М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
а б в Рис. 1.3 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 11 При Dt ® 0 углы a и b стремятся соответственно к 0 ° и 90°, поэтому вектор, направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор 1 1 23 будет перпендикулярен к 1 1 1 1 Следовательно 2 3 1 1 1 1 23 23 23 23 23 4 4 4 4 4 25 25 25 25 25 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 ирис. 1.4а)при малых Dt ® dt будут равны dl 1,2 = dS 1,2 = vdt. Из подобия треугольников риса) и V1v 1 3 (рис.1.4б) следует 1 1 что и было записано в формулах (СХЕМА РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУС ВЕКТОРА 11 И ВЕКТОРА СКОРОСТИ Основной задачей кинематики является определение состояниям. т. (ее радиус вектора 11 и скорости 11 ) в произвольный момент времени t. Для этого необходимо задать, во первых, начальные условия — радиус вектор 1 0 1 и скорость в начальный момент времени t = t 0 и, во вторых, зависимость ускорения от времени t. Тогда, используя понятие интеграла (см. Прил. для 1 и 2 можно записать следующие выражения 1 1 2 1 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 41 542 41 542 1 1 542 43 142 43 142 0 0 0 0 0 0 (1.9) 1 2 3 4 3 4 4 5 6 5 6 7 8 9 9 9 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 341 2 3 5 1 41 Рассмотрим уравнения (1.9), (1.10) для некоторых частных случаев движений м. т. Равнопеременное движение материальной точки — это движением. т. с постоянным ускорением 1 1 const 1 23 1 При выборе начального момента времени равным нулю из выражений (1.9) и (1.10) получим 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 1 2 12 3 3 12 4 4 3 Рис. 1.4 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Формула (1.11) позволяет, например, описать движение брошенного под углом к горизонту тела без учета сил сопротивления воздуха 1 1 1 1 23 1 2 движение по параболической траектории. Равнопеременное прямолинейное движение 1 2 2 1 1 1 0 1 2 3 1 2 2 2 будет наблюдаться в тех случаях, когда векторы ускорения 11 и начальной скорости 1 будут либо параллельны друг другу, либо направлены в противоположные стороны, либо вектор 1 0 1 будет равен нулю. В этих случаях проекция уравнений) на ось Ox, направленную вдоль линии движения тела, приводит к следующим выражениям 2 1 2 2 2 0 0 0 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 4 4 2 3 1 1 4 Для пути l и модуля скорости v в случаях равноускоренного (знаки равнозамедленного (знак «–») прямолинейных движений можно получить 2 3 3 4 3 3 3 4 1 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 23 4 5 1 3 3 1 На рис. 1.5 приведены построенные по уравнениям (1.12) графики зависимости от времени t проекций на ось Ox скорости 11 23 1 2 2 перемещения 2 1 0 1 2 1 2 2 1 1 и радиус вектора 11 (координата x) при заданных начальных значениях 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 23 1 2 1 2 1 3 3 и 11 (считается, что 1 2 const 1 2 0 ). Этот случай соответствует равноускоренному движению вдоль оси Как видно из рис. 1.5, площади под графиком a x (t) и v x (t) позволяют найти в определенный момент времени t 1 значения (v x – v 0x ) и S x , а углы наклона и b касательной к графиками) определяют проекцию ускорения и скорости v x = tg b в этот момент времени t 1 2. Равномерное движение материальной точки по окружности радиуса R в плоскости (начало координатных осей находится в центре окружности, рис. 1.6). Задаем начальные условия при t = 0: 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 23 4 4 Для такого движения тангенциальное ускорение равно нулю, а зависимость нормального ускорения a n от времени t определяется как 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 23452 6 5782 6 691 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5 4 6 3 7 7 7 2 0 0 Рис. Рис. 1.6 а б в г ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 13 Действительно, для положения материальной точки, соответствующей углу на рис. 1.6, можно записать формулу для a n через проекции на оси x и y: 1 2 1 1 1 причем 2 3 1 2 3 1 1 1 1 123 4 356 7 12 1 13 1 4 4 5 Длина дуги, ограниченная углом a, равна l = aR = v 0 t , где t — время, за которое м. т. поворачивается на угол a. Тогда a = (v 0 t )/R, ив итоге получается формула (Подставляя начальные условия и выражения для 1 1 2 в формулы (1.9) и, получим 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 0 11234 5 6721 5 58 9 1 2 2 3 2 2 4 5 4 6 Формулы (1.9) и (1.10) даже в простом случае равномерного вращениям. т. по окружности дают громоздкие выражения (1.15). Существенное упрощение описания вращательного движения материальной точки возможно при введении новых характеристик — векторов углового перемещения угловой скорости 11 и углового ускорения КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Пусть м. т. движется со скоростью 11 по окружности радиуса r вокруг неподвижной оси вращения (риса. Материальную точку с осью вращения соединяет перпендикулярный к ней вектора вектор его элементарного приращения направлен по касательной к окружности. Введем понятие вектора элементарного углового перемещения 111 1 он равен по модулю углу элементарного поворота d j, причем dj > 0, направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения материальной точки, тогда поступательное движение буравчика определяет направление вектора (рис. 1.7а). Быстроту вращениям. т. характеризует угловая скорость равная первой производной от вектора углового перемещения 11 повремени Направления вектора угловой скорости 11 и вектора элементарного углового перемещения 11 1 совпадают. Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения равный первой производной от угловой скорости 11 повремени Рис. 1.7 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2 3 4 4 1 1 1 2 2 1 1 1 12 В случае ускоренного вращения направления 11 и 11 совпадают (рис. 1.7б), для замедленного вращения вектора 11 и 11 направлены в противоположные стороны 1 23 4 1 1 Кроме приведенных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту обращения n, определяемую как число оборотов, совершаемых телом за единицу времени, и период обращения Т как время одного полного оборота. Справедлива следующая взаимосвязь w, n и Т = 2pn = Введенные характеристики вращательного движения материальной точки применимы и для абсолютно твердого тела, так как его можно разбить на малые объемы и тем самым представить в виде совокупности точек. Если задать начальные условия 1 2 1 2 3 1 3 1 1 1 0 0 0 1 2 3 4 1 1 и зависимость углового ускорения 11 от времени t, то для векторов углового перемещения 11 и угловой скорости 11 можно записать 2 1 3 4 4 2 4 3 5 6 6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 3 4 1 1 1 1 21 1 Для вращения тела с постоянным угловым ускорением формула (примет следующий вид (t 0 = 0): 1 2 3 2 4 1 5 3 5 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 Для углового пути j и модуля угловой скорости w в случаях равноускоренного (знаки равнозамедленного (знак «–») вращения из (1.20) получим 2 1 1 2 Можно отметить, что формулы (1.21) переходят в формулы (1.13) при следующей замене j ® l, w ® v, e ® a = a t . Этой аналогией можно пользоваться при записи формул для вращательного движения тел. 1.1.5. ФОРМУЛЫ ВЗАИМОСВЯЗИ ЛИНЕЙНЫХ 1 1 1 1 1 2 2 3 1 2 3 И УГЛОВЫХ 1 2 1 1 1 2 3 ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ Пользуясь определением векторного произведения двух векторов (см. Прил. ириса, можно записать 23 1 1 1 Выражение (1.22) позволяет получить следующие формулы взаимосвязи линейных и угловых характеристик) для скоростей 1 1 и 1 3 4 5 5 5 2 5 62 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 23 1 2 1 12 3 2 2 14 14 14 1 23 1 2 1 1 1 1 23 4 1 2 1 2 (1.23) ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА) для ускорений 1 2 1 1 и 2 1 2 3 4 5 6 5 6 7 7 48 7 8 9 48 7 8 9 48 7 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 23 2 2 24 5 3 4 4 5 5 26 26 26 26 ; 1 1 2 3 4 2 3 1 1 1 1 23 4 1 2 1 2 (1.24) 1 23 1 2 1 1 4 1 1 1 2 2 1 23 4 1 1 2 3 2 Направления векторов 1 и показаны на рис. б (ускоренное вращением. т. — 1 22 3 22 4 1 1 1 11 ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Решение кинематических уравнений механического движения тела помимо начальных условий требует информации об ускорении тела. Ее можно получить, рассматривая механическое взаимодействие данного тела с другими, приводящее к изменению его состояния, скорости, то есть к возникновению ускорения. Вопросы, связанные с такими взаимодействиями, и рассматриваются в динамике. 1.2.1. СИЛА, ИНЕРТНОСТЬ ТЕЛА, МАССА ТЕЛА Механическое взаимодействие тела с другими телами описывают с помощью понятия силы 1 1 которая определяется как векторная физическая величина, характеризующая механическое взаимодействие данного тела с другими телами, приводящая к их деформации или к возникновению ускорения. Введение силы позволяет количественно описать такие взаимодействия и выявить их наиболее важные особенности. О взаимодействии данного тела с другими телами можно сказать так на тело действует сила 1 1 которая сообщает ему ускорение 11 или деформирует его. В механике для характеристики различных видов взаимодействия тел вводят следующие силы тяготения 1 1 1 ее частным случаем является сила тяжести, упругости 1 1 1 2 трения 1 тр 1 1 сопротивления 1 1 1 2 силу нормальной реакции опоры 1 1 вес тела 1 1 силу натяжения н нити и т. д. Они подробно изучаются в школьном курсе физики и здесь не рассматриваются. Все тела изменяют свою скорость не мгновенно, а постепенно при их взаимодействии с другими телами, то есть обладают инертностью. Количественной характеристикой инертности тела является его масса m. Она определяется как мера инертности тела при его прямолинейном движении. В качестве примера рассмотрим столкновение двух тел с массами m 1 и движущихся со скоростью 1 1 1 1 2 и 2 1 1 1 1 по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу. Пусть в результате МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ столкновения они останавливаются (рис. 1.8). Из такого столкновения следует, что первое тело является более инертным, чем второе тело, те. первое тело обладает большей массой (m 1 > m 2 ). Действительно, за время взаимодействия первое тело изменяет свою скорость на меньшую величину 2 3 4 1 2 1 1 1 1 2 2 0 12 2 2 2 2 2 34 1 1 1 1 чем второе тело. 1.2.2. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА В основе классической механики движения материальной точки лежат три закона Ньютона, являющиеся обобщением опытных фактов закон Ньютона рассматривает движение тела в отсутствие его взаимодействия с другими телами. Согласно этому закону тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано. Оказывается, что I закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Если выбрать систему отсчета (СО, связанную с поездом, движущимся равномерно и прямолинейно, то шарик, лежащий на гладком горизонтальном столе вкупе вагона, будет находиться в покое, так как действующие на него силы тяжести и нормальной реакции опоры компенсируют друг друга. Однако если поезд будет двигаться с ускорением, то шарик начнет двигаться относительно поезда, то есть приобретет ускорение. Поэтому среди всех систем отсчета выделяют инерциальные системы отсчета (ИСО) как СО, в которых выполняются все три закона Ньютона. ИСО в природе не существует, так как тела отсчета либо вращаются (СО, связанная с Землей, либо движутся прямолинейно с ускорением. Наиболее близкой к ИСО можно считать систему отсчета, связанную с Солнцем. Для многих физических явлений систему отсчета, связанную с Землей, также можно считать ИСО. В теоретическом плане ИСО существует бесконечное множество, все они движутся равномерно и прямолинейно, то есть без ускорения, или находятся в покое. Ньютон для формулировки второго закона ввел понятие импульса тела как векторную физическую величину, характеризующую его прямолинейное движение и равную произведению массы тела на его скорость 1 11 1 23 (1.26) II закон Ньютона количественно описывает механическое взаимодействие тел, связывая между собой действующую на тело силу с изменением его импульса. Согласно этому закону первая производная от импульса тела по времени t равна векторной сумме сил, действующих на тело 1 2 1 1 Рис. 1.8 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 17 Формула (1.27) позволяет рассматривать движение, при котором масса тела может изменяться (реактивное движение). Если масса тела не зависит от времени, то тогда выражение (1.27) можно записать, вводя в него ускорение тела 1 2 1 1 и сформулировать II закон Ньютона следующим образом произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело . Можно отметить, что выражение (1.27) приводит в специальной теории относительности к релятивистски инвариантной формуле II закона Ньютона, чего нельзя сказать о формуле (1.28). В релятивистской механике формула взаимосвязи между ускорением тела и действующей на него силой существенно усложняется. Уравнения (1.27) и (1.28) позволяют при задании начальных условий (радиус вектора 0 1 и импульса 0 1 тела при t = t 0 ) и сил, действующих на тело, решить основную задачу механики м. т, то есть описать ее механическое движение однозначно определить ее радиус вектор и импульс 11 в последующие моменты t. Схема решения задач приведена на рис. 1.9. III закон Ньютона важен тем, что он устанавливает дополнительные связи между силами, возникающими при взаимодействии тел, и тем самым облегчает решение уравнений (1.27) и, то есть решение задачи о механическом движении тел. Согласно этому закону силы, действующие между двумя телами, равны по модулю и противоположны по направлению 2 1 1 1 2 На рис. 1.10 приведены примеры сил, рассматриваемых в III законе Ньютона. Эти силы приложены к разным телам, они одинаковой природы, это силы действия и противодействия. Отметим, что, хотя задача описания механического движения тел решается на основе уравнений (1.27) и (1.28), ее практическая реализация сопряжена с большими сложностями. Так, в частности, во многих случаях не удается Рис. Рис. 1.10 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ установить все силы, действующие на тело, а для известных сил установить их зависимость от координат и времени. К тому же задача о движении трех и более тел не имеет точного решения. В связи с этим вводят дополнительные величины, такие как импульс энергия W и момент импульса 1 1 тела. Оказывается, что для этих величин выполняются законы сохранения, которые позволяют, не решая уравнения II закона Ньютона, получить неполную, но важную для практических целей информацию о движении взаимодействующих тел. К тому же эти законы сохранения являются отражением установленных на опыте фундаментальных свойств пространства и времени как форм существования материи — однородности пространства (все точки пространства эквивалентны, равноправны, из чего следует закон сохранения импульса) и его изотропности (все направления в пространстве эквивалентны, равноправны, из чего вытекает закон сохранения момента импульса) и однородности времени (все моменты времени равноправны, что приводит к закону сохранения механической энергии). Возможно и другое, принятое в теоретической физике построение классической механики, в котором постулируются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса и на их основе выводятся законы Ньютона. Но это не меняет сути дела, так как ив томи в другом случаев основе механики лежат законы, являющиеся следствием опытных фактов. |