кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
5. МЕТОД СИЛ ПРИ РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ Для определения лишних связей (реакций опор) при решении статически неопределимых систем методом сил составляются дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных. Эти уравнения удобно составлять в так называемой канонической форме, те. по определенной закономерности. Вначале рассмотрим систему, один раз статически неопределимую риса. В качестве лишней связи выберем шарнирно-подвижную опору В. Тогда, нагрузив основную систему заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой 1 x (рис. 5.1, б, нужно приравнять нулю полное перемещение точки В основной системы по направлению 1 x : 1 1 1 1 0. P x (5.1) Для вычисления 1 применим принцип независимости действия сил 1 1 11 , P где 1P – перемещение от заданной нагрузки (рис. 5.1, в 11 – перемещение от силы 1 x . 73 P 1 x A B l l/2 а г 5l/6 Pl/2 С y M A P B б две 1 y M 1 yc M 0 yc M 1 С Рис. 5.1 а б 1 P 2 P A B q q 1 P 2 P 1 x 2 x B Рис. 5.2 Если 11 δ – перемещение по направлению 1 x от силы 1 x = 1 (рис. 5.1, д, то 11 11 1 δ x и уравнение (5.1) примет вид 11 1 1 δ 0. P x (5.2) Это каноническая форма уравнения перемещений для единожды статически неопределимой системы. Из (5.2): 1 1 11 δ . P x Для системы с двумя лишними связями, как, например, на рис. 5.2, a, дополнительные уравнения перемещений сечения А основной системы (рис. 5.2, б) имеют вид 1 0, 2 0, где 1 1 1 2 , , P x x – полное перемещение точки А по направлению 1 x от заданной нагрузки и лишних неизвестных усилий 1 2 , x x ; 2 2 1 2 , , P x x – полное перемещение точки А по направлению 2 x от указанных нагрузок. Исходя из принципа независимости действия сил, запишем перемещения в виде сумм перемещений, вызванных отдельно каждой из неизвестных сил 1 2 , x x и заданной нагрузкой Р. Использовав введенные ранее обозначения перемещений, найдем, что 1 11 12 1 2 21 22 2 0, 0. P P (5.3) Полное перемещение ik можно записать как произведение удельного перемещения δ ik , вызванного действием единичной силы, на величину соответствующей обобщенной силы 11 11 1 12 12 2 δ , δ , δ ik ik k x x x 74 Таким образом, выражения (5.3) принимают вид 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 δ δ 0; δ δ 0. P P x x x x Это каноническая форма уравнений перемещений для системы, дважды статически неопределимой. По аналогии можно записать в канонической форме уравнения перемещений для любой n раз статически неопределимой системы 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 δ δ δ 0; δ δ δ 0; δ δ δ 0. n n P n n P n n nn n np x x x x x x x x x (5.4) Перемещения Δ ip и Δ ik , входящие в канонические уравнения, чаще всего определяют по методу Максвелла–Мора (уравнения (4.4)). При этом для балок и рам влиянием перерезывающих и нормальных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты. Однако определяя перемещения в балках прямоугольного поперечного сечения, для которых отношение высоты сечения к длине пролета h/L ≥ 1/5, перерезывающие силы следует учитывать обязательно. При расчете статически неопределимых рам с большими значениями указанного отношения (h/L > 1/5) ошибка, вызванная неучетом нормальных и пе- ререзывающих сил, становится существенной, особенно для высокой рамы. Следует иметь ввиду, что в реальных балочных, рамных и арочных конструкциях отношение h/L обычно меньше 1/10. Поэтому при определении перемещений в общей формуле Мора вполне допустимо сохранить лишь изгибающие моменты. Для определения перемещений строим эпюры изгибающих моментов в основной системе отдельно от заданной нагрузки (состояние Р) и от каждой единичной силы 1 x = 1 (состояние 1); 2 x = 1 (состояние 2); …; n x = 1 состояние. Ординаты соответствующих эпюров обозначим, как обычно, через yp M , 1 y M , 2 y M , …, Тогда на основании (4.4) найдем 1 1 , yp y P y L M M dx EJ 2 2 , yp y P y L M M dx EJ yp yn nP y L M M dx EJ 75 Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы и называемые главными коэффициентами канонических уравнений, определяют следующим образом 1 1 11 δ , y y y L M M dx EJ 2 Эти перемещения положительны. Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индексы и называемые побочными коэффициентами, определяют по формулам 1 2 12 δ , y y y L M M dx EJ 1 Они могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть и влияние температуры, порядок расчета остается прежним. Свободные члены канонических уравнений (5.4) при этом представляют собой перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок, но и от изменения температуры 11 1 12 2 1 1 1 1 1 2 2 δ δ δ ; δ δ δ , n n P T n n nn n nP nT x x x x x x (5.5) где iT – перемещения в основной системе по направлению силы i X , вызванное изменением температуры. Определив коэффициенты δ ik и четыре свободных члена iP и iT из системы линейных уравнений (5.5) находим значения лишних неизвестных усилий 1 2 , , ..., n x x x . Далее обычным способом строим эпюры внутренних усилий N, Q, y M в элементах системы. Иногда строить эпюры удобно методом сложения эпюров Мура с эпюрами 1 2 , , ..., y y yn M M M , предварительно умноженными назначения Следует отметить, что буквенный вид канонических уравнений остается неизменным при любом возможном варианте основной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геометрический смысл перемещений. 76 Например, при выборе в качестве лишних неизвестных внутренних сил в ка- ких-либо сечениях коэффициенты в канонических уравнениях представляют собой соответствующие взаимные перемещения сечений по направлению лишних неизвестных усилий. На рис. 5.3 показана трижды статически неопределимая плоская рама рис. 5.3, a) и два варианта основной системы (рис. 5.3, б, в. Для любой трижды статически неопределимой системы канонические уравнения имеют вид 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 δ δ δ 0; δ δ δ 0; δ δ δ 0. p p p x x x x x x x x x (5.6) При выборе основной системы по первому варианту (рис. 5.3, б) система уравнений (5.6) выражает требование равенства нулю перемещений сечения А по направлениям 1 2 3 , , x x x 1 x P A h P l B а P P 2 x A 3 x б P P 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x в Рис. 5.3 Второй вариант основной системы (рис. 5.3, в) образован разрезом ригеля. Так как в плоской системе в сечениях действуют три силовых фактора нормальная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент, ток сторонам разреза следует приложить в качестве лишних неизвестных указанные силовые факторы 1 2 3 , , , x x x выражающие взаимное действие обеих частей системы друг на друга в данном сечении. При таком выборе основной системы уравнения (5.6) выражают равенство нулю полных взаимных перемещений сторон разреза по направлениям лишних неизвестных. Третье уравнение системы (5.6) означает равенство нулю перемещения по направлению 3 , x т. e. взаимного угла поворота сторон разреза под действием заданной нагрузки и лишних неизвестных усилий. 77 Приняв в качестве лишних неизвестных внутренние усилия, во многих случаях можно значительно упростить расчет. Например, если исходная система симметрична (по конфигурации и расположению жесткостей), то основную систему выгодно строить также симметричной, приняв при этом, что некоторые побочные коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю. Так, при расчете симметричной рамы (рис. 5.3, a) основную систему целесообразно получить разрезом горизонтального стержня (ригеля) посередине (рис. 5.4, a). При этом основная система будет также симметричной. Тогда в числе лишних неизвестных будем иметь симметричные усилия 1 3 , x x и кососимметричные усилия 2 x Эпюры изгибающих моментов от усилий 1 x = 1, 2 x = 1 и 