кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
2.2. Сложение сил. Система сходящихся сил 2.2.1. Геометрический способ сложения сил, равнодействующая сходящихся сил, разложение сил Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы будем называть главным вектором этой системы сил. Сложение двух сил Геометрическая сумма двух сил находящихся по правилу параллелограмма или построением силового треугольника (риса, б. Риса б A y 2 P 1 P Q α γ 2 P 1 P Q γ β Модуль 2 2 1 2 1 2 2 cos α; Q P P P P 1 2 sin γ sinβ sin Сложение трех сил, не лежащих водной плоскости (рис. Последовательно складываем по правилу параллелограмма 1 P и 2 P , затем их сумму си получаем Сложение системы сил. Геометрическая сумма любой системы сил определяется последовательным сложением системысил по правилу параллелограмма (риса. Более простой способ строить силовой многоугольник в произвольном масштабе (рис. 2.16, б. Риса б в 23 а б 1 P 2 P 3 P 4 P Q A 1 P 2 P 3 P 4 P Q O Рис. 2.16 Рис. 2.15 2 P 3 P Q Из произвольной точки откладываются векторы 1 2 3 , , , ..., ; n P P P P 1 Q P 2 3 1 ; n n i i P P P Q P – главный вектор (сумма векторов i P ) – соединит начало первого вектора с концом последнего. Равнодействующая сходящихся сил Применяя правило параллелограмма приходим к выводу, что равнодействующая системы сходящихся сил равна геометрической сумме (главному вектору) и приложена в точке их пересечения (линий действия, рис. 2.15. Разложение сил Разложить данную силу на несколько составляющих – значит найти такую систему сил, которой данная сила является равнодействующей. Эта задача неопределенная и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий а) разложение сил по двум заданным направлениям. Задача сводится к построению параллелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю (риса. б) разложение силы потрем заданным направлениям. Задача сводится к построению параллелепипеда, у которого диагональ изображает заданную силу и ребра параллельны заданным направлениям (рис. 2.16, б. Способ разложения сил можно использовать для определения сил давления на связи. На рис. 2.17 кронштейн состоит из стержней АС и ВС, соединенных со стен 1 S A C B 2 S P α E Рис. 2.17 24 кой шарнирами ВАС = 90º, АВС = , в точке С подвешен груз P . Определить усилия в стержнях, пренебрегая их массой ( 1 2 cos α, tg α S P S P ). 2.2.2 Проекция силы на ось и на плоскость Аналитический способ задания силы или решения задач статики сводится к понятию проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый, то проекция положительна, если тупой – отрицательна. Если сила перпендикулярна оси – проекция равна нулю (рис. 2.18). Рис. 2.18 A 1 P B α α 2 P 3 P x 1x P Проекция силы на плоскость Oxz есть вектор xy P , заключенный между проекциями начала и конца силы. В некоторых случаях проще найти сначала проекцию силы на плоскость, а затем ее проекцию на ось (рис. 2.19): sin φ, cos φ, cos θsin φ, cosθ cos φ. x xz z xz x z P P P P P P P P P θ Рис. 2.19 x P z P xz P φ x y z P x P z P Рис. 2.20 A x y z 25 Аналитический способ задания сил Для данного способа необходимо выбрать систему координатных осей xyz (рис. 2.20, где α, β, γ – углы, которые составляет сила Р с осями координат точки А – точки приложения силы, заданной координатами x, y, z). Будем пользоваться угловой системой координат. Для решения задач механики проще задавать силу ее проекциями , x P , y P ; z P тогда, зная проекции силы на координаты оси, можно определить ее модуль и углы, которые она составляют с осями координат 2 2 2 , cos α , cosβ , cos Аналитический способ сложения сил Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью теоремы геометрии проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на туже ось. Согласно теореме Q – сумма сил 1 2 , , ..., , n P P P 1 Зная , , , x y z Q Q Q определяем модуль Q: 2 2 2 , x y z Q Q Q Q cos α , x Q Q cosβ , y Q Q cos Эти формулы позволяют решать задачу сложенных сил аналитически. Для плоской системы сил эти формулы упрощаются. Если силы заданы модулями, то предварительно необходимо вычислить их проекции на координатные оси. Пример представлен на рис. 2.21, где 2 