кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
4. РАСЧЕТ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 4.1. Метод начальных параметров При расчете элементов конструкции электронной техники следует также проводить анализ жесткости как конструкции в целом, таки ее отдельных элементов. 62 Для количественной оценки жесткости конструкции следует определить упругие перемещения элементов конструкции под воздействием внешних нагрузок. Определение перемещений необходимо также при исследовании вопросов колебаний упругих систем. Для элементов конструкции электронной техники, которые могут быть представлены в виде стержневой расчетной схемы, наибольший интерес представляет определение перемещения оси стержня в плоскости нагружения при чистом или плоском поперечном изгибе. Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид 2 2 , y z y M d u EJ dx (4.1) где z u – компонента вектора перемещения в направлении оси z (рис. 4.1). Угол поворота сечений связывается с прогибом зависимостью при этом используется допущение о малости угла θ = tg θ. Если жесткость поперечного сечения при изгибе y EJ постоянна по длине стержня, то прогибы оси и угла поворота различных поперечных сечений могут быть получены непосредственным интегрированием уравнения (4.1) или интегрированием по методу начальных параметров. Метод начальных параметров удобно использовать при наличии нескольких нагрузок (рис. 4.2), так как при любом числе грузовых участков нужно определить всего две произвольные постоянные интегрирования прогиб и угол поворота 0 θ вначале координат. M z u M θ x y z z y x M P 1 R 2 R q A B a b c l Рис. 4.1 Рис. 4.2 Уравнения метода начальных параметров имеют вид 0 2 3 ( ) ( ) ( ) θ , 2 6 k i i j i k z z y y y P x b M x a g x c u u EJ EJ EJ 63 0 0 3 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 6 24 k i i j i k z z z y y y P x b M x a g x c u u u При использовании этих уравнений нужно соблюдать следующие условия – начало координат помещается в крайнюю левую точку оси стержня – знак плюс в уравнениях соответствует положительному направлению сил и моментов – a, b, c – расстояния от начала координат до точки приложения соответствующей нагрузки (для распределенной нагрузки – до начала участка, где она действует – под знак суммирования включаются только те нагрузки, которые лежат левее рассматриваемого сечения – если распределенная нагрузка заканчивается ранее сечения, где определяются прогиб и угол поворота, то она должна быть продолжена до указанного сечения и при этом следует добавить к ней нагрузку той же интенсивности, но противоположного знака риса б x l l l x x x P в г Рис. 4.3 Угол поворота 0 0 θ z u и прогиб 0 z u вначале балки определяются из граничных условий, которые для наиболее распространенных случаев закрепления могут быть записаны следующим образом (рис. 4.3, б–г): при x = 0 0 0 z z u u , при x = z l u = 0; при x = 0 0 0 z z u u , при 0 0 z z u u ; при x = z l u = 0, при 0 0. z u 64 4.2. Энергетические методы определения перемещения 4.2.1. Работа силы. Понятие об обобщенной силе и обобщенном перемещении Работа А постоянной по значению силы Р,совершаемая ею на упругом перемещении δ точки ее приложения, равна скалярному произведению векторов силы Р и перемещения δ: ( , δ). А P Если сила Р изменяется вместе си между ними существует определенная зависимость ( ) (δ( )) P t f t , то работа, совершаемая этой силой, может быть найдена следующим образом. Рассматриваем два близких момента времени. В первом из них имеем ( ) P t и δ( ) t , а во втором – ( ) ( ) P t dP t и δ( ) δ( ) t d t . Работа, совершаемая силой за отрезок времени между этими моментами, равна ( ) δ( ). dA P t d Работа, совершаемая силой ( ) dP t на перемещении δ( ) d t , является величиной второго порядка малости, и ею можно пренебречь. Отсюда δ δ 0 0 ( ) δ( ) (δ( ) δ( )). A P t d t f t d Если зависимость между силой и перемещением линейная, те ив частности, в конце роста силы αδ P , то работа А представляется в виде δ 2 0 αδ 1 αδ( ) δ( ) δ. 2 2 A t d Введем понятие обобщенной силы и обобщенного перемещения. Любая система уравновешенных сил есть обобщенная сила. Перемещение в направлении обобщенной силы есть обобщенное перемещение. 