М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
8.1.2. МОДЕЛЬ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА Итак, для экспериментального исследования испускательной способности абсолютно черного тела необходимо его смоделировать. На первый взгляд это оказывается достаточно сложным, так как любое реальное тело не может иметь поглощательную способность, равную единице, во всем интервале длин волн. Даже для черного бархата поглощательная способность отклоняется от единицы за пределами видимого диапазона излучения. Однако выяснилось, что моделью абсолютно черного тела может считаться полость внутри тела, которая имеет малое входное отверстие (рис. Действительно, все излучение, попадающее в эту полость, практически не выходит наружу. Это связано стем, что при многократных отражениях от стенок полости энергия падающего излучения практически полностью поглощается. Следовательно, поглощательная способность такой полости во всем интервале длин волн будет равна единице, и тогда выходящее из полости тепловое излучение и представляет собой излучение а. ч. т. Температура этого излучения будет равна температуре тела, внутри которого находится по лость. Такое излучение можно изучить с помощью спектральных приборов (например дифракционной решетки, см. пи построить график Рис. 8.2 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ зависимости испускательной способности 1 0 11 2 абсолютно черного тела от длины волны l. Как видно из рис. б, график имеет максимум, зависящий от температуры тела кривая 1 0 11 2 плавно спадает в области больших длин волн и практически равна нулю в области рентгеновского излучения. С повышением температуры интенсивность излучения возрастает, максимум 1 0 11 2 увеличивается и смещается в область малых длин волн. Полученные экспериментально графики для испускательной способности а. ч. т. при разных температурах излучающего тела позволили сформулировать опытные законы теплового излучения. Перечислим их. Закон Стефана–Больцмана. Можно экспериментально показать, что площадь под графиком испускательной способности 1 0 11 2 абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его температуры. Если учесть, что площадь под графиком а. ч. т. определяется энергетической светимостью тела R T , то тогда можно сформулировать закон Стефана–Больцма на энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его температуры : R T = sT 4 (8.6) Входящая в формулу (8.6) величина s получила название постоянной Стефана–Больцмана : s = 5,67 × 10 –8 Вт/(м 2 × К. Отметим, что этот закон был открыт экспериментально Стефаном (1879) и теоретически доказан Л. Больцманом (1884) на основе законов термодинамики. Закон смещения Вина позволяет найти смещение длины волны соответствующей максимуму испускательной способности абсолютно черного тела при известной его температуре. Вин (1893) с помощью законов термодинамики и электродинамики доказал теоретически, что длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре абсолютно черного тела 2 123 где постоянная Винам К. Рис. 8.3 а б ЧАСТЬ 8. КВАНТОВАЯ ОПТИКА 307 Этот закон был подтвержден затем экспериментально. Законы теплового излучения абсолютно черного тела, полученные экспериментально, а также с помощью термодинамического подхода, поставили задачу теоретического объяснения этих законов и вывода формулы, которая дает совпадение с экспериментальной испускательной способностью абсолютно черного тела во всем интервале длин волн. Попытка решения этой задачи в рамках классической физики с помощью статистического подхода была предпринята Рэлеем и Джинсом. 8.1.3. ФОРМУЛА РЭЛЕЯ–ДЖИНСА. