кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
2.9.2. Силовое поле. Центр тяжести твердого тела На каждую частицу тела, находящуюся вблизи земной поверхности, действует вертикальная сила, которую называют силой тяжести. Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести, действующие на частицы твердого тела, можно считать параллельными и сохраняющими для каждой частицы необходимое значение при любых поворотах тела. Поле тяжести, в котором выполняются эти условия, называется однообразным полем тяжести. Равнодействующую сил тяжести 1 2 , , ..., N G обозначим G , модуль которой i G G называется массой тела. Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела при любом положении тела в пространстве. Координаты центра тяжести 1 , C i i x G x Q 1 , C i i y G y Q 1 , C i i z G z Q (2.5) где , , i i i x y z – координаты точки приложения сил тяжести i G частиц. 51 2.9.3. Координаты центра тяжести однородных тел Для однородного тела масса i G любой его частипропорциональна объему i V этой части γ , i i G V а масса всего тела G пропорциональна объему этого тела,т. е. γ , G V где γ – масса единицы объема. Таким образом, получим 1 , C i i x V x V 1 , C i i y V y V 1 ; C i i z V z V (2.6) для тела, которое можно представить пластиной, те. плоским, 1 , C i i x S x S 1 , C i i z S z S (2.7) где S – площадь пластины для тела, представленного линией, 1 , C i i x L x L 1 , C i i y L y L 1 , C i i z L z L (2.8) где L – длина линии. 2.9.4. Способы определения центра тяжести тел Исходя из общих формул (2.5)–(2.8) можно рассмотреть несколько способов определения центра тяжести тел. Симметрия. Если однородное тело имеет центр, ось или плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит непосредственно на оси симметрии, плоскости симметрии или в центре симметрии. Предположим, что тело имеет ось симметрии. Тогда этой осью оно разбивается на две равные по массе части, а центры их тяжести должны находиться на равных расстояниях от оси симметрии. Следовательно, центр тяжести тела как точка, через которую проходит равнодействующая двух равных и параллельных сил (масса каждой части, будет лежать на оси симметрии. Аналогичный результат будет и когда тело имеет центр или плоскость симметрии. Разбиение Если тело можно разбить наконечное число частей, для каждой из которых известно положение центра тяжести, то координаты центра тяжести тела можно вычислить по формулам (2.5)–(2.8), в которых число слагаемых в каждой из сумм равно числу частей тела, на которые оно разбито. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения и применяется к телам, имеющим вырезы, но при этом должны быть известны центр тяжести тела без выреза и центр тяжести вырезанной части. Интегрирование. Способ интегрирования применяется, если тело невозможно разбить наконечное число частей, положение центров тяжести, 52 которых известны. В этом случае тело разбивается на произвольные малые объемы i V и формулы (2.6) имеют вид 1 Δ , C i i x x V V 1 Δ , C i i y y V V 1 Δ , C i i z z V V (2.9) где , , i i i x y z – координаты точки, лежащей внутри объема Далее в равенствах (2.9) необходимо перейти к пределу, устремляя к нулю, те. стягивая эти объемы в точку, тогда суммы, стоящие в равенствах, обращаются в интегралы по всему объему тела 1 , C V x x dV V 1 , C V y y dV V 1 C V z z Аналогично и для координат центров тяжести площадей и линий получаем в пределе из формул (2.7), (2.8): 1 , C S x x dS S 1 , C S y y dS S 1 ; C S z z dS S 1 , C L x x dl L 1 , C L y y dl L 1 C L z z Экспериментальный способ Для сложных по конфигурации неоднородных тел (воздушный, водный, железнодорожный транспорт и другие системы и конструкции) центр тяжести можно определять экспериментально. Наиболее известны методы подвешивания и взвешивания. Метод подвешивания заключается в том, что тело подвешивают за различные его точки, и каждый раз направление нити или троса, на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести. Идея метода взвешивания заключается в том, что взвешивая тело, определяют силу давления отдельных его частей на платформу взвешивания. Затем, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно центра тяжести тела, определяют его координаты. 