кормилицые. ЭУП Кормилицын 2014. Лэти оп. Кормилицын механика конструкций приборостроения электронное учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2014 2
 Скачать 4.82 Mb.
|
|
7. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ЦИЛИНДРА 7.1. Основные расчетные зависимости при силовом статическом воздействии Полые корпуса конструкций электронной техники при расчете могут быть сведены к схеме осесимметричного цилиндра. 91 Рассмотрим напряжения и деформации, возникающие в сечении осесимметричного цилиндра, нагрузив его для общности рассуждений растягивающей нагрузкой P по внешнему контуру (рис. 7.1). В точках сечения возникают радиальные перемещения, которые считаются положительными, если они направлены от оси цилиндра. Радиальное σ r и окружное φ σ напряжения, возникающие в точках сечения, связаны между собой уравнением равновесия осесимметричного цилиндра φ σ σ σ 0, r r r dr (7.1) где r – текущий радиус. P R 1 R 2 dφ dφ A σ r σ r + dσ r (r + dr)dφ C B Рис. 7.1 Напряжения σ r и φ σ – главные касательные напряжения отсутствуют, так как отсутствуют деформации сдвига в силу осевой симметрии сечения. Из (7.1) видно, что задача определения напряжений в осесимметричном цилиндре является статически неопределимой и для ее решения следует ввести дополнительно уравнение совместности деформаций. В сечении возникают радиальная ε r и окружная относительные линейные деформации, которые определяются через перемещения следующими выражениями ε , r du dr φ ε u r (7.2) Деформации можно связать с напряжениями при помощи закона Гyка в обратной форме 92 φ 2 φ φ 2 σ ε νε , 1 ν σ ε νε 1 ν E r r E r (7.3) Подставив значения (7.2) ив формулу равновесия осесимметричного цилиндра (7.1), получим уравнение только с одним неизвестным 2 2 2 1 0, d u du u r dr dr r (7.4) где u – перемещение по радиусу цилиндра. Решение этого уравнения ( ) D u r Cr r (7.5) Произвольные постоянные C и D (7.5) определяются из граничных условий на внутренней и на внешней поверхностях цилиндра. Зная перемещение u, легко подсчитать значение радиального напряжения σ r и значение окружного напряжения Так, например, для цилиндра, нагруженного растягивающими нагрузками нив внешней и внутренней соответственно (рис. 7.2), напряжения можно найти по формулам 2 2 σ 1 ν 1 ν , 1 ν E D C r r (7.6) 2 2 σ 1 ν 1 ν , 1 ν E D C r r (7.7) где 2 н в 1 2 2 2 1 1 ν , P R P С (7.8) 2 н в 2 2 2 2 1 1 ν P P D R R E R R (7.9) С учетом наличия или отсутствия давления на внутренней и на внешней поверхностях цилиндра, а также их знаков «+» – при растяжении, «–» – при сжатии, подставив эти значения в (7.6)–(7.9), можно подсчитать нормальные напряжения при любом варианте нагружения цилиндра. Многие корпуса полупроводниковых приборов состоят из двух или трех цилиндров, выполненных из различных материалов (металлостеклянные, металлокерамические и т. д. Рис. 7.2 2 R в P н P 93 7.2. Составные цилиндры При расчете составных конструкций каждый из цилиндров рассматривается отдельно с учетом того, что по поверхности контакта действует давление p, которое определяется из условий совместности перемещений на контактной поверхности. Так, например, при контакте двух цилиндров рис. 7.3) граничные условия имеют следующий вид – для внутреннего цилиндра при в для наружного цилиндра при 2 r R σ ; r p при 3 r R н σ r p Условие совместности перемещений 1 2 ( ) ( ), u r u где I 1 I 1 1 , D u r C R R Значения С C D D находим подстановкой в выражения (7.8), (7.9) для Си соответствующих значений коэффициента Пуассона ν , модуля упругости Е и радиусов цилиндров. Приравняв 1 ( ) u r и 2 ( ) u r , получим уравнение с одним неизвестным Р. Вычислив контактное давление p, можно подсчитать ив обоих цилиндрах по (7.6)–(7.9). Если слои составного цилиндра соединены с натягом, условие совместности деформаций примет вид 1 2 ( ) – ( ) Δ 2, u r u r где Δ – величина натяга. При отсутствии внутреннего и внешнего давлений на цилиндры значение контактного давления p, возникающего в результате натяга, может быть получено из приведенных ранее зависимостей в виде 2 2 2 кв н к 2 2 2 2 к кв н кВ) первое слагаемое в квадратных скобках относится к внутреннему цилиндру, второе – к наружному. Соответственно обозначены в – внутренний радиус к – радиус