Дискретная математика (1). Лекция Составные высказывания
![]()
|
Отношения.Пусть заданы два множества А и В. Найдем А Х В. Подмножество k ![]() Отношения задаются знаками =, <, >, ![]() Пример. А={2,3,4}, B={1,4,3} A X B={(2,1),(2,4),(2,3),(3,1),(3,4),(3,3),(4,1),(4,4),(4,3)} Выделим отношения больше > ![]() и меньше < ![]() ![]() Рис.1. Отношение . Отношения на множестве.Если в декартовом произведении в качестве множества В выбрать множество А ( то есть А Х А= А ![]() ![]() Для отношений на множестве вводятся понятия: Обратное отношение-это множество пар (а,b) таких, что (b,a) ![]() ![]() ![]() Дополнение-это множество пар (а,b) ![]() ![]() Тождественное отношение-множество пар (а, а) таких, что, а ![]() I= {(a, a), a ![]() Универсальное отношение U={(a,b),a ![]() ![]() Виды отношений:Инъекция. Е ![]() Рис.2. Инъекция. Сюръекция. Если для каждого элемента y множества В существует элемент х ![]() ![]() Рис.3.Сюръекция. Биекция. Если для каждого элемента y ![]() ![]() Биективное отношение инъективно и сюръективно. Биективное отношение имеет обратное отношение. ![]() Рис.4. Биекция. Лекция 12. Отношение эквивалентности. Из содержания предыдущей лекции и рассмотренных в ней примеров видно, что понятие “отношение” следует понимать весьма широко. В данной лекции мы попытаемся ввести определённую классификацию отношений и рассмотреть наиболее значительные с точки зрения математики виды отношений – а именно отношения эквивалентности и порядка. Отношения эквивалентности. Определение.Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пример. а) Отношение равенства (часто обозначается ![]() ![]() б) Утверждения вида ![]() ![]() ![]() в) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников. г) Отношение “иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число ![]() е) Отношение “быть делителем” не является на множестве ![]() Пусть на множестве ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эта система обладает следующими свойствами: она образует разбиение множества ![]() любые два элемента из одного класса эквивалентны; любые два элемента из разных классов не эквивалентны. Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построенное разбиение, то есть система классов – подмножеств множества ![]() ![]() ![]() Пример . а) Все классы эквивалентности по отношению равенства ![]() б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности. в) Разбиение множества треугольников по отношению равенства имеет континуальный индекс, причём каждый класс имеет также мощность континуум. г) Разбиение множества натуральных чисел по отношению “иметь общий остаток при делении на 7” имеет конечный индекс 7 и состоит из семи счётных классов. Отношения порядка. Определение 1. Отношение ![]() Определение 2. Отношение ![]() Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка. Элементы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. а) Отношения “ ![]() ![]() ![]() ![]() б) Определим отношения “ ![]() ![]() 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда, например, ![]() ![]() ![]() ![]() в) На системе подмножеств множества ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.). д) В алфавите русского языка порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называется отношением предшествования. Обозначается ![]() ![]() ![]() Пример. а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения слов является упорядочение слов в словарях. Например, ![]() ![]() б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в десятичной системе) как слова в алфавите цифр, то их лексикографическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. В общем же случае эти два вида могут не совпадать. Например, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 “лексикографически” старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо “перевернуть”, то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ. Лекция 13. Композиция отображений |