кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ 9.1. Упругие колебания. Расчетные схемы. Уравнение движения Помимо температурных воздействий значительную опасность для конструкций электронной техники представляют собой вибрации и ударные нагрузки. Даже при небольших амплитудах вибрационные нагрузки могут вызвать усталостное разрушение элементов конструкции корпусов, подложек и печатных плат с приборами. В этом случае наиболее опасны вибрационные нагрузки с частотой, близкой к собственной частоте колебаний элементов конструкций. Возникновение резонанса приводит к резкому росту напряжений и, следовательно, увеличивает возможность разрушения элементов конструкций. В процессе эксплуатации вибрации и удары испытывают полупроводниковые приборы и интегральные схемы, смонтированные на печатных платах, представляющих собой прямоугольные пластины. Навесные элементы, как правило, распределяются по поверхности плат равномерно. Расчет колебаний и динамической прочности таких плат можно проводить по схеме пластин, нагруженных равномерно распределенным давлением. Эти системы имеют бесконечное число степеней свободы. В случае нерегулярного расположения на монтажной плате пленочных проводников и навесных элементов со значительным разбросом масс за расчетную схему в 103 качестве первого приближения может быть принят стержень с распределенной нагрузкой, представляющий собой полосу с элементами наибольшей массы, вырезанную из платы. В тех случаях, когда неравномерность распределения навесных элементов и разброс значений их масс находится в пределах 10…15 %, в качестве расчетной схемы можно рассматривать равномерно нагруженную пластину. При испытаниях обычно проверяется работоспособность отдельных изделий. В зависимости от способа закрепления их расчетные схемы чаще всего могут быть представлены в виде – системы с одной степенью свободы, испытывающей изгибные поперечные колебания – стержня с распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы, испытывающего продольные или поперечные колебания. В некоторых случаях представляют интерес колебания отдельных элементов, для которых расчетная схема может быть выбрана в виде цилиндра или круглой пластины. При описании изделий с одной степенью свободы все наиболее легкие его элементы считаются безмассовыми безынерционными деформируемыми связями, а масса всех тяжелых элементов сосредоточивается водной точке. Если масса изделия значительно больше массы выводов, то массой выводов обычно пренебрегают. Если масса выводов сравнима с массой самого изделия, то общую массу можно считать в таком случае равной сумме массы изделия и одной трети массы выводов. При описании изделия системой с бесконечным числом степеней свободы масса всех элементов равномерно распределяется по выбранной расчетной длине. Для обнаружения резонансных частот проводится расчет свободных собственных колебаний, возникающих под влиянием только упругих и диссипативных сил при отсутствии внешнего силового воздействия на систему. Для проверки динамической прочности элементов изделия необходимо знать коэффициент динамичности, который вычисляется в соответствии с выбранной расчетной схемой и его способом возбуждения динамических перемещений. Возможны два способа возбуждения – кинематический, когда возмущающие силы прикладываются к опорам изделия и передаются системе через жесткость и деформирующие элементы закрепления 104 – динамический, или силовой, при котором возмущающая сила непосредственно воздействует на изделие. Конструкции электронной аппаратуры испытывают, как правило, кинематическое возбуждение. Уравнение движения в колебательном процессе по методу Д’Аламбера имеет вид ин тр в ), p p p p p t (9.1) где ин – p mz – силы инерции, определяемые по закону Ньютона тр – p kz – диссипативные силы, учитывающие силы трения в опорах, силы сопротивления среды, в которой происходят колебания, силы внутреннего трения в материалах системы диссипативные силы, пропорциональны по значению и обратны по направлению скорости движения в – восстанавливающая позиционная сила, определяющая отклонения z системы от положения равновесия коэффициент жесткости, характеризующий упругие свойства системы и являющийся коэффициентом пропорциональности между внешней статически приложенной силой p и вызываемым этой силой перемещением z); p(t) – возмущающая сила, задаваемая в виде явной функции времени. С учетом этих значений для изгибных колебаний стержня (9.1) может быть записано в виде mz kz cz p t (9.2) Решение (9.2) зависит от выбранной расчетной схемы и сил, действующих на систему. 