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА. ФОРМУЛА ПЛАНКА Формула Рэлея–Джинса. Расчет испускательной способности абсолютно черного тела в рамках классической физики был проведен Рэлеем и Джин сом. Они рассматривали равновесное излучение черного тела в закрытой полости (см. рис. 8.1). Предполагалось, что атомы стенок полости излучают как совокупность линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными частотами. Исходя из этого предположения, была получена формула для испускательной способности абсолютно черного тела 2 2 31 3 4 4 567 4 567 1 2 2 0 0 0 2 2 4 2 2 1 1 1 где áeñ — средняя энергия осциллятора. Затем, предполагая, что атомы излучают волны непрерывно, Рэлей и Джинс предложили для средней энергии одного осциллятора áeñ следующую формулу 4 где k — постоянная Больцмана, Т — температура излучающего тела. Эта формула является следствием принципа равномерного распределения энергии по степеням свободы (см. раздел 12): на каждую степень свободы любого движения приходится энергия áeñ = kT/2. Отметим, что колебательное Рис. 8.4 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ движение осцилляторов включает в себя кинетическую и потенциальную энергии, на каждую из которых приходится энергия теплового движения В итоге была получена формула (она записана как для частот, таки для длин волн теплового излучения, названная формулой Рэлея–Джинса: 1 2 31 3 4 4 2 2 0 0 2 4 2 2 1 1 1 1 1 2 3 41 При выводе формулы полость внутри тела можно взять в виде куба с ребром L (см. риса. В такой полости возникают стоячие волны, для которых вдоль ребер куба по осям Ox, Oy, Oz должно укладываться целое число полуволн, так как узлы стоячих волн будут находиться в вершинах куба (аналог стоячих волн, возникающих в струне, см. 6.1.4) 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 1 1 13331 1 2 3 4 1 3 4 5 5 6 6 5 6 5 6 6 6 где k X , k Y , k Z — проекции волнового вектора, соответствующего стоячей волне на оси Ox, Oy, В пространстве волновых векторов (см. рис. б) на одну стоячую волну приходится объем 2 1 2 3 3 4 4 4 5 4 5 3 3 1 1 2 3 4 4 Найдем число стоячих волн, заключенных в интервале модулей волновых векторов от k до k + dk. В пространстве волновых векторов этот интервал представляет собой шаровой слой толщиной dk (рис. б. Разделим объем шарового слоя на объем, приходящийся на одну стоячую волну 2 32 1 3 2 2 4 5 5 4 4 1 1 1 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 4 1 2 8 8 1 2 3 1 4 2 1 где учтено, что k = 2 pn/c; V = L 3 — объем полости. Из за небольшого изменения частоты можно заменить Dw ® dw; одной стоячей волне соответствуют две волны с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний вектора, и поэтому в формуле появляется коэффициент. Коэффициент 1/8 в формуле связан стем, что выбирается часть шарового слоя для положительных значений Объемная плотность излучения в полости, соответствующая частоте составит 2 345 2 6 345 1 2 3 8 Испускательная способность абсолютно черного тела и объемная плотность излучения в полости связаны следующим выражением 21 3 1 3 456 2 0 2 2 4 1 2 1 3 1 1 2 3 4 что и подтверждает формулу (Приведем аргументы, показывающие справедливость формулы (Тепловое равновесное излучение является изотропным, то есть распростра ЧАСТЬ 8. КВАНТОВАЯ ОПТИКА 309 няется по всем направлениям одинаково. Если бы излучение распространялось только по осям Ox, Oy, Oz, то тогда в положительном направлении оси Ox распространялась бы только 1/6 часть излучения, находящегося в полости. Поэтому за время dt элементарная площадка dS поверхности куба (см. риса) поглощала бы 1/6 часть энергии, заключенную в объеме полости, равную dV = dSdl = dS(cdt), в интервале частот ( n, n + dn), то есть поглощала бы энергию dW погл = Как показывают расчеты, учет других направлений распространения теплового излучения приводит к тому, что в формулу для dW погл должен входить коэффициент 1/4, то есть dW погл = wdS(cdt)d w/4. Из закона сохранения энергии следует, что такую же энергию 1 2 3 0 изл 11 23 4 5262 эта площадка поверхности а. ч. т. излучает 1 2 3 2 2 3 4 2 3 0 0 4 4 изл погл 1 1 2 3 1 41 1 2 3 45 6 47414 45 8473414 6 8 что и требовалось показать. Ультрафиолетовая катастрофа. Сопоставление графика испускательной способности абсолютно черного тела, построенного по формуле Рэлея– Джинса (8.10), с экспериментальной кривой (риса) свидетельствует