4.2.2. Потенциальная энергия твердого тела Потенциальная энергия деформации, если не учитывать потери, равна работе силы на перемещение. В твердом деформированном теле в окрестности точки, где известны составляющие напряжений, выделим бесконечно малый элемент , , dx dy dz На риса показаны нормальные составляющие напряжений, на рис. 4.4, б – касательные составляющие напряжений, действующие на выделенный элемента а б Рис. 4.4 В соответствии с принципом (независимость действия сил) работа (потенциальная энергия деформации) сил, действующих на грани dy dz выделенного элемента, равна 1 1 σ τ , 2 2 x xy dy dz dx dy dz где σ x dy dz – сила, действующая на грани dy dz выделяемого элемента в направлении оси координат x; dx – удлинение элемента в направлении оси координат x (перемещение τ xy dy dz – сила, действующая по касательной к грани dy dz выделенного элемента a – сдвиг грани (перемещение. Учитывая, что ε , x dx dx tg γ γ xy xy a dx (ввиду малости угла сдвига, потенциальная энергия деформации от сил, действующих на грани dy dz выделенного элемента, может быть записана как 1 1 σ ε τ γ 2 2 x x xy xy dx dy dz dx dy Аналогично потенциальная энергия деформации запишется от сил, действующих на гранях dx dz и dx dy выделенного элемента 1 1 σ ε τ γ , 2 2 y y yz yz dx dy dz dx dy dz 1 1 σ ε τ γ . 2 2 z z zx zx dx dy dz dx dy dz 66 Потенциальная энергия деформации единицы выделенного объема равна 0 1 σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ 2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx U В полученное уравнение потенциальной энергии деформации вместо линейных и угловых деформаций подставим их выражения из закона Гука. В результате получим 2 2 2 2 2 2 0 1 1 σ σ σ 2ν σ σ σ σ σ σ τ τ τ 2 2 x y z x y y z z x xy yz zx U E G 4.2.3. Потенциальная энергия стержня при различных видах деформации На риса показан стержень, испытывающий деформацию растяже- ния-сжатия. На рис. 4.5, б распределение составляющих напряжений σ x по сечению стержня. Выделим в стержне элемент длиной При растяжении-сжатии σ x N F , отсюда потенциальная энергия деформации единицы выделенного объема стержня при деформации растяжения-сжатия 2 2 0( ) 2 σ 2 Потенциальная энергия деформации элементарного объема стержня длиной dx 2 ( ) 2 ax N N Потенциальная энергия деформации всего стержня длиною l 2 ( ) 0 2 l N N На риса изображен стержень, испытывающий деформацию кручения на рис. 4.6, б показано распределение действующих напряжений по сечению. При деформации кручения полное касательное напряжение составляет Потенциальная энергия деформации единицы объема, выделенного элемента стержня длиной ax , y σ x F x P а б Рис. 4.5 l 67 2 2 0 Касательные напряжения, возникающие при кручении, изменяются по сечению стержня (рис. 4.6, б. Поэтому для расчета потенциальной энергии элементарного объема выделенного элемента необходимо в сечении выделить элементарную площадку dF и проинтегрировать полученное выражение потенциальной энергии по площади сечения F : 2 2 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ , 2 2 x x x ax M F F M dx dF M где интеграл вида 2 ρ F dF есть полярный момент инерции сечения ρ J . Окончательно имеем 2 2 ρ 2 x x ax M M Потенциальная энергия деформации стержня длиною l при кручении имеет вид 2 2 ρ 0 2 x l x M M На риса показан стержень, испытывающий деформацию чистого изгиба на рис. 4.7, б дано распределение нормального составляющего напряжения, возникающего в сечении. При чистом изгибе нормальные составляющие напряжения вычисляются если изгиб происходит в плоскости xOz , σ z x z M y J в плоскости Потенциальная энергия деформации единицы объема выделенного элемента длиной dx имеет вида б Риса б Рис. 4.7 68 При чистом изгибе нормальные составляющие напряжения σ x меняются по сечению (рис. 4.7, б. Поэтому при вычислении потенциальной энергии элементарного объема выделенного элемента необходимо в сечении выделить элементарную площадку dF и проинтегрировать полученное выражение по площади сечения F : 2 2 2 2 2 , 2 2 y y y dx M y y F F M z dx dF M dx U z где 2 y F z dF J – осевой момент инерции сечения относительно оси координат. Потенциальная энергия деформации стержня длиной l 2 0 2 y l y M y M Аналогично потенциальная энергия для стержня, испытывающего чистый изгиб в плоскости , xOy 2 0 2 z l z M z M Рассмотрим потенциальную энергию стержня, испытывающего деформацию плоско-поперечного изгиба (риса. На рис. 4.8, б представлено распределение нормальных и касательных составляющих напряжений по сечению стержня. При плоско-поперечном изгибе, если силы и моменты сил действуют в плоскости , xOz то σ , y x y M z J τ ; z y zx y Q S bJ y σ x F x P τ zx z dF z y а б Рис. 4.8 69 если в плоскости xOy – σ , y x y M z J τ y z xy z Q Потенциальная энергия деформации единицы выделенного объема от действия перерезывающей силы z Q составляет 2 2 0 2 2 2 z z y Q y Q S U Gb Потенциальная энергия деформации элементарного объема выделенного элемента вычисляется