поверхности контакта н – наружный радиус составного цилиндра. Рис. 7.3 1 R 2 R 3 R 94 Возможны варианты, когда составная конструкция представляет собой втулку (наружный цилиндр, напрессованную навалили втулку (внутренний цилиндр, запрессованную в корпус. В случае напрессовки втулки толщиной h навал в квадратных скобках формулы (7.10) первое слагаемое относится к валу, второе – ко втулке. При этом в кн (R – средний радиус втулки. Напряжения, возникающие во втулке 2 кн н к 2 кн н кВ случае запрессовки втулки толщиной h в корпус первое слагаемое в квадратных скобках выражения (7.10) относится к втулке, второе – к корпусу. Внутренний радиус втулки в радиус контактной поверхности к, наружный радиус корпуса н . В этом случае напряжения σ r и φ σ , соответственно, равны 2 кв кв кв кв Таким образом, получены основные уравнения для определения радиальных и окружных напряжений в составных цилиндрических конструкциях при действие внутреннего и внешнего давлений, а также в случае соединения их с натягом. 8. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ 8.1. Основные расчетные зависимости при определении температурных напряжений и деформаций Математическая модель термонапряженного состояния описывается известными уравнениями из общей теории напряженно-деформируемого состояния в окрестности точки твердого тела. При температурном воздействии уравнения равновесия Коши для точки на поверхности тела дифференциальные уравнения равновесия и закон Гука имеют вид, аналогичный уравнениям для напряженно-деформируемого состояния при силовом воздействии, и включают параметры, характеризующие действие температурного поля 95 α σ cos α τ cosβ τ cos γ cos α; 1 2ν x xy zx ET α τ cos α σ cosβ τ cos γ cosβ; 1 2ν xy y yz ET α τ cos α τ cosβ σ cos γ cos γ; 1 2ν zx yz z ET τ σ τ α 0; 1 2ν xy x zx E T x y z x τ σ τ α 0; 1 2ν xy y yz E T x y z y τ τ σ α 0; 1 2ν y zx z E T x y z z 1 ε σ ν σ σ α ; x x y z T E 1 ε σ ν σ σ α ; y y x z T E 1 ε σ ν σ σ α , z z x y T E где α – температурный коэффициент линейного расширения. Математическая модель термонапряженного состояния зависит от выбранной расчетной схемы конструкции. Конструкции полупроводниковых приборов и микросхем при исследовании напряженно-деформированного состояния чаще всего представляются в виде стержневой расчетной схемы, в том числе многослойного стержня, либо в виде расчетной схемы многослойного цилиндра, пластины или многослойной пластины. Для стержня, испытывающего при температурном воздействии деформацию растяжения-сжатия, условие совместности перемещений запишется в виде Т) где Δ R RL L EF – изменение длины стержня из-за сил, действующих в опорах Δ αΔ Т L Т – изменение длины стержня в зависимости от температуры (Т – изменение температур стержня от его начальной температуры до конечной L, F – длина и площадь поперечного сечения стержня соответственно. 96 Определив из уравнения совместности перемещений реакцию в опорах R, находим напряжения в стержне вследствие температурного воздействия. Для стержня, испытывающего при температурном воздействии деформацию изгиба, уравнение совместности деформаций имеет вид 2 2 ε 0, x z 2 отсюда 3 1 3 σ α , 2 2 h h x h h z E T Tdz Tdz h h где h – высота сечения стержня (ширина b = 1). Оси y и z являются главными осями. Уравнение совместности перемещений для расчетной схемы двухслойного цилиндра запишется в виде к к к к I II I II 1 II II 2 ( ) ( ) , α Δ α Δ , r R r R r R r R u r u r C r D r r T C r D r r T (8.2) где к – радиус контактной поверхности цилиндров ΔT – разница между конечной и начальной температурами нагрева конструкции. Определив из уравнения совместности перемещений контактное давление, находим по формулами ив обоих цилиндрах. Произвольные постоянные С C D D определяются по формулами) в зависимости от давления вместе контакта цилиндров. Уравнение совместности перемещений для расчетной схемы многослойного стержня (два слоя материала и соединительный слой) имеет вид 1 При температурном воздействии в многослойной незакрепленной стержневой конструкции возникает деформация изгиба. Перемещения первого слоя 1x u и второго слоя 2x u складываются из изменения длины слоя от температурного воздействия и от действия на него соединительного слоя. Величина a определяется из условий деформации соединительного слоя. Определив из уравнения совместности перемещений давление между слоями p, можно определить изгибающий момента затем и напряжения, возникающие в каждом слое стержня. 