о том, что наблюдается согласие в области длинноволнового излучения и резкое расхождение в области ультрафиолетового и рентгеновского излучений (см. рис. 8.4а). Причем расчет энергетической светимости абсолютно черного тела по формуле Рэлея–Джинса приводит к бесконечно большой энергии излучения, то есть нарушается закон сохранения энергии 1 2 3 3 4 3 4 5 4 1 3 6 Р ДР Д 2 3 4 3 4 5 1 2 3 4 2 561 4 0 0 Итак, классическая физика не смогла объяснить зависимости от длины волны спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела во всем интервале длин волн. Сложившееся на этот момент времени состояние в классической физике, когда для теплового излучения наблюдалось резкое расхождение между теоретическими экспериментальным Рис. 8.5 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ значениями 1 1 0 1 1 в ультрафиолетовой области и нарушался закон сохранения энергии, получило название ультрафиолетовой катастрофы. Формула Планка. Впервые правильная формула для испускательной способности абсолютно черного тела была получена Планком. Им было высказано чуждое классической физике предположение о том, что атомы излучают электромагнитные волны не непрерывно, а отдельными порциями энергии (квантами. Это означает, что энергии осцилляторов квантуются, то есть принимают дискретный набор значений (см. рис. б nW 1 , n = 0, 1, 2, 3, где W 1 — минимальная энергия осциллятора, называемая также квантом энергии. Для определения средней энергии осциллятора áeñ Планк использовал распределение Больцмана Aexp (–W n /kT) = Aexp (–nx), x = что позволило получить совершенно новый результат для средней энергии гармонического осциллятора. Приведем вывод этой формулы. Так, для áeñ можно записать 1 2 2 345 2 6 6 7 7 1 0 0 1234 56 1234 Данное выражение можно представить в следующем виде 2 1 2 3 4 567 4 8 9 1 0 1234 5 Если учесть, что 2 3 2 3 3 4 0 1 1 1234 5 64 1234 то тогда для средней энергии осциллятора áeñ получим 4 4 5 5 1 1 1 1 1 1 2345 6 2345 7 6 1 1 2 1 Согласно Планку, энергия кванта W 1 электромагнитной волны с частотой (энергия фотона) определяется формулой 2 2 3 2 4 2 5 1 1 1 2 2 3 3 которая была получена из условия совпадения во всем интервале волн расчетной и экспериментальной испускательной способности абсолютно черного тела. Входящая в формулу (8.15) величина h получила название постоянной Планка, h = 6,626 × Дж с, для другой часто используемой постоянной Планка h = h/(2p) значение h = 1,055 × Дж с. В итоге Планком была записана следующая формула для испускательной способности абсолютно черного тела 2 1 3 32 2 4 4 1 5 2 5 1 2 0 0 4 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 4567 2 8 4567 2 8 1 1 23 3 2 4 4 23 51 2 51 3 (8.16) ЧАСТЬ 8. КВАНТОВАЯ ОПТИКА 311 Полученное выражение для 1 0 11 2 полностью описывает зависимость спектральной плотности энергетической светимости а. ч. тот длины волны во всем интервале длин волн. Из нее также вытекают законы Стефана–Больц мана и Вина. В области длинноволнового излучения, когда можно пренебречь квантованием энергии (дискретностью энергии) осциллятора по сравнению с энергией теплового движения атомов, формула (8.16) приводит к формуле Рэлея Джинса (8.10): 1 2 1 3 4 1 5 3 6 1 11 1 1 1 1 2345 1 6 1 1 7 12 34 12 34 12 34 12 Формула (8.16) позволяет также получить точные выражения для постоянной Стефана–Больцмана s и постоянной Вина b, входящих в опытные законы теплового излучения 2 3 3 1 2 4 3 2 4 965 60 1 2 Выражение (8.14) позволяет установить, что максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости а. ч. т. прямо пропорционально пятой степени его абсолютной температуры 2 3 0 5 123 4 5 6 4 1 2 3 где 2 3 4 5 4 5 1 5 5 5 5 3 4 4 9651 2 1 28 10 4 9851 1 3 Вт м К 1 2 3 2 4 5671 2 3 1 2 2 Забегая вперед, можно сказать, что предположение Планка об излучении атомами квантов энергии означает, что энергия самих атомов также принимает только дискретный набор значений, то есть свидетельствует о дискретном характере энергетических уровней. При переходе