аналогично потенциальной энергии при чистом изгибе, при этом разделим и умножим полученное выражение на F : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z z y y z z ax z Q y y F F Q S dx dF S Q dx F Q dx U dF K GF GF Gb Аналогично, когда силы и моменты сил действуют в плоскости , xOy 2 , 2 y y y ax Q Q где *2 *2 2 2 2 2 1 1 , y y z y y z F F S S K dF K dF J b J b – коэффициенты, зависящие от геометрических характеристик площади сечения стержня. Потенциальная энергия деформации от действия перерезывающих сил в сечении стержня длиной l 2 0 , 2 z l z z Q Q dx U K GF 2 0 2 y l y y Q Q Окончательно потенциальная энергия деформации стержня при общем пространственном нагружении, когда возникают все шесть внутренних усилий, имеет вид 2 2 2 2 2 2 ρ 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 l l l l l l y y x z z y z y z M ax Q ax M ax N ax M ax Q ax U K K EF GJ GJ GJ GF GF 4.2.4. Теорема Кастельяно Теорема Кастельяно устанавливает зависимость между обобщенным перемещением и потенциальной энергией. Пусть к твердому телу приложена обобщенная сила Р. От силы Р тело получило перемещение δ . Работа силы Р 70 на перемещение δ , а следовательно, и потенциальная энергия деформации будет равна δ. A Дадим силе приращение dP Твердое тело от силы dP получит перемещение и, соответственно, потенциальная энергия получит приращение U Приложим силы в обратном порядке. Сначала приложим силу , dP иона на перемещении δ d совершит работу 1 δ 2 dP d . Затем приложим силу Р,и она совершит работу на перемещение δ, которая будет равна потенциальной энергии U . Одновременно сила dP , приложенная раньше, совершит работу на перемещение δ – Сопоставим потенциальную энергию деформации в первом случае приложения сил и во втором 1 δ δ. 2 U U dP U dP Членом 1 δ 2 dP d можно пренебречь как величиной второго порядка малости, и тогда имеем Отсюда следует формулировка теоремы Кастельяно: обобщенное перемещение равно частной производной от потенциальной энергии по обобщенной силе. В общем случае для стержня, испытывающего деформации растяжения- сжатия, кручения и изгиба, теорема Кастельяно имеет вид ρ δ y x z x y z i i i i i y z l l l l M M N M N M M M P P P P dx dx dx dx EF GJ EJ EJ y z z y i i z y l l Q Q Q Q P P K dx K dx GF GF (4.2) Процесс расчета перемещений поданной формуле заключается в составлении уравнений для внутренних усилий по участкам стержня, вычисления производных от них по некоторой обобщенной силе и вычисления интегралов. 71 P A ф ф P б а Рис. 4.9 Если вычислению подлежат перемещения в сечениях, где не приложена внешняя сила (это относится к деформации изгиба, то прибегают к искусственному приему дополнения нагрузки, те. в данном сечении прикладывается фиктивная сила, равная нулю, если определяется линейное перемещение риса, или фиктивный момент, равный нулю, если определяется угловое перемещение (рис. 4.9, б. 4.2.5. Формула Максвелла–Мора Внутренние усилия, входящие в (4.2) являются линейными функциями приложенных сил i P и могут быть записаны в форме сумм ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , , , n n n i i i i y y i z z i i i i n n n i i i x x i y y i z z i i i i N N P Q Q P Q Q P M M P M M P M M P (4.3) Смысл коэффициентов ( ) ( ) , ..., i i z N M можно выяснить следующим образом положим силы i P равными нулю при i k и приравняем силу k P к единице (при i k ). Тогда получим ( ) , k N N ( ) , k y y Q Q ( ) , k z z Q Q x M ( ) , k x M ( ) , k y y M M ( Таким образом, коэффициенты есть внутренние усилия, вызываемые единичной силой. Дифференцируем (4.3) пои получаем ( ) , k k N N P ( ) , y k y k Q Q P ( ) , k z z k Q Q P ( ) , k x x k M M P ( ) , y k y k M M P ( Производная от внутреннего усилия по обобщенной силе есть внутреннее усилие от внешней силы, равной единице. 72 Окончательно формула Максвелла–Мора имеет вид ρ δ y y x x z z i y z l l l l M M M M NN M M dx dx dx dx EF GJ EJ EJ , y y z z z y l l Q Q Q Q K dx K dx GF GF (4.4) где , ..., z N Q – внутренние усилия от единичной силы. При определении перемещений по формуле Максвелла–Мора необходимо в сечении, где вычисляется перемещение, приложить внешнюю силу (1) 1 P или (1) 1 M (если определяется угловое перемещение) независимо оттого, приложены в этом сечении какие-либо внешние силы или нет. Изложенные энергетические методы механики твердого деформированного тела широко используются при решении статически неопределимых задач. Известны два метода расчета статически неопределимых систем – метод сил и метод перемещений. В первом за лишние неизвестные принимаются силы, во втором – перемещения. |