3 x = 1 показаны на рис. 5.4, б–г. Следует заметить, что эпюры 1 y M и 3 y M симметричны, а эпюр 2 y M кососимметричен. Перемножение симметричного эпюра на ко- сосимметричный дает в результате нуль. Определим перемещение 12 21 δ δ . Пользуясь способом Верещагина, получим 3 y M 1 1 1 1 а б в г Рис. 5.4 Аналогично 23 Таким образом, система уравнений (5.6) упрощается и примет вид 11 1 13 3 1 22 2 2 31 1 33 3 3 δ δ 0; δ 0; δ δ 0. p p p x x x x x (5.7) 78 Если при этом заданная нагрузка Р кососимметрична (риса, то эпюр ур М также кососимметричен (риса) и перемещение 1 3 0. p p Тогда из первого и третьего уравнений (5.7) следует, что симметричные усилия вместе разреза равны нулю 1 Следует отметить, что когда нагрузка симметрична, то эпюр ур М также симметричен и 2 0. p Тогда из второго уравнения (5.7) следует, что косо- симметричное усилие 2 0. x Как было показано ранее, коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений представляют собой перемещения в основной системе от действия единичных неизвестных сил и от приложенной нагрузки. Они определяются перемножением эпюров изгибающих моментов. При перемножении эпюров (использование метода Верещагина) могут быть допущены ошибки, что может дать значительные погрешности в определении перемещений. При этом результат решения канонических уравнений будет неверным. Для оценки ошибки необходимо проводить проверку полученных коэффициентов системы канонических уравнений. Построчная проверка – загрузим основную систему одновременно всеми лишними неизвестными, равными единице, и построим отних в основной системе эпюр изгибающих моментов. Его ординаты обозначим через ys M . Тогда для каждого сечения системы имеем 1 2 ; y y y yn M M M M – умножим суммарный эпюр на каждый из единичных эпюров поочередно. При этом получим суммарные значения коэффициентов при неизвестных, входящих в каждое из уравнений системы канонических уравнений 1 1 11 12 13 1 1 δ δ δ δ δ δ , n s i n i 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 δ ; s y y y y y yn y y y L L L y y y yn y ys y y L L dx dx dx M M M M M M EJ EJ EJ dx dx M M M M M M EJ EJ 2 21 22 23 2 2 δ δ δ δ δ ; s n y ys y L dx M M EJ 79 1 2 3 δ δ δ δ δ , ns n n n nn yn ys y L dx M M EJ где 1 2 3 δ , δ , δ , ..., δ s s s ns – сумма коэффициентов в строке. Проверка вычисленных коэффициентов (перемещений, входящих в первое каноническое уравнение, состоит в сопоставлении их суммы свели- чиной 1 δ s , те. для каждой й строки 1 δ δ Для универсальной проверки составим сумму коэффициентов канонического уравнения 1 2 3 δ , δ , δ , ..., δ s s s ns : 1 2 3 1 δ δ δ δ δ δ , n is s s s ns i так как 1 1 δ , s y ys y L dx M M EJ 2 то 1 2 1 1 2 δ δ δ Значит, δ δ Собственно универсальная проверка состоит в следующем 1. Алгебраическим сложением определяется сумма всех найденных коэффициентов (единичных перемещений, входящих в систему канонических уравнений 11 22 33 12 13 2 1, 1 δ δ δ δ δ δ 2 δ δ δ δ n is nn n n n i 80 Вычисляется 2 δ ss ys y L dx M EJ (умножением эпюра ys M на ys M ). 2. Проверяется выполнение условия δ δ Для отыскания ошибок в определении коэффициентов пользуются неравенством Для проверки коэффициентов канонических уравнений от нагрузки поступают следующим образом – вычисляют sp ys yp y L dx M M EJ , где yp M – изгибающий момент от заданной нагрузки в основной системе – проверяют выполнение условия 1 2 1 n ip p p np sp i Для оценки погрешности расчета можно ограничиться универсальной проверкой. Для определения ошибки при вычислении коэффициентов рекомендуется проводить построчную проверку. Приведенные формулы и рассуждения рассмотрены на примерах стержневых систем, испытывающих деформацию изгиба, однако все полученные математические зависимости справедливы для систем любого вида. Различие заключается лишь в форме выражений для вычисления коэффициентов (5.4). 