|
|
Логарифмы 10к. логарифмы
Свойства логарифмов (образцы решения)
Другие виды обозначения логарифмов:
логарифм числа b по основанию e
(натуральный логарифм)
e = 2,718281828459045… – основание натурального логарифма;
логарифм числа b по основанию 10
(десятичный логарифм)
10 – основание десятичного логарифма.
Логарифмическая единица
и логарифмический ноль
 — это логарифмическая единица.
Запомните раз и навсегда:
логарифм по любому основанию  от самого этого основания равен единице.
Например:  .
 — это логарифмический ноль.
Основание может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому, что  — это прямое следствие из определения.
Например:  .
Сложение и вычитание логарифмов
|
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения,
а разность — логарифму частного.
Обратите внимание:
ключевой момент здесь — одинаковые основания.
Если основания разные, эти правила не работают.
|
|
|
Задача
Представьте логарифм в виде суммы: 
Решение:
Представим число 14 в виде произведения  и применим формулу суммы:
Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
Ответ: 
|
|
|
Задача
Представьте логарифм в виде разности: 
Решение:
Представим число 0,4 в виде обыкновенной дроби и применим формулу разности:
Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу разности:
Ответ: 
|
Вынесение показателя степени из логарифма
|
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Избавимся от степени в аргументе по пятой формуле:
Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Избавимся от степени в основании по шестой формуле:
Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Избавимся от степени в аргументе и основании по седьмой формуле:
 Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Избавимся от степени в аргументе по пятой формуле:
Ответ: 
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями:  Имеем:
Ответ:
|
Задача
Найдите значение выражения:
Решение:
Избавимся от степени в аргументе по пятой формуле:
Ответ:
|
Задача
Найдите значение выражения:
Решение:
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: Имеем:
Ответ:
|
Переход к новому основанию
|
|
Из девятой формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
|
Задача
Представьте  в виде логарифма с основанием 2.
Решение:
Воспользуемся восьмой формулой:
Ответ:
|
Задача
Представьте в виде логарифма с основанием 7.
Решение:
Воспользуемся девятой формулой:
Ответ:
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели:
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Ответ:
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Ответ:
|
Основное логарифмическое тождество
|
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
|
|
|
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма
|
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
Ответ:
|
Задача
Найдите значение выражения: 
Решение:
Заметим, что  — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
Ответ:
| |
|
|
Скачать 3.34 Mb.