97 8.2. Температурные напряжения в составных цилиндрах Полупроводниковые приборы и интегральные микросхемы при изготовлении, испытаниях и эксплуатации испытывают температурное воздействие в достаточно широком диапазоне, поэтому при проектировании этих приборов необходимо анализировать термонапряженное состояние, возникающее в конструкциях. Наибольшие температурные напряжения возникают в местах соединения элементов, выполненных из материалов, имеющих различные температурные коэффициенты линейного расширения. Полупроводниковые приборы представляют собой осесимметричные цилиндрические многослойные конструкции. При определении температурных напряжений расчетная схема таких конструкций представляется в виде многослойных цилиндров. Расчетная схема трехслойного цилиндра представлена на рис. 8.1. Граничные условия для первого цилиндра при 0 r R σ 0; r при Граничные условия для второго цилиндра при 1 r R 1 σ ; r p при Граничные условия для третьего цилиндра при 2 r R 2 σ ; r p при Здесь 1 2 , p p – давления, возникающие, соответственно, между первым – вторыми между вторым – третьим цилиндрами в результате температурного воздействия. Условия совместности перемещений первого – второго и второго – третьего цилиндров согласно (8.2) имеют вид I II I 1 1 1 II 1 2 1 1 1 α Δ α Δ , D D C R R T C R R T R R II III II 2 2 2 III 2 3 2 2 2 α Δ α Δ . D D C R R T C После определения постоянных Спои) условия совместности перемещений запишется в следующем виде 3 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 1 ν 1 ν α Δ p R p R R R Рис. 8.1 1 p 2 p 2 R 3 R 1 R 0 R 98 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ν 1 ν α Δ , p R p R p p R R R R T E E R R R R 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ν 1 ν α Δ p R p R p p R R R R T E E R R R R 3 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 ν 1 ν α Δ . p R p R Решив совместно эти два уравнения, определим 1 p и 2 p Зная их, по формулами) можно подсчитать σ r ив каждом элементе конструкции. Если интервалы между 1 , R 2 R и 2 , R 3 R разбить с некоторой дискретностью, то можно получить необходимые данные для построения эпюров распределения окружных и радиальных напряжений по толщине элементов конструкций. При этом радиальные напряжения σ r на наружной поверхности большего цилиндра и внутренней поверхности меньшего цилиндра всегда будут равняться нулю, а окружные напряжения в этих же точках – наоборот. 8.3. Температурные напряжения в многослойном стержне Корпуса микросхем представляют собой многослойные конструкции, соединенные между собой припоем. Элементы таких конструкций при температурном воздействии в процессе изготовления корпуса подвергаются деформации изгиба вследствие того, что соединение их осуществляется по поверхности, а концы элементов не закреплены. При этом сами элементы изготовлены из материалов, имеющих различные температурные коэффициенты линейного расширения. Наиболее опасно сточки зрения возникновения напряжений соединение элементов конструкций корпуса микросхемы, выполненных из разнородных материалов (керамика – металл. В реальной конструкции корпуса микросхемы длина соединительного шва – припоя, по которому происходит контакт соединяемых элементов конструкции, значительно больше его ширины, а толщина шва значительно меньше толщины соединяемых слоев. Расчетная схема для определения температурных напряжений в конструкциях ми- h 3 а Рис. 8.2 99 кросхем (рис. 8.2) может быть представлена в виде трехслойного стержня (слой металла, соединительный слой, слой керамики. Условие совместности перемещения слоев имеет вид 1 2 x x u u a (8.3) При этом 3 tg γ , xy a h где 3 γ xy a h – угловая деформация шва. Поскольку упругие деформации шва малы, tg γ γ xy xy . Отсюда 3 γ xy a В соответствии с (8.1) уравнение перемещения каждого слоя можно записать в следующем виде – перемещение слоя керамики 1 1 1 1 1 1 1 α Δ – ; 2 2 2 Т bh r – перемещение слоя металла 2 2 2 2 2 2 1 α Δ – , 2 2 2 Т где l – длина слоя. Третье слагаемое в каждом уравнении учитывает