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ. ФОРМУЛА ЭЦЛЕРА Равновесие (а также движение) любой механической системы может быть устойчивым, безразличными неустойчивым. Эти состояния часто иллюстрируют весьма наглядным примером поведения шара, находящегося во впадине, на гребне или на плоскости (рис. 6.1). В первом случае (риса) равновесие устойчиво если сместить шар в сторону и предоставить его самому себе, то он возвращается в первоначальное, равновесное положение. Во втором случае (рис. 6.1, б) равновесие неустойчиво достаточно незначительного, легкого толчка, колебания воздуха, одностороннего нагревания и т. д, чтобы шар пришел в движение. Третье положение (рис. 6.1, в) безразличное положение шара после смещения не отличается от начального. 81 а б в г Рис. 6.1 Исследуя равновесие сложных систем, например оболочек, различают устойчивое состояние в большом и малом, связанное с величиной возможных отклонений от равновесного состояния, при которых система возвращается в первоначальное положение. Расположение шара в небольшой выемке на гребне представляет собой пример устойчивости в малом (рис. 6.1, г. В этом случаев исходное положение шар возвращается только при достаточно малых смещениях. Устойчивое положение равновесия системы определяется следующим признаком Лагранжа–Дирихле: консервативная система находится в состоянии устойчивого равновесия, если ее потенциальная энергия имеет минимальное значение. В приведенном примере равновесия шара выполнение этого признака очевидно расположение его в выемке на поверхности, являющейся связью, соответствует минимальному значению потенциальной энергии. Доказательство признака Лагранжа–Дирихле следует искать в курсах аналитической механики. Равновесное состояние деформируемой системы также может быть устойчивым, безразличными неустойчивым. Классическим примером таких состояний служит поведение центрально сжатого стержня (рис. 6.2). Пока сила невелика, прямолинейная форма равновесия стержня устойчива. Если, прикладывая небольшую поперечную силу, немного сместить его свободный конец в горизонтальном направлении, те. изогнуть стержень, а затем устранить причину, вызвавшую изгиб, то он немедленно примет первоначальную прямолинейную форму (на рис. 6.3 показано пунктирной стрелкой. По мере увеличения силы Р стержень будет все медленнее принимать прямолинейную форму после снятия поперечной нагрузки. При некотором значении Р = Р кр его первоначальная форма вовсе не восстанавливается, стержень остается изогнутым. Его можно краб в кр P P кр P P Рис. 6.2 82 P P P а б Рис. 6.3 вернуть в состояние прямолинейного равновесия, осторожно выправляя незначительно искривить в обратном направлении, снова выпрямить и т. д. Таким образом, если Р = Р кр , то для сжатого стержня возможно множество форм равновесия – прямолинейная и любые достаточно мало изогнутые. Это соответствует понятию безразличного равновесия. Впервые сила Р кр была вычислена Эйлером, поэтому ее обычно называют эйлеровой силой. Критической, или эйлеровой, силой называется сила, при которой возможно наличие нескольких форм равновесия, те. сила, соответствующая безразличному равновесию стержня или системы стержней. Когда сила Р становится больше силы Р кр , прямолинейная форма стержня становится крайне неустойчивой. Легкий толчок, сотрясение основания, небольшой эксцентриситет приложения силы приводят к нарушению прямолинейности его оси стержень теряет устойчивость, прогибы его быстро возрастают, что вызывает увеличение напряжений в материале ив конечном счете приводит к разрушению. Все описанные этапы равновесия можно проследить, сжимая тонкую линейку вдоль оси. Рассматриваемое явление характерно не только для сжатия, оно наблюдается и при других видах деформации стержней, пластин и оболочек. Возможно выпучивание из плоскости нагружения изогнутого