кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
2.5. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия 2.5.1. Теорема о параллельном переносе сил Равнодействующая сходящейся системы сил находится с помощью закона параллелограмма. Для произвольной системы сил необходимо найти метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает теорема силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить из заданной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом парус моментом, равным моменту переносимой силы, относительно точки, куда сила переносится. Пусть на твердое тело действует сила , P приложенная в точке А. Действие силы P не изменяется, если в любой точке В твердого тела приложить две уравновешенные силы P P ириса. Полученная система трех сил представляет силу , P P но приложенную в другой точке В, и парусил с моментом B M M P Теорема доказана. Ее результат показан на рис. 2.28, б. B 2 P Рис. 2.27 A 1 P P I II d 2 P P 1 P 2 M 1 M M 32 Пример Дано на барабан 1 (рис. 2.29) намотаны две нити, к концу которых приложены силы P и P ; P P На барабан 2 того же радиуса намотана одна нить, к которой приложена сила 2 . P Показать, чем будут отличаться действия этих сил. B Риса б P 2P 1 2 P 2P 2P Риса б На барабан 1 действует пара сил счисленным значением М = Р. Для барабана силу 2P можно заменить силой 2 , P приложенной к центру, и парой сил 2 , P 2 P В результате на барабан 1 действует только момент пары сил стем же значением 2 , M P r а на барабан 2 – пара сил стем же значением момента и сила 2 , P оказывающая давление на ось. Ось барабана 1 не испытывает давления (она разгружена. Вращаться оба барабана будут одинаково. 2.5.2. Приведение системы сил к данному центру Одной из основных задач статики, а следовательно, и ее применения в динамике, является приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Здесь используется общепринятый метод Пуансо приведения системы сил к одной силе и одной паре сил. Этот метод основан на свойствах пар сил и операциях их сложения или разложения. Решим задачу о замене произвольной системы сил более простой, эквивалентной ей, те. состоящей из одной силы и момента (как будет видно далее. К телу приложена система сил 1 2 , , ..., n P P P Выберем точку О центром приведения. Согласно теореме о переносе сил, перенесем все силы в точку О, тогда на тело будет действовать система сил 1 2 , , ..., , n P P P приложенная к центру О, и система пар моментов 1 0 1 , M M P 2 0 2 , M M P Сходящая система сил, приложенная в точке О, заменяется одной силой где Q – геометрическая длина всех сил – главный вектор. 33 Чтобы сложить пары сил, надо сложить векторы моментов этих пар 0 0 1 , n i i M M где 0 M – геометрическая сумма моментов всех сил относительно центра О – главный момент (рис. 2.30, б. Риса б Таким образом доказали теорему о приведении системы сил любая система сил, действующая на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой , Q равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения, и одной парой с моментом, равным главному моменту системы сил относительно центра О. Сила Q здесь не является равнодействующей системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с моментом. Частные случаи если для данной системы сил Q = 0, 0 M ≠ 0, то она приводится к паре сил моментом 0 M , в этом случае 0 M не зависит от выбора центра О если же Q ≠ 0, 0 M = 0, то система приводится к одной силе, тек равнодействующей равной Q и приложенной в центре О. Если бы 0 M в этом случае зависело от выбора центра Ото система имела бы равные действия. 2.5.3. Условия равновесия системы сил. Теорема о моменте равнодействующей Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, те. выполнялось условие 34 Q = 0, 0 M = 0. При Q = 0 0 M от выбора центра не зависит. Условие Q = 0, 0 M = 0 является необходимыми достаточным, так как при Q ≠ 0 или 0 M ≠ 0 указанная система сил неуравновешенная. Докажем теорему Вариньона (пользуясь полученным результатом если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра. Пусть система сил 1 2 , , ..., n P P P приводится к равнодействующей Q , линия действия которой проходит через точку С (рис. 2.31). Приложим в этой точке силу Q Q , тогда система сил 1 2 , , ..., n P P P будет находиться в равновесии, и для нее 0 M = 0. Значит, 0 0 0, i M P M Q Q Q направлены вдоль одной прямой и 0 0 M Q M Q Следовательно, 0 0 1 n i i M Q M P (см. (2.1)). Теорема доказана. Ею очень удобно пользоваться для вычисления