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИИ. СТЕРЖНЕВАЯ РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ 3.1. Общие сведения При расчете прочности и жесткости конструкций приборов электронной и полупроводниковой техники (полупроводниковые приборы, микросхемы, 53 их выводы, элементы несущих конструкций и др) они могут быть представлены в виде стержневой расчетной схемы. Как уже указывалось, стержневые системы могут быть статически определимыми и статически неопределимыми. Расчет статически определимых систем сводится к следующим операциям а) определение реакций в опорах с помощью уравнений статического равновесия б) определение внутренних усилий в сечениях стержней и построению эпюр внутренних усилий в) расчет напряжений и перемещений в заданных сечениях. В статически неопределимых системах невозможно определить реакции опор из уравнений статического равновесия. В них больше связей (реакций опор, чем необходимо для равновесия. Таким образом, некоторые связи оказываются в этом смысле как бы лишними, а усилия в них – лишними неизвестными. По числу лишних связей или лишних неизвестных устанавливают степень статической неопределимости системы. На рис. 3.1, a показана шарнирно опертая балка – система, статически определимая и геометрически неизменяемая. Все три реакции ( , , A A B R H R ) определяются из трех условий равновесия плоской системы сил. Используя метод сечений, легко найти силовые факторы , z y Q M в любом сечении балки. A A R a A H 1 P 2 P B R B б A A R A H 1 P 2 P B R B C R C Рис. 3.1 Добавим еще одну связь, например шарнирно-подвижную опору в сечении С (рис. 3.1, б. Хотя в результате этого система стала более прочной и жесткой, однако сточки зрения геометрической неизменяемости эта связь лишняя. Теперь из трех уравнений равновесия четыре реакции ( , , A A B R H R , C R ) определить невозможно. Таким образом, балка, изображенная на рис. 3.1, б, один раз статически неопределима. На риса показана дважды статически неопределимая балка. Здесь для определения пяти реакций есть лишь три уравнения равновесия. Следовательно, система содержит две лишние связи. Она может быть образована, например, из консоли постановкой шарнирно-подвижных опор в сечениях B и С (рис. 3.2, б. 54 A A R A H R M a B R B C R C A B C б Рис. 3.2 В конструкциях часто встречаются статически неопределимые балки с ломаной осью – рамы. В отличие от ферм, где стержни соединены между собой шарнирами и нагружены силами, приложенными в узлах, рамы имеют один жесткий узел или несколько. В жестком узле торцы соединяемых стержней не имеют относительных поступательных перемещений, а также относительных поворотов. Рамные конструкции могут состоять как из прямолинейных, таки из криволинейных элементов. На рис. 3.3 показана дважды статически неопределимая плоская рама. В этом случае, как ив предыдущем, для определения пяти реакций внешних связей имеем только три уравнения равновесия. Рамы могут быть нагружены вполне произвольной нагрузкой, любым образом ориентированной. Статическая неопределимость может быть результатом не только введения дополнительных внешних связей. Рассмотрим раму, показанную на риса. Очевидно реакции внешних связей опор) легко определить из уравнений равновесия. Однако эти уравнения равновесия не позволяют определить внутренние усилия в ее элементах. Разрежем раму на две части и рассмотрим равновесие одной из них рис. 3.4, б. Действие отброшенной части на оставленную заменено в каждом сечении разреза тремя внутренними усилиями – нормальной силой N, перерезывающей силой Q и изгибающим моментом М. Таким образом, из трех уравнений равновесия следует определить девять неизвестных усилий. Система, следовательно, шесть раз статически неопределима. Она состоит из двух замкнутых бесшарнирных контуров, каждый из которых трижды статически неопределим. Следует отметить, что постановка шарнира на оси стержня (риса) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении и, следовательно, A 1 R A H q P 2 R B B H Рис. 3.3 55 A 1 P A H б 1 B 1 R 2 R II II IV 3 P 1 P 2 P A H 1 R 3 Q 2 Q 1 Q 1 M 2 M 3 M 1 N 2 N 3 N a Рис. 3.4 2 a Рис. 3.5 б в г снижает степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называют одиночным. Рама на риса пять раз статически неопределима. Шарнир, включенный в узел, где сходятся n стержней (рис. 3.5, в, снижает степень статической неопределимости на, так как заменяет собой столько же одиночных шарниров (рис. 3.5, г. Такой шарнир называется общим. Рама, изображенная на рис. 3.5, б, четыре раза статически неопределима. Для определения степени статической неопределимости плоских систем можно пользоваться формулой 3К Ш, S где S – степень статической неопределимости К – число замкнутых контуров в предположении полного отсутствия шарниров Ш – число шарниров в пересчете