стержня, имеющего малую жесткость в направлении, перпендикулярном действию сил (рис. 6.3, б. Смещение сжатых частей стержня при этом больше смещения растянутых сечения поворачиваются вокруг продольной оси, происходит закручивание стержня. Потеря плоской формы равновесия возможна в случаях изгиба криволинейных стержней (например, арок, радиального сжатия тонких колец, растяжения тонкостенных сечений и т. д. 83 Характерным является несоответствие формы, которую получает стержень после нарушения устойчивости, формам, соответствующим приложенным силам. Сила сжимает стержень, а ось его искривляется, как при изгибе силы изгибают стержень – он закручивается силы сжимают кольцо в радиальном направлении – ось его принимает пространственную форму, и т. д. Нарушение устойчивости рассмотренного вида называют потерей устойчивости первого рода. Таким образом, причиной разрушения может служить не только превышение в материале предела прочности, но и изменение формы равновесия в некотором элементе системы. Известно множество случаев разрушения сооружений в результате выхода из строя отдельных стержней из-за потери устойчивости равновесной формы. Следовательно, помимо проверки прочности стержней и стержневых систем необходимо производить проверку их на устойчивость. Значения сил, соответствующие устойчивому равновесию системы, ограничены сверху силой Р кр , приводящей к состоянию безразличного равновесия. Вычисление критических сил – основная задача расчетов на устойчивость. После их нахождения устанавливаются значения критических напряжений кр. В случае сжатия кр кр σ P F Делением кр на коэффициент запаса устойчивости m получают допускаемые напряжения уст кр σ σ m По условию устойчивости требуется, чтобы действительные напряжения не превосходили допускаемых уст Разрушение систем вследствие потери устойчивости происходит внезапно при небольших превышениях силами Р критических сил Р кр в результате влияния внешних причин, трудно поддающихся учету. Поэтому проверка на устойчивость имеет огромное значение и должна производиться с большой тщательностью. Формула Эйлера Первое решение задачи устойчивости принадлежит Эйлеру, который нашел значение критической силы для центрально сжатой стойки. Ф. С. Ясинский, опираясь на решение Эйлера и некоторые экспериментальные исследования, обосновал технический расчет сжатых стержней, которому и следуют в настоящее время. Пусть шарнирно опертый стержень АВ (рис. 6.4) центрально сжат силами Р внешней и реакцией неподвижной опоры. Отнесем его к координатной системе xyz и, предположив, что наряду с прямолинейной формой равновесия возможна некоторая искривленная форма, составим дифференциальное уравнение оси в изогнутом состоянии. Так как изгибающий момент в сечениях ω, y M P 2 2 , z y z d u EJ Pu dx где Е – модуль упругости материала стержня y J – наименьший момент инерции поперечного сечения (наиболее вероятна потеря устойчивости в плоскости наименьшей жесткости. z u x y z P A B l P Рис. 6.4 Обозначив 2 , y k P EJ (6.1) перепишем дифференциальное уравнение для прогиба в виде 2 2 2 0. z z d u k Решение его имеет форму sin cos z u A kx B kx (6.2) Значения постоянных Аи В определяются условиями закрепления стержня. По шарнирному прикреплению концов стержня к опорам должно быть 0 z u при х = 0, 0 z u при х = l. На основании первого условия В = 0. По второму условию sin 0. A kl (6.3) 85 Это равенство выполняется, если А = 0. Тогда прогиб равен нулю в любом месте стержня искривленное состояние невозможно. Предположение А = 0 означает устойчивое равновесие стержня. Равенство (6.3) выполняется также, если 0 kl , π, 2π, … . Первое из этих значений k = 0 нужно исключить, так как оно по (6.1) приводит к силе Р = 0, что соответствует ненагруженному стержню. Все остальные значения одинаково годны и могут быть приняты за решения. Приложив π ( 1, 