между ними и происходит излучение квантов энергии. В заключение этого раздела ответим на вопрос почему спектральная плотность энергетической светимости в области рентгеновских лучей уменьшается до нуля Ответ вытекает из различия в энергиях квантов электромагнитного излучения в разных диапазонах длин волн. Для того чтобы испустить квант энергии рентгеновского излучения, необходимо возбудить осциллятор, то есть перевести его хотя бы на уровень энергии с номером n, равным единице (n = 1, рис. б. Это практически невозможно осуществить за счет энергии теплового движения атомов вследствие большого различия энергии кванта рентгеновского излучения и средней энергии теплового движения атомов h n ? kT. Поэтому такие кванты энергии излучаются достаточно редко. Действительно, для температуры T = 300 К средняя энергия теплового движения kT составляет 0,025 эВ, а первый возбужденный уровень энергии для рентгеновского излучения длины волны l = 0,1 нм отстоит от основного уровня энергии на расстояние 1 1 2 3 4 3 5 5 5 5 3 5 3 5 34 8 10 16 4 6 63 10 3 10 1 10 19 89 10 1 243 Дж эВ 2 3 41 3 3 1 что превышает энергию теплового движения примерно враз МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Для диапазона инфракрасного излучения (770 нм l £ 0,5 мм) при комнатной температуре отношение DW/kT = 64 ¸ 0,1 приводит к большей интенсивности излучения для этих длин волн (см. рис. 8.5б). 8.1.4. ОПТИЧЕСКАЯ ПИРОМЕТРИЯ Под оптической пирометрией понимают совокупность оптических (бесконтактных) методов измерения температуры тел. Они основаны на измерении интенсивности теплового излучения тел, которая существенно зависит от температуры. Так, согласно формуле (8.18) максимальное значение испускательной способности абсолютно черного тела при понижении температуры от 1000 К до 300 К уменьшается достаточно резко, примерно в 400 раз. Поэтому эти методы главным образом применяют при температурах, превышающих Ка для температур 3000 К и выше они являются практически единственными. Основное условие применения методов пирометрии заключается в том, чтобы излучение тела было чисто тепловым, то есть подчинялось закону Кирхгофа (формула (8.5)). Твердые тела и жидкости при высоких температурах обычно удовлетворяют этому требованию. В случае же газов и плазмы необходима специальная проверка этого условия. Приборы, измеряющие оптический диапазон теплового излучения, называют пирометрами. Широкое распространение нашли яркостные пирометры, обеспечивающие наибольшую точность измерений температуры в диапазоне 10 3 ¸ 10 4 К. При этом с помощью светофильтра выделяют узкий диапазон длин волн вблизи длины волны l = 650 нм. Изменяя силу тока, проходящего через нить лампы, добиваются совпадения яркости нити и излучающего тела, при этом изображение нити исчезает (метод исчезающей нити. Предварительная градуировка прибора (каждому значению силы тока ставится в соответствие своя температура) позволяет сразу определять яркостную температуру тела. Истинная температура тела рассчитывается с помощью формулы, полученной на основе закона Кирхгофа и формулы Планка. Цветовые пирометры применяются для телу которых поглощательная способность постоянна в оптическом диапазоне излучения. Это позволяет, измеряя отношения яркостей двух длин волн оптического диапазона (обычно берут волны в синей и красной областях спектра, находить цветовую температуру тела T C , по которой и определяют истинную температуру тела. Наиболее чувствительными (но и наименее точными) являются радиационные пирометры, или пирометры суммарного излучения, регистрирующие полное излучение тела. Действие их основано на применении законов Стефа на–Больцмана и Кирхгофа. В этих приборах с помощью линзы фокусируют наблюдаемое излучение на приемник (термостолбик, электрический ток которого определяется разностью температур холодного и горячего спая. Сигнал от него регистрируется прибором, который градуирован по излучению абсолютно черного тела. Этот прибор показывает радиационную температу |