9.2. Основные расчетные зависимости для определения напряжений при колебаниях систем с одной степенью свободы Свободные колебания системы происходят при отсутствии возмущающих сил, те. когда p(t) = 0. Если при этом не учитываются диссипативные силы, те. когда 0 kz , то уравнение (9.2) примет вид 0, mz cz 2 0 ω 0, z z (9.3) где 0 ω – круговая частота свободных колебаний 2 0 ω = с (с – коэффициент жесткости, который можно вычислить по формулам, приведенным в табл. 9.1). Круговая частота свободных колебаний 0 0 ω 2π 2π f T , где 0 f = 1/T – циклическая частота колебаний Т – период собственных или вынужденных колебаний. 105 Таблица 9.1 Коэффициенты жесткости некоторых систем Схема закрепления Коэффициент жесткости Примечание 2 2 3 y EJ a b c a b ; 3 48 y с EJ L При а ≠ b; при а = b 3 24 y EJ c L – 3 3 y EJ c L – 3 3 3 3 y EJ a b c a b ; 3 192 y с EJ L При а ≠ при а = b 3 3 3 12 3 4 y EJ a b c a b a b ; 3 110 y с EJ L При а < при а = b 2 3 y EJ c b L b – 2 12 4 3 y EJ c b L b – 3 24 y EJ c L y EJ – жесткость при изгибе каждой из двух плоских пружин 2 c 1 c 1 c 2 c 1 2 с с с – с = 1 2 1 2 c c c c c – Решение уравнения (9.3) имеет вид 0 ( ) sin ω φ . z Амплитуда Аи начальная фаза колебаний φ определяются изначальных условий. При наличии сил сопротивления (9.2) можно записать в виде 2 0 2 ω 0, z nz z (9.4) где введено обозначение 2n = k/m. Если силы сопротивления малы, то решение (9.4) имеет вид 2 01 ( ) sin ω φ , nt z где 2 2 01 01 ω ω n 106 Под действием сил сопротивления колебания затухают. Отношение двух последовательных пиковых отклонений системы от положения равновесия может быть выражено как 1 2 nt nt nt Степень затухания характеризуется логарифмическим коэффициентом затухания 1 δ ln i i nT A В справочниках и стандартах на материалы обычно приводится значение коэффициента поглощения ψ, связанного с коэффициентом затухания δ следующей зависимостью 0 ψ 2 ω δ Если на систему действует возмущающая сила, то амплитуда возникающих вынужденных колебаний в становится существенно больше амплитуды свободных колебаний c A : в c μ, A A где μ – коэффициент динамичности. При силовом возбуждении коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического смещения, вызванного значением возмущающей силы, и при наличии сил сопротивления рассчитывается по формуле 2 2 2 2 1 μ , 1 η Ψ η (9.5) где 0 η ω ω ; ω – частота вынужденных колебаний. Если в системе затухание отсутствует, те, то при совпадении частот колебаний вынужденных ω и свободных 0 ω в системе возникает резонанс. При этом коэффициент динамичности обращается в бесконечность, возрастает бесконечно амплитуда вынужденных колебаний и также бесконечно возрастают напряжения, возникающие в системе. При расчете на прочность элементов конструкций электроники, чаще всего испытывающих кинематическое возбуждение, обычно представляет интерес деформация упругого элемента, те. смещение точки массой m относительно опор. В этом случае коэффициент динамичности при кинематическом возбуждении может быть найден из выражения 107 2 в к 0c 2 2 2 η μ , 1 η Ψ η A A (9.6) где в – амплитуда вынужденного относительного смещения массы при кинематическом возбуждении 0c A – заданное перемещение опор основания. В стандартах обычно нормируется не перемещение основания, а его ускорение. При этом перемещение можно определить следующим образом 0c 2 , ω a z A (9.7) где ω – круговая частота вынужденных колебаний. Амплитуду вынужденных колебаний в при определении абсолютного смещения массы m можно вычислить с помощью коэффициента динамичности, если известна амплитуда возмущающей силы в В этом случае коэффициент динамичности (передачи) может быть вычислен по формуле 2 2 2 2 2 2 1 Ψ η μ 1 η Ψ η (9.8) Для расчета динамических напряжений следует определить круговую частоту вынужденных колебаний по заданной циклической частоте вынужденных колебаний ω 2π Циклическая частота f берется из заданного интервала вынужденных частот н в , f f как ближайшая или равная частоте свободных колебаний. Далее в соответствии с выбранной расчетной схемой поили) определяется коэффициент динамичности. Подсчитав жесткость системы c (см. табл. 9.1) и перемещение системы z или перемещение основания 0c z A по (9.7), определим статическую нагрузку ст , вызвавшую это перемещение ст, затем определяется динамическая сила д ст μ. p p Расчет динамических напряжений ведется с учетом этой силы в соответствии с выбранной расчетной схемой по тем же формулам, что и при статическом нагружении. Проверка прочности проводится по условию прочности при динамическом нагружении, рассмотренном далее. 