2, ..., ), k n l n на основании (6.1) получим бесчисленное множество сил Р, соответствующих безразличному состоянию стержня 2 min 2 ( Практический смысл имеет только наименьшая из этих сил ( 1) n , так как превышение ее приводит к неустойчивому равновесию. Она и является критической, или эйлеровой, силой для стержня, шарнирно прикрепленного к опорам 2 min кр 2 π EJ P l Если закрепление концов стержня иное, определение значения k должно быть повторено. Возможны четыре основных случая закрепления концов стержня стержень с одним свободными другим жесткозакрепленным концами, стержень с двумя шарнирными прикреплениями к опорам (этот случай уже рассмотрен, стержень с шарнирно и жесткозакрепленными концами, стержень с двумя концами, жесткозакрепленными в опорах (рис. 6.5, а–г соответственно. z u z Рис. 6.5 P L M x x x x l l l z u z u z z z P P P M M Q Q Q Q M г в б а 86 Для стержня со свободным верхним концом и жесткозакрепленным в опоре нижним уравнение оси в изогнутом состоянии имеет прежнюю форму (6.2). Различие с рассмотренным случаем заключается в граничных условиях. При расположении координатных осей, указанных на чертеже (смещенное положение по отношению коси стержня, 0 z u при х = 0, θ 0 z du dx при х = l. По первому условию постоянная В = 0, по второму cos 0. Ak kl Отбрасывая ненужные для решения корни этого равенства Аи, имеем kl = 0.5(2n + 1) π (n = 0, 1, 2, …), и значит, 2 min 2 Критическая сила соответствует меньшему значению n = 0: 2 min кр 2 π 4 EJ P l При закреплении стойки по схеме на рис. 6.5, в, когда одна из опор шарнирная, а другая заделана, необходимо учитывать поперечную составляющую опорной реакции, препятствующую смещению шарнирного конца в горизонтальном направлении. Изгибающий момент в сечениях стойки поэтому имеет значение , y z M Pu Qx дифференциальное уравнение изгиба 2 2 , z y z d u EJ Pu Qx dx и его интеграл sin где последний член правой части представляет собой частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения. По условиям закрепления при x = 0 прогиб 0, z u и отсюда В = 0. В нижнем сечении при x = l прогиб 0, z u и угол поворота θ = 0. Это приводит к двум равенствам, служащим для определения значений k и силы Q: Исключая отсюда отношения Q к P, имеем tg kl = kl. Наименьший отличительный от нуля корень этого уравнения равен 4.4934, поэтому критическая сила 87 2 min min кр 2 π 20.1906 В последнем случае закрепления стойки на каждом конце ее возможно возникновение реакции в составе поперечной силы Q, препятствующей горизонтальному смещению опоры, и момента М, исключающего поворот опорного сечения. В результате дифференциальное уравнение изгиба приобретает вид 2 2 , z y z d Ми после его интегрирования прогиб представляется равенством ω sin cos Q М A kx B kx x P Р На основании граничных условий 0 z u и θ = 0 при ха также 0 z u и θ = 0 при х = l имеем четыре равенства 0, M B P sin cos 0, Q М A kl B kl l P Р 0, Q Ak P cos Два из них служат для определения силы и момента М – , – M PB После замены Q и М этими значениями третье и четвертое уравнения приобретают вид где Аи В ≠ 0; в противном случае ω ≡ 0. Система однородных уравнений имеет решение, отличное от нуля, если определитель, составленный из ее коэффициентов, обращается в нуль. В нашем случае должно быть sin cos 1 cos 1 sin kl kl kl kl kl = 0. Раскрывая определитель, после некоторых преобразований получаем равенство, или sin tg 0. 2 Отсюда следует, что имеются две группы корней первая соответствует случаю, когда sin 0, 2 kl – это приводит к значениями, как нетрудно видеть по исходным уравнениям, к значению постоянной А = 0, а следовательно, и Q = 0; вторая группа соответствует равенству нулю выражения в скобках tg 0. 