Дискретная математика (1). Лекция Составные высказывания

• Название: Лекция Составные высказывания
• Дата: 05.09.2022
• Размер: 2.15 Mb.
• Имя файла: Дискретная математика (1).doc
• Тип: Лекция; #662788
• страница: 2 из 16

Логические операции.

Пусть A, В - произвольные высказывания, относительно кото­рых не предполагается, что известно их истинностные значе­ния.

Связке "НЕ" соответствует логическая операция отрицания, обозначение операции – знак  или .

Определение. Отрицанием высказывания A называется высказывание (A), которое истинно, если A – ложно, и ложно, если A – истинно.

Таблица истинности отрицания:

A
И	Л
Л	И

Пример: A: 2*2=4 – истинное высказывание; : или 2*2 4 - ложное высказывание.

Связке "И" соответствует операция конъюнкция, обозначение операции – знак (или ).

Определение. Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание A B (читается "A и B"), которое истинно тогда и только тогда, когда A, B – истинно.

Таблица истинности конъюнкции:

A	B	A B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Пример: A: 5 – нечетное число; B: Пушкин родился в 1799 г – истинные высказывания; поэтому высказывание A B: 5 – нечетное число Пушкин родился в 1799 г. – истинное высказывание.

Связке "ИЛИ" соответствует операция дизъюнкция, обозначение операции – знак .

В формально-логических выводах «или» употребляется не в исключающем смысле (в отличие от обыденной речи, где эта связка может употребляться и в исключающем смысле и в неисключающем смысле)

Определение. Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказывание A B (читается "A или B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A, B – ложны.

Таблица истинности дизъюнкции:

A	B	A B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Пример. A: 7<10, и.в. В: 3 - число четное, л.в. A B: 7<10 3 - число четное, и.в.

Связке "ЕСЛИ....ТО" соответствует логическая операция импликация, обозначение операции знак →.

Определение. Импликацией высказываний A и B называется высказывание A→B (читается "если A, то B"), которое ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.

Таблица истинности импликации:

A	B	A→B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Пример. A: 2*2=5, л. в. В: 2=2, и. в. A→B: 2*2=5→ 2=2. и. в.

Высказывание A называется условием или посылкой, высказывание В - заключением или следствием импликации.

Связке "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА" соответствует операция эквиваленция, обозначение операция – знак .

Определение. Эквиваленцией высказываний A и В навивается высказывание, обозначаемое AB (читается :"A тогда и только тогда, когда В" или короче: "A эквивалентно В"), которое считается истинным только тогда, когда оба высказывания A и В имеют одинаковое истинностное значение.

Эквивалентность АВ читается также следующим образом: "Для того, чтобы A, необходимо и достаточно, чтобы В".

Таблица истинности эквиваленции:

A	B	AB
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Пример. A: 7 – число простое; и.в. В: в равнобедренном треугольнике при основании углы равны, и.в. AВ - и.в.

1. 
   Стрелка Пирса - ↓.
   

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р ↓ q
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Стрелка Пирса является отрицанием дизъюнкции.

2. 
   Штрих Шеффера - |.
   

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р | q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Штрих Шеффера является отрицанием конъюнкции.

3. 
   Сумма по модулю два -
   

Логическая операция задается таблицей:

р	q	р q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Сумма по модулю два является отрицанием эквивалентности