P = 17.32 Н, 1 P = 24 Н, 3 P = 10 Н углы φ = 30 o , ψ = Определить сумму трех сил, лежащих водной плоскости. Находим проекции сил на координатные оси 2 2 cos φ 15 H, x P P 3 3 cos ψ 5 H, x P P 1 0; x P 2 2 sin φ, y P P 3 3 sin ψ, y P P 1 1 24 H; y P P 2 8.66 H, y P 3 8.66 H; P ; x ix Q P ; y iy Q P 3 P x y φ 2 P 1 P ψ а б Q 1 P 2 P 3 P Рис. 2.21 26 15 5 10 H; x Q 8.66 8.66 24 24 H; y Q 2 2 2 2 10 24 26 H; x y Q Q Q cos α 5 13, α 67 20 , cosβ 12 13, β 157 20 , x y Q Q Q Q где α и β – углы, которые составляет Q (главный вектор) с осями координат x, y. 2.3. Равновесие системы сходящихся сил Для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю – геометрические условия равновесия. Так как Q (главный вектор) системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного на этих силах, то Q будет равен нулю, если конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, те. многоугольник замкнут. Таким образом, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил был замкнутым – аналитические условия равновесия. 2 2 2 x y z Q Q Q Q – модуль главного вектора. Так как под корнем длина положительных слагаемых, то Q = 0 только когда одновременно 0, 0, 0 x y z Q Q Q , те. когда действующие силы будут удовлетворять равенствам В общем случае для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей были равны нулю. Для плоской системы сил имеем равенства 0, 0; ix iy P P – теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил – непараллельных, лежащих водной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются. Доказательство Так как по условию 1 P и 2 P лежат водной плоскости и не параллельны, то линии их действия пересекаются в точке А (рис. 2.22). Приложим эти силы в точке Аи определим равнодействующую их Q Так как тело находится в равновесии, то Q и должны быть направлены вдоль одной прямой АВ. Следовательно, 3 P проходит через точку А. 27 Обратная теорема места не имеет, те. если линии действия трех сил пересекаются водной точке, то тело под действием этих сил может и не быть в равновесии. Эта теорема выражает только необходимое условие равновесия тела под действием трех сил. A 1 P 3 P B 2 P Q Рис. 2.22 1 R 2 R P K Рис. 2.23 R Пример Брус находится в равновесии, P и 1 R пересекаются в точке K рис. 2.23). Следовательно, и 2 R должно пересекаться сними в точке K. Таким образом нашли направление 2 R 2.4. Момент силы относительно центра. Пара сил 2.4.1. Момент силы относительно центра (или точки) Если тело под действием приложенной силы может совершать движение вращение) вокруг некоторой точки (центра, то момент силы относительно этой точки характеризует вращательный эффект силы. На рис. 2.24 ОАВ – плоскость поворота, проходящая через точку О и ; P h – плечо n – нормаль плоскости поворота 0 M P – момент силы P относительно точки О определяется модулем момента, равным произведению Р h , положением в пространстве плоскости поворота и направлением поворота этой плоскости. Поэтому есть величина векторная. Таким образом, момент силы P относительно центра О есть вектор 0 M P , модуль которого равен произведению Р на плечо h и который направлен перпендикулярно плоско 0 M Рис. 2.24 B n O r h P 28 сти, проходящей через центр О и силу в ту сторону, откуда видно, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки Р = 2 ; OAB S OAB S = АВh/2 = Ph/2 M Нм. Формула, выражающая вектор 0 M P : для этого необходимо рассмотреть векторное произведение OA P = 2 OAB S = 2 0 M P (векторное произведение векторов a и b есть вектор , c равный по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ). Следовательно, 0 M P = OA P r P , r OA – радиус-вектор точки А, проведенный из центра О. Таким образом, момент силы равен векторному произведению радиуса- вектора на саму силу. Свойства момента силы – момент силы относительно центра не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль ее линии действия – момент силы относительно центра равен нулю, когда сила равна нулю или линия ее действия проходит через центр (h = 0). 