2 Наименьший отличный от нуля корень первой группы (n = 1) kl = 2π, а второй – kl = 2…4.4934 > 2π. Таким образом, критическая сила в рассматриваемом случае сжатия стержня 2 min кр Структура формул для критических сил при сжатии стержней с разными опорными закреплениями одинакова, поэтому их можно записать в виде одной общей формулы 2 min кр) где β – коэффициент длины, значение которого определяется характером опор стержня для стойки со свободным концом β = 2, для стойки с шарнирными концами β= 1, для стойки с одним шарнирными другим заделанным концами β = 0.7, для стойки с заделанными концами β = 0.5. Произведение βl названо Ясинским приведенной длиной стержня. Как следует из выражений для прогибов z u , ось стойки после изгиба представляет собой часть дуги синусоиды или косинусоиды. Это справедливо только для малых отклонений от положения равновесия. Установление форм осей стоек после потери устойчивости при больших деформациях требует решения дифференциальных уравнений продольного изгиба, соответствующих конечным перемещениям. 89 Критические напряжения. Напряжения, соответствующие критической силе, кр кр σ , Р F были названы критическими напряжениями. Подставляя сюда значение Р кр по формуле Эйлера (6.4) , получаем 2 min кр 2 π σ , β EJ l F или после замены отношения min J к квадратом радиуса инерции 2 min i : кр Отсюда следует, что критические напряжения для стержней обратно пропорциональны квадрату отношения приведенной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Назовем отношение min β λ l i приведенной гибкостью стержня. Тогда окончательно кр) Графическая зависимость между напряжениями кр и гибкостью представляется гиперболой, получившей название гиперболы Эйлера (рис. 6.6). В силу обратной пропорциональности критических напряжений квадрату приведенной гибкости увеличение последней приводит к уменьшению кр Приуменьшении гибкости до нуля напряжения кр растут до бесконечности, что, однако, не соответствует физической стороне явления. Объяснить это несоответствие просто. В основу вывода выражений для критических сил по Эйлеру было положено дифференциальное уравнение изгиба, соответствующее упругой стадии деформации. Следовательно, полученные формулы применимы только для материалов, для которых справедлив закон Гука, и только тогда, когда напряжение в них меньше предела пропорциональности. Формула (6.5) дает правильные значения критических напряжений, если кр пили после подстановки значения кр в (6.5), п кр т σ п σ λ п кр λ Рис. 6.6 90 Сохраняя здесь только знак равенства, находим значение гибкости * λ , начиная с которого можно для вычисления применять формулу Эйлера * п λ π σ Е Например, для углеродистой стали п = 2000 кг/см 2 и Е ≈ 2 · 10 6 кг/см 2 , поэтому * λ ≈ 100. Итак, вычисление критических напряжений по формуле (6.5) возможно только для стоек с большой гибкостью, когда * λ λ . Опытным путем установлено, что стержень с малой гибкостью 0 λ λ , где 0 λ = 30…40, не теряет устойчивости. Разрушение таких коротких стержней происходит либо в результате перехода материала в пластическую стадию деформирования либо для хрупких материалов в результате образования трещин. Поэтому критическими напряжениями в первом случае нужно считать предел текучести, а во втором – временное сопротивление при сжатии. На рис. 6.6 это выражается прямой линией, параллельной горизонтальной оси. Для стоек средней гибкости, когда 0 * λ λ λ , переход от прямолинейной формы оси стержня к криволинейной сопровождается развитием в некоторой части материала пластических деформаций. Задача вычисления критической силы вследствие этого значительно усложняется. Решение ее рассматривать не будем, так как все рассуждения проводятся для абсолютно упругой зоны материала. Таким образом, график критических напряжений для сжатых стоек состоит из трех участков (рис. 6.6) – отрезка горизонтальной прямой для * 0 λ λ , отрезка наклонной прямой или параболы второй степени для 0 * λ λ λ и дуги гиперболы Эйлера для * λ λ. |