на одиночные. Основание (земля) рассматривается как стержень. Так, например, рама, приведенная на рис. 3.4, имеет четыре замкнутых контура. Для каждого шарнира указано соответствующее число одиночных шарниров при этом группа 56 стержней, жестко связанных между собой (неразделенных шарнирами, принимается за один стержень. Итак, в рассматриваемом случае К = 4, Ш = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6. Следовательно. Как уже отмечалось, для определения усилий в статически неопределимых системах дополнительно к уравнениям статики составляют так называемые уравнения совместности деформаций. Лишние связи накладывают определенные ограничения на перемещения тех сечений, к которым они приложены. Это обстоятельство и используют для составления дополнительных уравнений, которые вместе с уравнениями статики позволяют определить все внутренние усилия в элементах системы. Дополнительные уравнения могут быть составлены с помощью метода сил или метода перемещений. Рассмотрим основные этапы расчета статически неопределимой системы – устанавливаем степень статический неопределимости, те. число лишних связей или лишних усилий – удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой, которая называется основной системой. Выбор лишних связей зависит от желания расчетчика, так что для одной и той же статически неопределимой исходной системы возможны различные варианты основных систем. Однако нужно следить затем, чтобы каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональным выбором системы упрощается расчет. Таким образом, основной системой называется любой из статически определимых вариантов рассматриваемой системы, полученный освобождением ее от лишних связей. Найдя лишние неизвестные усилия, определение реакций и построение эпюров внутренних усилий, а также подбор сечений и проверку прочности, проводим обычными способами. 3.2. Основные расчетные зависимости при силовом статическом внешнем воздействии При воздействии различных внешних нагрузок в сечениях стержня возникают шесть составляющих внутренних усилий – нормальная сила N при растяжении или сжатии – перерезывающие силы y Q и z Q при плоском поперечном изгибе и при срезе – крутящий момент при кручении 57 – изгибающие моменты y M и z M при чистом изгибе и при плоском поперечном изгибе. Нагружение изделий электроники в процессе эксплуатации и испытаний не приводит к возникновению в сечениях стержня крутящего момента, поэтому напряжения кручения далее не рассматриваются. При растяжении – сжатии и чистом изгибе стержневых элементов возникающие в их сечениях нормальные напряжения могут быть рассчитаны с помощью известной трехчленной формулы σ , y z x y z M N M z y F J J (3.1) где F – площадь поперечного сечения стержня y J и z J – осевые моменты инерции сечений у и z – координаты точек, в которых определяется напряжение. Формула (3.1) может быть использована для определения нормальных напряжений в сечениях, у которых ось x, совмещенная с осью стержня, проходит через центр тяжести, а оси y и z являются главными осями инерции. Следует отметить, что это условие выполняется, если сечение имеет хотя бы одну центральную ось симметрии. Для наиболее распространенных прямоугольного и круглого сечений рис. 3.6) осевые моменты инерции равны 3 , 12 y bh J 3 12 z hb J – для прямоугольного сечения (средняя часть рисунка 4 π 4 y z R J J – для круглого сечения (правая часть рисунка. R R z y y h z b y z Рис. 3.6 58 Внутренние усилия N, y M , z M определяются по эпюрам внутренних усилий. Прямая, проходящая через точку, где нормальное напряжение равно нулю, называется нейтральной линией. Уравнение нейтральной линии может быть получено из (3.1): откуда , y y z y z y J J M N z M J M F tg где β = arctg y z y z J M M J – угол наклона нейтральной линии относительно оси, a = y y J N M F – смещение нейтральной линии относительно центра тяжести сечения вдоль оси. Нейтральная линия разделяет растянутую и сжатую части сечений (см. рис. 3.6). При изгибе наибольшие нормальные составляющие напряжений в каждой из этих частей возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, и при чистом или плоском поперечном изгибе могут быть рассчитаны согласно (3.1): где max max , y z y y J J W W z y – моменты сопротивления при изгибе. Для прямоугольного сечения 2 2 , 6 Для круглого сечения При чистом изгибе касательные напряжения в сечении стержня отсутствуют, анормальные напряжения σ x во всех точках сечения являются главными или 3 σ ). В случае плоского поперечного