Например, конъюнкции , , 1 являются элементарными. Причем первая элементарная конъюнкция имеет ранг (число литералов) 2, вторая  3, а третья  0.

    Следующие конъюнкции: , , , , 0 не являются элементарными.

    Определение. Элементарная конъюнкция булевой функции , содержащая n литералов, называется полной (или минтермом).

    Определение. Дизъюнкция любого конечного множества элементарных конъюнкций булевой функции F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) функции F. Число элементарных конъюнкций (слагаемых, термов), составляющих ДНФ, называется длиной ДНФ.

    Например, ДНФ имеет длину, равную 3.

    Для произвольной булевой функции F существует, вообще говоря, много различных реализующих ее ДНФ, отличающихся друг от друга длиной, числом вхождений литералов и т.д.

    Определение. Две (или несколько) ДНФ, реализующих одну и ту же булеву функцию F , называются эквивалентными (или равносильными).

    Например, для функции , заданной булевым вектором w(F)=(00100111), существуют следующие эквивалентные ДНФ:

    , (1)

    , (2)

    , (3)

    , (4)

    . (5)

    Определение. ДНФ булевой функции F, состоящая только из полных элементарных конъюнкций, называется совершенной ДНФ (СДНФ).

    Например, (1)  СДНФ функции F.

    Отметим, что СДНФ является единственной (с точностью перестановки слагаемых) для конкретной булевой функции F .

    Любую булеву функцию F, заданную формулой, можно с помощью основных равносильностей преобразовать к ДНФ, а затем к СДНФ.

    Пример. Привести к виду СДНФ булеву функцию F= .

    Решение. С помощью основных равносильностей преобразуем к ДНФ:

    = = = =

    =  ДНФ.

    Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции , до полных элементарных конъюнкций:

    = .

    Так как , то после сокращения одинаковых конъюнкций, получаем СДНФ: F= .

    Составим таблицу истинности для булевой функции F= (функция из предыдущего примера). Отметим связь между СДНФ и таблицей истинности.

    Таблица истинности СДНФ











    F=

    Элементарные конъюнкции СДНФ

    0

    0

    0

    1

    0

    0




    0

    0

    1

    1

    0

    0




    0

    1

    0

    1

    0

    1



    0

    1

    1

    1

    0

    1



    1

    0

    0

    0

    1

    1



    1

    0

    1

    0

    0

    0




    1

    1

    0

    0

    1

    0




    1

    1

    1

    0

    0

    1




    В общем случае также можно вывести закономерности построения СДНФ по таблице истинности булевой функции, что является очень удобным.

    СДНФ состоит из дизъюнкций полных элементарных конъюнкций наборов переменных , на которых функция принимает значение 1. Переменные берутся без отрицания, если им соответствует в таблице истинности 1, с отрицанием, если 0.

    Пример. По таблице истинности составить СДНФ







    F

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    Решение: СДНФ: .

    Пример. Для булевой функции, заданной в виде ДНФ , составить СДНФ и выполнить проверку по таблице истинности.

    Решение: Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции, до полных элементарных конъюнкций. Конъюнкцию дополняем в два этапа, так как не является элементарной конъюнкцией:



    .

    Так как , после сокращения одинаковых конъюнкций получаем СДНФ:

    .
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


    написать администратору сайта