моментов. Плоская система сил 2.6.1. Алгебраические моменты силы и пар Введем некоторые понятия для рассмотрения плоской системы сил. Алгебраический момент силы относительно центра. Когда все силы лежат водной плоскости и их моменты относительно любого центра О, находящегося в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, те. направлены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике, направления этих моментов можно различить по знаку и рассматривать моменты силы P относительно центра О как алгебраическую величину. Будем такой момент обозначать 0 M P z Q Q x C y n P 2 P 1 P 0 Рис. 2.31 35 Алгебраический момент силы P относительно центра О равен произведению модуля силы, взятого с соответствующим знаком на его плечо 0 M P = = ±Ph рис. 2.32); 0 2 2 2 ; M P P h 0 1 1 1 M P P Пример. На рис. 2.33 представлена плоская рама. В узлах Аи В приложены силы 1 P и 2 P Найти моменты сил 1 2 , P P относительно точки А АВ = а, А = b, sin α, h a 2 2 sin α, A М P P где 1 P разложим на две составляющие 1 P и 1 P C Риса б Рис. 2.34 Согласно теореме Вариньона 1 1 1 , A A A М P М P М P 1 ММ Можно определить М через моменты сил 2 P и 2 P Алгебраический момент пары. Так как момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то для пар, лежащих водной плоскости, момент пары тоже можно рассматривать какал- гебраическую величину и условно называть ее алгебраическим моментом М, при этом М равен произведению модуля силы, взятой с соответствующим знаком, на плечо пары M P Рис. 2.32 1 h 2 h 0 36 Знак для пары сил 1 P , 1 P , 1 1 1 , M P d 2 2 2 M P d (риса) зависит от направления ее действия, и на расчетных схемах ее изображают дуговой стрелкой, показывающей направление (рис. 2.34, б. 2.6.2. Приведение плоской системы сил к простейшему виду Результат, полученный в 2.5.2, справедлив ив частном случае для плоской системы сил. Плоская система сил тоже приводится к силе , Q приложенной в произвольно выбранном центре О и паре с моментом 0 M , носила и пара лежат в данном случаев одной плоскости (риса. Значения главного вектора Q и главного момента 0 M определяются по формулам, указанным в 2.6.1, и Q может быть определен геометрически (силовой многоугольник) или аналитически. Таким образом, 0 0 , , x ix y iy i Q P Q P М М P Все моменты и сумма здесь алгебраические. Покажем, к какому простейшему виду может быть приведена плоская система сил. Если для данной системы сила, то она приводится код- ной паре с моментом 0 M . Значения 0 M в этом случае (как было показано ранее) не зависит от выбора центра О. Если для данной системы сил Q ≠ 0, то она приводится к одной силе, тек равнодействующей. При этом может быть два случая 1) Q ≠ 0, 0 M = 0 – система приводится к равнодействующей Q , проходящей через О 2) Q ≠ 0, 0 M ≠ 0 – система приводится к равнодействующей Q = Q , приложенной в точке С. Положение точки С определяется двумя условиями а) ОС = d ( OC перпендикулярно Q ) должна удовлетворять условию Qd = 0 M ; б) знак момента относительно центра О силы Q , приложенной в точке Ст. е. знак 0 M ( Q ) должен совпадать со знаком 0 M . В данном случае пара сил с моментом 0 M изображена силами Q , Q (рис. 2.35, б, Q = Q , Q = – Q , где d – плечо пары и, соответственно, Qd = 0 M 0 M O Q Q Q Q O С d Риса б 37 Пример. Привести систему сил, действующую на арку (риск центру О, а затем данную систему сил привести к простейшей (Р = 30 Нам м α = 60º). O 1 P 3 P 2 P P α α y x а b c Рис. 2.36 Решение. 1 2 3 cos α cos α , x ix Q P P P P 1 sin α y iy Q P P P 2 sin α, P 0 0 1 2 3 cosα 2 sin α i M M P bP aP bP aP Подставим значениям H · м. Таким образом, система приведена к Q с проекциями x Q и y Q , приложенными в центре О, и паре сил с 0 M . В результате решения, как было показано ранее, система сил приведена к силе Q , приложенной в точке О, и паре сил с моментом м. Представим пару силами Q и Q , как показано на рис. 2.37, Q = Q , Q = Q Силу приложим точке О, а Q – к точке С, причем ОС = d = 0 M = 0.23 м. Отбрасывая силы Q и Q , найдем, что данная система приводится к равнодействующей силе Q = Q , линия действия приводит на расстоянием от точки О (координаты точки См м. O Q Q Q С d Рис. 2.37 x y β 38 2.6.3. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил определяются равенствами Q = 0, 0 M = 0. Основная форма равновесия Q = 0, когда x Q = 0, y Q = 0: Следовательно, 0 где 0 – произвольная точка в плоскости действия сил. Отсюда для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия силы, были равны нулю. Это аналитические условия равновесия. Вторая форма равновесия для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь центров Аи В и сумма их проекций на ось x, не перпендикулярную прямой АВ, были равны 0: Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или Q ≠ 0, или A M ≠ 0 ( B M ≠ 0) и равновесия не будет. Достаточность тоже очевидна, поскольку ix P = 0, только если Q = 0 (ось О не перпендикулярна АВ). Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов. Для произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно трех центров, не лежащих на одной прямой, были равны нулю Необходимость этих условий очевидна. Достаточность заключается в том, что если бы система не находилась в равновесии, то она сводилась бык равнодействующей, которая должна пройти через эти три точки, что невозможно, поскольку они лежат на одной прямой. 39 Таким образом, во всех случаях получается три условия равновесия. Условие считается основным, так как никаких ограничений не накладывается на выбор координатных осей и центра моментов. Равновесие плоской системы параллельных сил. В этом случае одну из осей (например, ось О) можно направить перпендикулярно силам, а другую ось (О) – параллельно им. Тогда останется всего два условия равновесия (рис. 2.38): 0 И другая форма Точки Аи Вне должны лежать на одной прямой, параллельной силам. 2.6.4. Равновесие системы тел Статический расчет конструкций во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия системы тел, соединенных какими-нибудь связями. Если после отбрасывания связей тело остается жестким, то для него задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела. Однако есть конструкции, которые после отбрасывания связей не остаются жесткими. На основании принципа отвердевания система сил, воздействующих на такую конструкцию, должна удовлетворять условиям равновесия, но этого недостаточно. Для решения задачи необходимо рассмотреть дополнительное условие, те. конструкция разбивается на части и рассматриваются условия равновесия каждой части конструкции. Пример. На рис. 2.39 кронштейн состоит из горизонтального бруса AD массой 2 P , прикрепленного к стене шарниром и подкоса CB весом 1 P , который также соединен с брусом AD и со стеной шарниром. К концу D бруса прикреплен груз массой 3 P . Определить реакции опор шарниров) АС. Составим уравнение равновесия всего кронштейна 2 5 1 4 1 2 3 0, 0, ix iy P R R P R R P P P 5 4 2 1 3 4 2 4 0. A i M P R a R a P a P a R a 1 P 3 P 2 P y x Рис. 2.38 n P 40 С Рис. 2.39 x 1 P 2 P A B 2 R 1 R 3a a б A B D 1 R 3 R 4 R 2 R 3 P 2 P y Полученные три уравнения содержат четыре неизвестных. Составим дополнительное уравнение равновесия бруса AD (рис. 2.39, б 1 2 3 0 3 0. B i M P R a P a P a Решая полученные уравнения совместно, определим реакцию опор. Если число неизвестных реакций опор больше числа уравнений, которые можно составить, то задача считается статически неопределимой. Такие задачи рассматриваются далее. 2.7. Трение 2.7.1. Законы трения скольжения При движении одного тела по поверхности другого возникает сила их сопротивления скольжению, называемая силой трения скольжения. Законы трения скольжения 1. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости их соприкосновения возникает сила трения, которая может принимать любые значения от 0 до значения пр называемая предельной силой трения. Сила направлена в сторону, противоположную силам, которые стремятся сдвинуть тело. 2. Предельная сила трения пр N где 0 f – статический коэффициент трения, величина безразмерная N – нормальное давление. 3. Значение пр не зависит (в довольно широких пределах) от сопротивления поверхностей. Из первых двух законов пр или 0 F f N 41 Сила трения будет равна предельной силе трения лишь тогда, когда действующая на тело сила достигает такого значения, что при малейшем ее увеличении тело начинает двигаться (скользить. Равновесие, когда сила трения равна предельной силе трения, называется предельным равновесием. Статический коэффициент трения 0 f для некоторых материалов дерево – 0.4…0.7, металл – 0.15…0.25, сталь по льду – 0.027. Все это относится к трению скольжения в покое. При движении сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и 0 , F f N где 0 , f динамический коэффициент трения, определяется сложным путем, поскольку зависит не только от материала и состояния поверхностей, но и от скорости движения тел. В большинстве случаев 0 f сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение. |