кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
2.7.2. Реакция шероховатых связей. Угол трения Реакция действительной (шероховатой) связи слагается из двух составляющих нормальной реакции N и перпендикулярной ей силы трения F , следовательно, полная реакция , R будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от 0 до пр сила R изменяется от N до пр а ее угол с нормалью 0 φ растет от 0 до некоторого предельного значения. Наибольшее значение этого угла называется углом трения. На рис. 2.40 тело лежит на горизонтальной поверхности пр – реакция шероховатой связи, N – реакция (сила, направленная по нормали к поверхности сила, сдвигающая тело, пр – сила трения. Из рис. 2.40: пр пр 0 0 tg φ , , tg φ F N F f При равновесии полная реакция может находиться где угодно внутри угла трения. Когда равновесие становится предельным будет отклонена от на 0 φ . Если к телу приложена сила P , образующая угол α с нормалью (рис. 2.41), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие sin α P будет больше пр α F f P (считаем cos α N P ): 0 sin α cos α, P f где 0 0 = tg φ f выполняется только прите. при 0 α φ пр Рис. 2.40 P 0 φ пр F Рис. 2.41 P P sin α P c os α N 42 Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол α, меньший угла трения 0 φ , тело вдоль данной поверхности не сдвинуть. Этим объясняется явление заклинивания или самоторможения. 2.7.3. Равновесие при наличии трения Равновесие тел с учетом сил трения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, когда сила трения равна пр F При решении реакцию шероховатость связи представляют двумя составляющими и пр, затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним пр N Из полученного уравнения получают искомые величины. Иногда необходимо определять значения F, когда равновесие не является предельным (F ≠ пр. В этом случае F является искомой величиной и определяется из уравнения равновесия в проекции на ось О (рис. 2.42). Рассмотрим примеры. Пример 1. Определить значение силы Р, достаточной, чтобы сдвинуть груз (рис. 2.42). Составляем уравнение равновесия пр 0 sin α 0; i y N P G sin тогда пр 0 sin α . F f Подставляя пр в первое уравнение, находим значение сдвигающей 0 0 cosα sin α f Пример 2. Определить при каких значениях угла α груз, лежащий на наклонной поверхности, останется в равновесии (рис. 2.43). Сначала найдем предельное положение равновесия. На груз действуют силы G – сила тяжести сила, направленная по нормали к поверхности N , и предельная сила трения пр. Составим треугольник сил (замкнутый ор 0 tg Равновесие может быть достигнуто при пр α α Окончательно α (при котором груз будет в равновесии) определяется неравенством Можно, зная пр, определять 0 f α Рис. 2.42 P x y N G пр 43 α Риса пр α пр б α G A R 0 φ 0 φ K B A Рис. 2.44 D Пример 3. Определим, при каких значениях угла человек массой G может подняться по лестнице до конца, если угол трения ее о пол и о стену составляет 0 φ (рис. 2.44). Рассмотрим предельное положение равновесия. В таком случае реакции A R и B R отклонены от нормали к этим плоскостям на угол трения 0 φ . Линии действия реакций пересекаются в точке K. Следовательно, при равновесии третья сила (масса человека) G должна тоже пересекаться в точке K, а значит, человек выше точки D подняться не может. 2.7.4. Трение качения Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. На рис. 2.45 показан цилиндрический каток радиусом R и массой G , лежащий на горизонтальной шероховатой поверхности. Приложим коси катка силу пр. Тогда в точке А возникает сила трения F , численно равная P , которая будет препятствовать движению катка. Если считать нормальную реакцию N тоже приложенной в точке А, то она уравновешивает силу G , а силы P и F образуют парусил, вызывающую качение катка. При такой схеме качение должно начаться под действием любой сколь угодно малой силы Однако истинная картина, как показывает опыт, иная. Объясняется это тем, что вследствие деформации тел касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 2.46). Под действием силы P интенсивность