108 9.3. Основные расчетные зависимости для определения напряжений при колебаниях системы с распределенными параметрами При поперечных, изгибных, колебаниях однородного стержня (рис. 9.1) уравнение движения системы с бесконечным числом степеней свободы при отсутствии сил сопротивления имеет вид 2 4 2 4 2 ( , ) ( , ) ( ), c z x t z x t p t x t (9.9) где 2 , ρ y EJ c F ( ) ( , ) ρ g t p x Полагая в (9.9) p(t) = 0 и решив однородное уравнение, находим форму главного колебания – собственную форму – в виде sin cos sh ch , z z x u A kx B kx C kx D kx (9.10) где Постоянные интегрирования A, В, Сиз) определяются из граничных условий. Например, для стержня на двух опорах (рис. 9.1) граничные условия запишутся как отсутствие смещения и изгибающего момента на опорах – при х = 0: 0 z u или Вили, откуда B = D = 0; – при x = L: 0 z u или sin с или 2 (– sin sh ) 0. k A kL с kL Из совместного решения двух последних равенств получим 0, sin 0. с A kL Чтобы решение не оказалось тождественно равным нулю, должно соблюдаться условие А 0. Тогда частное уравнение sin kL = 0, откуда kL = i (I = 1, 2, 3, …; π 2 i K K i ). С учетом значений си круговая частота свободных колебаний для стержня на двух опорах ( , ) z u z x t z Рис. 9.1 109 Таблица 9.2 Граничные условия для различных случаев закрепления стержня Закрепление стержня x = 0 x = L Примечание z(x) = 0; ( ) 0 z x z(x) = 0; ( ) 0 z x y y EJ z M z(x) = 0; ( ) 0 z x ( ) 0; z x ( ) 0 z x ( ) z x – угол поворота сечения, ( ) z z x Q z(x) = 0; ( ) 0 z x z(x) = 0; ( ) 0 z x – z(x) = 0; ( ) 0 z x z(x) = 0; ( ) 0 z x – Таблица 9.3 Решение частотных уравнений для различных случаев закрепления стержня KL для решения й гармоники Закрепление стержня Частотное уравнение i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 sin kl = 0 3.142 6.283 9.425 i cos kl ch kl = –1 1.875 4.694 7.855 (/2)(2i – 1) tg kl = th kl 3.927 7.069 10.210 (/4)(4i + 1) cos kl ch kl = 1 4.73 7.853 10.996 (/2)(2i + 1) 2 0 π ω ρ y i EJ i l F (9.11) Граничные условия для других видов закрепления стержня приведены в табл. 9.2, а частотные уравнения и их решение – в табл. 9.3. Поскольку в таблицах в качестве решения частотных уравнений обычно приводится значение , i k L то выражение (9.11) удобнее представить в виде 2 0 ω , ρ y i i EJ k l l F где 0 ρ m F – погонная масса стержня. 110 Для определения резонансных амплитуд, деформаций и напряжений в сечениях стержня рассмотрим его вынужденные колебания. В правой части уравнения (9.9) возмущающую силу Р, t) можно представить в показательной форме ω ( , ) ( ) j t P x t p x e (9.12) Решив уравнение движения методом разложения функции Z = Z(x, t), определяющей смещение точек стержня, вряд по собственным формам, с учетом (9.12) получим выражение 1 ω , 2 2 0 0 ( , ) ( ) ω ω j t i i i i B z x t z x где 2 0 0 ( ) L L i i i B P x z x dx z x При кинематическом возбуждении возбуждение стержня возникает за счет колебания опор и возбуждающую силу можно представить в виде х, t) = 0 ( ). m z t Ускорение опор 1 1 ( ) sin ω z t z t задается стандартами и не зависит от координаты x, поэтому х, t) также не зависит от x. Следовательно, в выражении для В возбуждающую силу p можно вынести за знак интеграла. Возмущающее перемещение опор может быть определено как 1 1 2 ( ) ω z t z t (9.13) Тогда 1 2 1 1 2 2 2 0 0 ω ( ) ( , ) ( ), ω 1 ω ω i i z t z x t k где 2 0 0 ( ) L L i i i K x z x dx z x dx (9.14) Если обозначить 0 η ω ω i , то коэффициент передачи между вынужденными относительными перемещениями точек стержня z(x, t) и возбуждающим перемещением опор 1 z t с учетом затухания можно получить в виде 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 η Ψ ( ) ( , ) μ η ( ) 1 η Ψ η i i i i i K x z x t z t (9.15) 111 Коэффициент поглощения ψ i в общем случае зависит от номера возбу- ждений гармоники, нов расчетах его можно с достаточной степенью точности считать постоянным. Значения коэффициента i K x (табл. 9.4) рассчитаны по (9.14) для различных случаев закрепления стержня с распределенной нагрузкой. Таблица 9.4 Значения K i (x), максимального момента и прогиба для систем с распределенными параметрами Условие закрепления i max i K x max y M max z u 1 1.273 2 0 3 0.424 2 8 gl 4 5 384 y gl EJ 1 1.318 2 0 3 0.548 2 0.083gl 4 1 384 y gl EJ 1 1.566 2 0.866 3 0.510 2 0.05gl 4 1 8 y gl EJ 1 1.309 2 0.124 3 0.493 2 8 gl 4 При резонансе, когда частота возбуждающих колебаний равна одной из собственных частот колебаний, приближенно можно считать, что форма вынужденных резонансных колебаний совпадает с собственной формой колебаний стержня. Тогда коэффициент передачи ускорения при резонансе в точке стержня с координатой по отношению к ускорению опор 1 , ( ) μ Ψ i i i z x t K Круговую частоту вынужденных колебаний можно определить также, как для одномассовой системы. В случае кинематического возбуждения колебаний возмущающее перемещение опор 1 ( ) z t рассчитываем по (9.13), а коэффициент передачи – по (9.15). С учетом этого коэффициента определим наибольшее динамическое смещение хи положим max , z z u x t В соответствии с выбранной расчетной схемой и полученным значением прогиба max z u по формулам, приведенным в табл. 9.4, находим распределенную динамическую нагрузку , q g затем максимальный изгибающий момент max y M и динамическое напряжение σ Проверка прочности системы проводится по условию прочности, которое будет приведено в 9.5. |