кривизну стержня при изгибе 2 1 1 1 1 6 , P r E bh 2 2 2 2 1 6 , P r E где P – усилие сдвига z – перемещение крайней точки стержня, лежащего на линии соединения слоев 1 и 2, которое определяется, как для чистого изгиба при постоянном моменте y M , приложенном в данной точке 1 2 2 y P h h M (8.4) В уравнении совместимости перемещения знак перед вторым слагаемым зависит от типа деформации слоя. Знак «+» означает растяжение, знак «–» – сжатие. В большинстве конструкций корпусов микросхем элементы, выполненные из изоляционного материала (керамика, по толщине значительно превышают элементы конструкции, выполненные из металла. Как было отмечено ранее, подобные конструкции при температурном воздействии испытывают деформацию изгиба, а значит, нейтральная линия может проходить через изоляционный слой (керамика. Хрупкий материал, ив частности керамика, неодинаково сопротивляется деформациям растяжения и сжатия. При деформации растяжения хрупкий материал разрушается при значительно меньших напряжениях, чем при деформации сжатия, поэтому при расчетах на прочность необходимо знать положение нейтральной линии. Для вычисления положения нейтральной линии воспользуемся уравнениями статической эквивалентности. Вследствие того что нормальная сила в сечении равна нулю, те, можно записать N = σ 0 x F dF , тогда 1 2 1 2 σ σ 0, x x F F dF dF где 1 σ x , 2 σ x – нормальные напряжения, соответственно, в слое 1 и слое 2. Пусть оси координат y и z проходят через слой 1. Учитывая, что при изгибе поперечная деформация отсутствует, получим 2 1 σ ε , 1 ν xi i где ε ; z i u r i – номер слоя. Отсюда 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 0, 1 ν 1 где 1 E и – модули нормальной упругости слоя 1 и слоя 2 соответственно 1 ν и 2 ν – коэффициенты Пуассона слоя 1 и слоя 2 соответственно. Сечение спаянных слоев 1 и 2 показано на рис. 8.3. После преобразования выражения (8.4) получим 1 2 1 2 2 2 1 2 0. 1 ν 1 ν F F E E z dF z Определим положение нейтральной линии, для чего вместо интегралов подставим значения статических моментов площади сечений слоев 1 и 2 и подсчитаем значение 1 h : 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 0, 2 2 2 1 ν 1 ν E h h E h h b h b bn h z y 1 h 1 h 2 h 1 2 Рис. 8.3 101 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 ν 1 ν 1 ν 1 ν 1 ν E h E h h E h E h E h h Отсюда следует, что положение нейтральной оси в сечении зависит от упругих постоянных материалов, соответственно, для слоя 1 – 1 1 , ν E и слоя 2 – 2 2 , ν Допустим, что соединительный слой работает только на сдвиг, тогда максимальные касательные напряжения, возникающие в нем, могут быть подсчитаны по формуле 3max к 1 1 τ τ β th ξ cth ξ, β 2β l где к – касательное напряжение в наименее прочном элементе конструкции, те. в слое 1, выполненном из керамического материала 2 2 1 1 2 2 1 1 β ; 1 E h E h E h E h 2 3 2 2 2 2 3 1 1 1 ; G E h L E h h E h 2 ξ 2 L l ( 3 G – модуль сдвига соединительного шва припоя 3 h – толщина соединительного шва (припоя. Если 3max τ τ и разрушение соединительного шва недопустимо, то касательные напряжения в наиболее опасном слое (керамика) могут быть определены по формуле к 1 β th ξ 1 2β cth ξ l По закону Гука ка в соответствии с (8.3), где 3 γ xy a h : 3 3 τ β 2β 1 β th ξ 1 2β cth ξ h a G Подставляя значение a в уравнение (8.3), получим неизвестное давление p между слоями 1 и 2, которое возникает в соединительном слое 3: 1 Напряжения в любой точке по высоте сечения 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 σ , σ 1 ν 1 ν y y x x y y y y M E z M E z E J E J E J E J (8.5) Анализ прочности конструкций при температурном воздействии проводится в соответствии с условиями прочности (3.2), (3.3). 102 Расчет смещения слоев 1x u и 2x u можно упростить, если считать, что касательная напряжения в наименее прочном слое не превысит допустимых напряжений в соединительном слое. В этом случае согласно закону Гука 3 отсюда 3 Полученное выражение для а подставляем в (8.3) и, пренебрегая разностью между перемещениями первого и второго слоев от изгиба (ввиду малости, получим выражение для p: 1 2 3 3 3 1 1 2 2 α α Δ 2 τ 1 1 b T bh G l p E h E Далее, зная p, определим изгибающий момент y M пои напряжение в каждом слое 1 σ x , 2 σ x по (8.5). |