изгиба в сечениях стержня возникает перерезывающая сила z Q или y Q , при сложном изгибе добавляется перере- 59 зывающая сила y Q или z Q . Касательные напряжения от этих сил можно подсчитать по формуле Журавского: * * τ , τ , z y y z zx xy y z z y Q S Q S J b J где * * * * , y z F F S zdF S ydF – статические моменты отсеченной площади * F относительно осей у и z соответственно z b и y b – ширина сечения на расстояниях или y от центра тяжести сечения соответственно. Для прямоугольного поперечного сечения после интегрирования выражение для статического момента, например относительно оси у, примет вид 2 2 * 2 1 8 y bh z S h Из этого выражения видно, что наибольшего значения касательные напряжения достигают на нейтральной линии z = 0 и равны max 3 τ 2 z zx Q bh – для прямоугольного сечения max 2 4 τ 3 π z zx Q R – для круглого сечения. С учетом касательных напряжений при плоском поперечном изгибе главные напряжения (они являются наибольшими нормальными напряжениями в точке тела) определяются выражением 1,3 Как правило, касательные напряжения при изгибе стержней круглого и прямоугольного сечений невелики и ими можно пренебречь. В наиболее удаленных от нейтральной линии волокнах (z = ±h/2, у = ±b/2 – для прямоугольного сечения и y = z = R – для круглого сечения) касательные напряжения равны нулю и действующие там нормальные напряжения являются главными 1 σ σ x – в растянутых волокнах, 3 σ σ x – в сжатых волокнах. Таким образом, в точках поперечного сечения стержня при растяжении- сжатии, при чистом изгибе ив крайних точках, те. в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии, при плоском поперечном изгибе только одно главное напряжение неравно нулю, так как возникает линейное напряженное состояние. 60 При плоском поперечном изгибе во всех точках сечения, кроме точек σ z ≠ ±h/2, возникают два главных напряжения 1 σ и 3 σ , те. возникает плоское напряженное состояние. В сплошной однородной и изотропной среде связь между напряжениями и деформациями описывается с помощью закона Гука. Для линейного напряженного состояния при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности, закон Гука имеет вид ε = σ E , где ε – относительная линейная деформация по направлению действия напряжения Е – модуль нормальной упругости, измеряемый, как и напряжение, в паскалях. Закон Гука, обобщенный для плоского напряженного состояния, имеет вид 1 1 3 1 ε σ νσ , E 3 3 1 1 ε σ νσ где 1 ε , 3 ε – главные деформации 3 1 ε ν ε – коэффициент Пуассона. В тех точках, где действуют касательные напряжения τ xy и τ zx , наряду с линейными деформациями возникают угловые деформации (углы сдвига γ xy и γ yz ), которые связаны с напряжениями зависимостями закона Гука. Связь относительных линейных деформаций в направлении координатных осей с напряжениями также описывается уравнениями закона Гука, общая форма записи которых имеет вид τ 1 ε σ ν σ σ , γ ; xy x x y z xy E G τ 1 ε σ ν σ σ , γ ; yz y y x z yz E G τ 1 ε σ ν σ σ , где G = 2(1 ν) E – модуль сдвига. После определения напряжений в сечениях стержня следует проверить прочность. Во всех случаях нагружения наибольшее суммарное напряжение должно быть меньше допускаемого σ ≤ [σ] или равно ему. Допускаемое напряжение [σ] = в – для хрупких материалов, [σ] = т – для пластичных. 61 Временное напряжение в и предел текучести т определяются экспериментально. Коэффициент запаса прочности n подсчитывается по формуле 1 2 , , ..., i n n n n , где каждый сомножитель учитывает характер работы элементов конструкции, условия нагружения, назначение и срок службы всей конструкции и т. д. При проверке прочности элементов конструкции электронной техники действующие напряжения сравниваются с допускаемыми на основе теорий прочности. Для хрупких материалов обычно используется вторая теория прочности, согласно которой хрупкое разрушение в данной точке возможно только при условии, что относительная деформация 1 ε > 0 и достигает определенного для данного материала критического значения. По закону Гука для объемного напряженного состояния 1 1 2 3 1 ε σ ν для линейного напряженного состояния вр ε σ nE Тогда условие прочности р 2 3 σ ν σ σ σ , (3.2) где р вр σ σ n – допускаемое напряжение при растяжении вр σ – временное напряжение при растяжении. Для хрупких материалов временное напряжение при растяжении почти на порядок ниже временного напряжения при сжатии. Для пластичных материалов чаще всего используется третья теория прочности, согласно которой условие прочности имеет вид 1 3 σ σ σ . (3.3) |