Дискретная математика (1). Лекция Составные высказывания

• Название: Лекция Составные высказывания
• Дата: 05.09.2022
• Размер: 2.15 Mb.
• Имя файла: Дискретная математика (1).doc
• Тип: Лекция; #662788
• страница: 9 из 16

Операции с кванторами.

Пусть имеется предикат х<у, где х, у R. Рассмотрим всевозможные варианты навешивания кванторов по каждой из переменных.

1. 
   ( х) ( у) (х < у) – для любого х и любого у имеем х < у - ложно.
   
2. 
   ( у) ( х) (х < у) – для любого у и любого х имеем х < у - ложно.
   
3. 
   ( х) ( у) (х < у) – для любого х существует у такой, что х < у, т.е. наибольшего числа нет - истинно.
   
4. 
   ( у) ( х) (х < у) – существует у для любого х, что х < у, т.е. есть наибольшее число. - ложно.
   
5. 
   ( у) ( х) (х < у) – существует х и существует у, что х < у - истинно.
   
6. 
   ( х) ( у) (х < у) – существует у и существует х, что х < у истинно.
   
7. 
   ( х) ( у) (х < у) – существует х для любого у, что х < у, т.е. есть наименьшее число - ложно.
   
8. 
   ( у) ( х) (х < у) – для любого у существует х, что х < у, т.е. наименьшего числа нет - истинно.
   

Таким образом, видим, что одноименные кванторы можно менять местами, не изменяя значения предиката. Изменение порядка разноименных кванторов приводит к изменению истиностного значения предиката. Запись математических предложений с помощью предикатов.

Для того чтобы выразить некоторое предложение в виде предикатов, необходимо

- установить предметную область, к которой относятся предметные переменные,

- выделить объекты, ввести соответственные обозначения, если таковых нет в математике

- записать предложение в этих обозначениях.

Пример. Предложение: прямая а параллельна прямой b.

Предметная область – множество прямых.

Введем предикат Р (х), х – прямая. Предикат параллельности х||у

Тогда предложение можно записать в виде: Р (а) Р(b) (а||b) .

Пример. Аксиома: через две различные точки проходит единственная прямая. (Ели две точки принадлежат двум прямым, то эти прямые совпадают).

Введем предикаты

Т (х), х – точка; Р (х), х – прямая; J(x,y) - x у. Тогда можно записать:

Т (А) Т (В) _{(А ≠ В)} Р (а) Р(b) J(A,a) J(B,а) J(A,b) J(B,b) (a=b).

Наряду с квантором существования рассматривается ограниченный квантор существования.

! – означает существование единственного элемента.

Запишем теперь эту аксиому, используя ограниченный квантор существования:

(А, В) ( Т (А) Т (В) ( !(а)) Р (а) J(A,a) J(B,b)).
Лекция 11. Понятие бинарного отношения и его свойства.