2.4.2. Пара сил. Момент пары сил Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны. A B P d P а б в P M P B A P A B P O A r B r Рис. 2.25 Система сил, образующих пару, не находится в равновесии (силы не направлены вдоль одной прямой. Пара сил не имеет равнодействующей, так как для пары сумма сил 0, P P те Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту, который характеризуется величиной, называемой моментом пары. На риса расстояние между линиями действия пары – называется плечом пары. Плоскость, проходящая через линии действия пары, называется плоскостью действия пары. Модуль момента пары равен pd Момент пары характеризуется модулем, положением в пространстве плоскости действия пары и направлением поворота пары в этой плоскости. Моментом пары сил называется вектор , M модуль которого равен произведению модуля одной из сил на ее плечо, асам он направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно, что она стремится повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 2.25, б. Заметим плечо силы P относительно точки А стремится к d; плоскость проходящая через точку Аи силу , P совпадает с плоскостью пары. Значит, A M M P AB Р) (вектор произведения, нов отличие от момента силы A PM P может быть приложен в любой точке (такой вектор называется свободным. M измеряется в ньютонах на метр. Покажем, что момент пары сил есть сумма моментов сил, образующих пару относительно любого центра О (рис. 2.25, в 0 0 ; M M P M P (2.1) , A r OA , B r OB ; P P 0 , B M P r P 0 A A M P r P r P Следовательно, 0 0 B A M P M P r r P AB Поскольку AB P M (показано выше, то справедливость равновесия (2.1) доказана. Отсюда следует , A M AB P M P или те. момент пары сил равен моменту одной из сил относительно точки приложения другой силы. Модуль момента пары сил (как показано выше) Из равенства следует, что если две пары сил имеют одинаковые моменты, то они эквивалентны, те. оказывают на твердое тело одинаковое механическое воздействие. 30 2.4.3. Теоремы об эквивалентности и о сложении пары сил Рассмотрим действующую на твердое тело парусили Проведем в плоскости действия пары через произвольные точки D и Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил PP в точках Аи В и приложим силы в этих точках силы P и P (первоначально они могли быть приложены в любых других точках их линии действия. Разложим силы и P по направлениям АВ, ЕВ и ВА, А. Силы 2 P и 2 , P как уравновешенные, можно отбросить. В результате пара сил PP заменена парой 1 1 P P с другим плечом и другими силами, которые могут быть приложены в точках D и Е на линии их действия. В силу противоположности выбора точек D и Е и направлений прямых Аи ВЕ пара сил 1 1 P P может быть расположена где угодно (рис. 2.26). B 1 d 2 P 1 P A P P 1 P 2 P 1 P E D Рис. 2.26 Докажем, что пары PP и 1 1 P P имеют одинаковые моменты. Обозначим эти моменты 1 M AB P и 2 1 M AB P соответственно. Поскольку 1 2 , P P P то 1 2 , AB P AB P но 2 0. AB P Следовательно, 1 Отсюда вытекают следующие свойства пары сил – парусил, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскость действия пары – у данной пары, не изменяя ее действия на твердое тело, можно менять модули сил или плечо – парусил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно переносить изданной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной. Отсюда следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны друг другу (теорема об эквивалентности. Теорема о сложении пар система пар сил, действующих на тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. 31 Докажем теорему о сложении пар. Рассмотрим пары с моментами 1 M и лежащие в плоскостях I ирис. Возьмем на линии пересечения плоскостей отрезок АВ = d и изобразим парус моментом 1 M силами 1 1 , , P P а пару силами 2 2 , P P ( 1 1 , M P d 2 2 M P d ). Сложив силы в точках Аи В ( 1 , P 2 1 2 , , P P P ), убеждаемся, что они эквивалентны паре , P P с моментом M : 1 2 , P P P 1 2 ; P P P 1 2 AB P AB P AB Отсюда следует, что 1 2 M M M Для двух пар теорема доказана, при этом очевидно, что доказательство будет справедливо, если плоскости I и II сливаются, те. пары лежат водной плоскости. Если на тело действует n пар, то применив последовательно это доказательство, получим 1 2 1 n n i i M M M M M |