давления у края А убывает, ау края В возрастает. В результате N оказывается смещенной в сторону действия силы P . С увеличением P это смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будет действовать пара сил при с моментом при уравновешиваться парой сил NG с моментом Nk . Из равенства моментов находим пр R Nk или пр R N α С N G P F A Рис. 2.45 С K A B Рис. 2.46 С F P 1 P Рис. 2.47 Представим предельное равновесие когда 1 α α . Разлагая силу P на составляющие и 2 , P находим, что в этом случае сдвигающая сила пр α Р анормальная реакция 2 1 cos α Пока пр каток остается в покое, при P > пр начинается качение с коэффициентом трения качения k. Он зависит от материала тел и определяется опытным путем. Приведем приближенное значение этого коэффициента для некоторых материалов – дерево по дереву 0.05…0.08; – сталь мягкая по стали 0.005; – сталь закаленная по стали (подшипник 0.001. Отношение k R для большинства материалов значительно меньше 0 f Поэтому надо стремиться, если возможно, трение скольжения заменять трением качения. Пример. При каких значениях угла α цилиндр радиусом R (рис. 2.47) остается в покое, если коэффициент трения качения равен k. Раскладывая силу на 1 P и 2 , P находим сдвигающую силу пр 1 sin α R P P – нормальная реакция. Представим предельное равновесие, когда 1 2 1 α α cos α Р Тогда 1 1 sin α cos α , P k R P 1 tg α K Равновесие сохраняется пр 1 sin α cosα tg Р R 45 2.8. Пространственная система сил 2.8.1. Момент силы относительно оси. Главный вектор, главный момент системы сил Как было рассмотрено ранее, 0 2 ОАВ М Р S Рассмотрим проекцию вектора 0 М Р на ось (ось z). Проекция 0 М Р на ось, те. моменты силы P относительно центра Она ось (скажем, ось z), проходящую через этот центр, называется моментом силы относительно оси 0 z z М Р М Р или 0 cos γ, z z М Р М Р где z М Р – момент силы относительно оси z; γ – угол между вектором 0 М Р и осью z. Из определения следует, что z М Р как проекция вектора на ось есть величина алгебраическая. Знак z М Р определяется также, как знак проекции любого вектора. На рис. 2.48 z М Р > 0. Дадим другое выражение и определение для z М Р . Для этого проведем через произвольную точку 1 O оси z плоскость xy, перпендикулярную оси z, и спроецируем на эту плоскость треугольник О. 0 M P B Рис. 2.48 P xy A P O γ (xy) 1 B 1 A 1 O h z Так как вектор 0 М Р перпендикулярен плоскости ОАВ, а ось z перпендикулярна плоскости 1 1 1 O A B , то угол γ как угол между нормалями этих плоскостей является углом между этими плоскостями 46 1 1 1 2 2 O A B ОАВ S S cos γ = 0 М Р cos γ = z М Р Но в треугольнике 1 1 1 O A B сторона 1 1 A B – проекция силы Р на плоскость , xy xy P тогда две площади треугольника 1 1 1 1 2 , O A B xy O xy S P где 1 O xy M P – алгебраический момент силы xy P относительно центра 1 O . В результате 1 z O xy М Р M P или z xy М Р P h (2.2) Момент силы относительно оси z равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярной оси z, взятому относительно точки 1 O пересечения оси с этой плоскостью. Механический смысл этого момента в том, что он характеризует вращательный эффект силы Р, которая стремится повернуть тело вокруг оси. Частные случаи – если сила Р параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю – если линия действия силы пересекает ось, ее момент относительно оси равен нулю – если сила перпендикулярна оси z (лежит в плоскости перпендикулярной этой оси, то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы и осью, те. определяется выражением , z xy М Р P h P h Теорема Вариньона для моментов относительно оси. Если обе части векторного равенства (2.1) 0 ММ спроецировать на какую-либо ось z, проходящую через центр Ото согласно формуле (2.2) получим z z i М Q М P Таким образом, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно оси. Аналитические формулы моментов силы относительно осей координат. Разложим P на координатной осина , , x y z Р Р Р (точка Ас координатами (рис. 2.49)): 0, , x x x y y M P M P P z 47 , , , x z z y x x z z z M P P y M P P z M P P x 0, , 0, y y z x x z z z y y M P M P P y M P M P P x Окончательно , , , x z y y x z z y x M P P y P z M P P z P x M P P x P y 2 2 2 O x y z M P M P M P M P Вычисление главного вектора и главного момента системы сил. Qx, Qy, Qz – проекции главного вектора на координатные оси , , x y z M M M – проекции главного момента на координатные оси. По теореме о проекциях суммы векторов на ось x O i Мили согласно формуле (2.2) Аналогично , x ix Q P , y iy Q P , z iz Q P , x x i M M P , y y i M M P z z i M M P 2.8.2. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду Как показано ранее, любая система сил приводится в общем случае к главному вектору Q , приложенному в произвольной точке О (центр) и к паре с моментом, равным главному моменту 0 M . Определим, к какому виду можно привести пространственную систему сил, находящуюся в неравновесии. Результат зависит оттого, какое значение имеет и 0 M у этой системы сил. 1. Если Q = 0, а 0 M 0, то система сил приводится к паре сил, момент которой равен 0 M . Значит 0 M от выбора центра не зависит. 2. Если Q 0, а 0 M = 0, то система приводится к равнодействующей Q , линия действия которой проходит через центр О. 3. Если Q 0, 0 M 0, но 0 M перпендикулярно Q , то система приводится к равнодействующей Q , ноне проходящей через центр О. P y P x y z 0 x y z A Рис. 2.49 48 0 M заменим парой , Q Q Q Q Отбросив Q и Q как взаимно уравновешиваемые, получим, что система заменится одной равнодействующей но приложенной в центре 1 O . Расстояние 1 OO определяется по формуле 0 Qd M , 1 OO = d рис. 2.50). 0 M C Рис. 2.51 O Q O Q P P Рис. 2.52 Q Q Рис. 2.50 O 4. Если Q 0, M 0 и при этом Q параллельно M (рис. 2.51). Такая система приводится к совокупности силы Q и пары сил PP , лежащей в плоскости, перпендикулярной Q (рис. 2.52). Такая совокупность силы и пары сил называется динамическим вектором. Дальнейшее ее упрощение невозможно. 5. Если Q 0, M 0 и при этом векторы не перпендикулярны и не параллельны друг другу, то такая система тоже приводится к динамическому вектору, но ось винта не проходит через центр О. Разложим вектор 0 M на составляющие 1 M вдоль Q и 2 M перпендикулярно (рис. 2.53). В этом случае парусили силу Q заменяют парой Q Q . В результате данная система сил заменена Q , но приложена в центре 1 O . 2.8.3. Равновесие произвольной пространственной системы сил Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы Q = 0, 0 M = 0; Q = 0, 0 x y z Q Q Q ; 0 0, M тогда 0, x y z М М М 0, ix P 0, iy P 0; iz P (2.3) 0, x i M P 0, y i M P 0. z i M P (2.4) O Q Q Q 1 O 1 M 2 M 0 M α α Рис. 2.53 49 Уравнения (2.3), (2.4) являются необходимыми и достаточными условиями равновесия пространственной системы сил. Если на данную систему действует еще и пара сил, то первые три уравнения не изменятся, а уравнения моментов примут вид 0, x i x M P M 0, y i y M P M В случае параллельных сил (рис. 2.54) эти уравнения упрощаются 0, iy P 0, x i M P 0. z i M P 2.9. Центр тяжести 2.9.1. Центр тяжести параллельных сил На риса равнодействующая параллельных сил 1 P и 2 , P проходит через центр С. Положение точки С найдем с помощью теоремы Ва- риньона: 1 2 C C C M Q M P M P или 1 1 2 2 1 1 2 2 cos α cos α 0, P h P h P A P отсюда 1 1 2 2 P A C P A Рис. 2.55 С 1 P 1 P Q Q 2 P 2 P 1 A 2 A α 1 h 2 h a б С x y z O 1 A 1 C 2 A 1 P 2 P 3 P 3 A 2 C n A n P z C x C Q Q Если силы 1 P и 2 P повернуть на один и тот же угол, образуются новые пары, имеющие те же модули, и, следовательно, сохраняются линии их действия и Q пройдет через точку С. Точка С называется центром параллельных сил. 50 Рассмотрим систему параллельных сил на рис. 2.55, б Равнодействующая всех параллельных сил Q при всех поворотах (как на риса) будет проходить через точку С. Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и туже сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил. Координаты центра параллельных сил ММ М Аналогично 1 1 М z 1 1 , P P 1 1 , P P ...; 1 1 2 2 C N N i i Qz P z P z P z P Аналогично для других координат 1 , C i i z P z Q 1 , C i i y P y Q 1 C i i x P x Q |